На рис. 2.12 через Л,у и цу7 обозначены плотности вероятностей перехода автомобиля из состояния St в состояние Sj. Напри- [c.62]
Можно считать, что события, переводящие автомобиль из состояния в состояние, представляют собой потоки событий (например, потоки отказов). Если все потоки событий, переводящие систему (автомобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет марковским, а плотности вероятности перехода Ху в непрерывной цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий, переводящего систему из состояния Si в состояние Sj. Например, Х03 - интенсивность потока отказов автомобиля, который переводит автомобиль из состояния исправен, работает в состояние находится в ТР . [c.63]
Исходя из этого, предположим, что состояние "экономики" моделируется, скажем, однородным скачкообразным марковским процессом в = ( t))t o с всего лишь (для простоты рассуждений) двумя состояниями j = 0,1. Пусть Р(0(0) = 0) = Р(0(0) = 1) = и плотности вероятностей перехода AJJ таковы, что ц = —А и AJJ = А, если г j. [c.340]
В данном параграфе обсуждаются основные понятия дискретного марковского процесса с непрерывным временем. Определяются вероятности состояний системы, в которой протекает такой процесс, и плотности вероятностей переходов системы из состояния в состояние. Для вычисления вероятностей состояний выводится система дифференциальных уравнений Колмогорова. [c.49]
Определение 4.2. Плотностью вероятности перехода системы S из состояния si в состояние s. в момент времени t называется величина [c.51]
Из определения 4.2 плотностей вероятности перехода A (t) видно, что они в общем случае зависят от времени t, неотрицательны и в отличие от вероятностей могут быть больше 1, но ..( )=0, i=l,..., п. [c.52]
Определение 4.3. Если при любых is /, i,j=, ..., п, плотности вероятностей переходов не зависят от времени t, и тогда вместо AJ(t) будем писать просто Л.., то марковский процесс с непрерывным временем называется однородным. Если же хотя бы при одной паре значений is / плотность вероятности перехода Л. изменяется с течением времени t, процесс называется неоднородным. [c.52]
Определение 4.4. Граф состояний марковского однородного процесса с непрерывным временем, у стрелок которого указаны плотности вероятностей переходов Л., называется размеченным. [c.52]
Поскольку плотности вероятностей переходов снабжены двумя индексами, то их удобно расположить в виде матрицы [c.53]
Зная плотности вероятностей перехода i,j=i, —, п, можно составить систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний pff), HI,. .., я, а именно справедлива следующая теорема. [c.53]
П правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов [c.57]
Пример 4.3. Система дифференциальных уравнений Колмогорова, составленная, например, по матрице плотностей вероятностей переходов [c.58]
Будем предполагать, что счетчик банкнот может выйти из строя только во время его эксплуатации. На данном этапе изучения ремонт неисправного счетчика не предполагается (так что состояние s3 является ловушкой). Будем также считать, что изменения плотностей вероятностей переходов системы S из состояния в состояние пренебрежимо малы, т.е. плотности вероятностей переходов практически не зависят от времени (тем более, если промежуток времени, в течение которого мы анализируем работу [c.59]
Так как счетчик может менять свои состояния случайным образом в случайные моменты времени, а в каждый момент он пребывает в одном из состояний s,, s2, sy то процесс, протекающий в системе S, будет дискретным случайным процессом с непрерывным временем. Данный процесс можно считать марковским, поскольку состояние счетчика в будущем существенно зависит от его состояний в настоящий момент времени и несущественно — от его состояний в прошлом. Незначительные колебания плотностей вероятностей переходов с течением времени позволяют нам сделать допущение об однородности рассматриваемого процесса. [c.60]
Матрица плотностей вероятностей переходов, составленная по графу на рис. 4.3, имеет вид [c.60]
Для определения вероятностных функций состояний существенное значение имеют плотности вероятностей переходов из состояния в состояние, поскольку все переходные вероятности в любой момент времени равны нулю. [c.65]
Составлять систему дифференциальных уравнений Колмогорова можно либо по размеченному графу состояний, либо по матрице плотностей вероятностей переходов. [c.65]
Марковский дискретный процесс с непрерывным временем вероятностные функции состояний плотность вероятности переходов однородный дискретный процесс с непрерывным временем неоднородный дискретный процесс с непрерывным временем матрица плотностей вероятностей переходов система дифференциальных уравнений Колмогорова размеченный граф состояний системы, в котором протекает марковский дискретный процесс с непрерывным временем правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов нормальная форма Коши задача Коши. [c.65]
Что называется плотностью вероятности перехода системы из состояния в состояние Сравните ее с переходными вероятностями. [c.66]
В условиях примера 4.4 найти вероятности состояний счетчика в момент t=2 (условным временным единицам), если в начальный момент времени счетчик банкнот был исправен и находился в состоянии эксплуатации, а матрица плотностей вероятностей переходов задается следующим образом [c.66]
Изучение деятельности компании в предшествующий период позволяет сделать заключение о том, что ее переходы из состояния в состояние характеризуются приближенно следующей матрицей плотностей вероятностей переходов, не зависящих от времени [c.67]
В данном параграфе устанавливается связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем. Показывается, как используется интенсивность пуассоновских стационарных потоков в качестве плотностей вероятностей переходов системы из состояния в состояние при анализе моделей конкретных ситуаций. [c.123]
Теорема 8.1. Плотность вероятности перехода А..( ) системы S из состояния st в состояние s. в момент времени t под воздействием пуассоновского потока П.. равна интенсивности X(t) этого потока [c.124]
Построить размеченный граф состояний системы, в качестве которой мы рассматриваем оба банкомата сформировать матрицу плотностей вероятностей переходов этой системы из состояния в состояние составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей этих состояний определить начальное распределение вероятностей, если в начальный момент времени t=0 банкомат Bt работал исправно, а банкомат В2 находился в ремонте решить составленную систему дифференциальных уравнений Колмогорова при определенных начальных условиях и найти вероятности состояний во втором квартале от начала анализа, т.е. в момент t=2. [c.126]
Плотности вероятностей переходов у других стрелок определяются аналогичными рассуждениями. [c.127]
Если пронумеровать состояния системы S, например, следующим образом sn— первое, s12— второе, S21— третье, S22— четвертое, а плотность вероятности перехода из г-го состояния Bj-oe (i,j= 1,2,3,4) обозначить через А , то матрица плотностей вероятностей переходов будет выглядеть следующим образом [c.128]
Пуассоновский поток дискретный марковский процесс с непрерывным временем плотность вероятности перехода системы из состояния в состояние переход системы из состояния в состояние под воздействием пуассоновского потока интенсивность пуассоновского потока пуассоновские системы. [c.138]
Как связаны между собой плотность вероятности перехода А..(0 из f-ro состояния в -е в момент времени t системы, в которой протекает дискретный марковский процесс с непрерывным временем, с интенсивностью А( ) в тот же момент времени t пуассоновского потока событий, под воздействием которого происходит этот переход [c.139]
Плотностью вероятности перехода Я/у из состояния S. в состояние Sj называется предел отношения вероятности этого перехода за время А/ к длине промежутка Л , когда последний стремится к нулю [c.319]
Ввиду того что комбинации этих двух факторов изменчивы, изменяется и состояние рынка. Происходящие при этом фазовые переходы представляют собой изменения формы функции плотности вероятности. [c.217]
Когда А достигает значения 2, при h, остающемся равным О, функция плотности вероятности расширяется и становится более плоской мы получаем следующий график — неустойчивый переход . Потенциальный колодец принимает плоскую форму. Если частица выдавливается в одном направлении, это подобно тому, что она остается на месте до тех пор, пока не воздействует новая сила. Информация не обесценена и тренды сохраняются до тех пор, пока новая информация их не изменит. Результаты jR/5-анализа из гл. 9 служат подтверждением того, что это наиболее общее состояние рынков. [c.222]
Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя использовать в качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений, та определяют вероятность появления случайной величины в пределах малого интервала [х, х + Дх), примыкающего к х. Разделив эту вероятность на длину интервала Дх, находят среднюю плотность вероятности и при неограниченном уменьшении длины интервала переходят к пределу, который является плотностью распределения в точке х [c.12]
Отсутствие на графе стрелок из одних состояний в другие означает, что плотности вероятностей соответствующих переходов равны нулю. Например, Л21=0. [c.52]
Из состояния s,, (оба банкомата исправны) в состояние sa (банкомат Bt исправен, банкомат В2 ремонтируется) система S может перейти под воздействием потока отказов банкомата В и потому на основании теоремы 8.1 плотность вероятности этого перехода равна интенсивности Я2=3 этого потока. Обратный переход из состояния s,2 в состояние stl осуществляется под воздействием потока восстановлений банкомата В2 и, следовательно, плотность вероятности этого перехода равна интенсивности ц 2 потока восстановлений банкомата Вг [c.127]
Из состояния s,2 (банкомат В, исправен, а банкомат В2 ремонтируется) система 5 может перейти в состояние s22 (оба банкомата ремонтируются) под воздействием потока отказов банкомата В, поэтому плотность вероятности этого перехода равна интенсивности At=4 указанного потока. [c.127]
Плотность вероятности А ( ) перехода системы из состояния sf в состояние s под воздействием пуассоновского потока П.. равна интенсивности А( ) этого потока. [c.138]
Тем самым, если считать начальное значение XQ случайной величиной с плотностью распределения вероятностей р = р (х ), то случайные величины хп, n Js 1, будут иметь то же самое распределение, что и XQ. Полезно подчеркнуть, что у получаемой таким способом стохастической динамической системы (хп) вся "случайность" полностью определяется случайным начальным значением XQ, а динамика переходов хп — > xn+i задается детерминированным образом согласно соотношениям (3). [c.222]
Плотность вероятности перехода для цепи Маркова удовлетворяет интегральному уравнению Смолуховского [Колмогоров, 1938 Леонтович, 1983], решение которого при определенных предположениях относительно вероятностей перехода [c.111]
Пусть Pg(t) вероятности перехода системы 5 в момент времени t из состояния s. в состояние s при f j и вероятности задержки в момент времени t в состоянии s. при i=j. Если в момент времени t система находится в i-м состоянии, то можно считать, что точно в этот момент t произошла задержка системы в f-м состоянии и поэтому рй( )=1. Следовательно, из соображений выполнения нормировочного условия pn(t)+...+pjii(t) l заключаем, что вероятность перехода системы 5 из i-ro состояния в другое j-e состояние точно в момент t будет равна нулю p..(t)—0, i j. Поэтому вероятности перехода в случае процесса с непрерывным временем уже не играют той определяющей роли в вычислении вероятностей состояний, которую они исполняли в случае процесса с дискретным временем. Вместо переходных вероятностей в процессе с непрерывным временем рассматривают иные характеристики процесса — так называемые плотности вероятностей перехода Л. из состояния s. в состояние sf которые определяются следующим образом. [c.50]
Этот оператор является стохастическим ядром4, или функцией вероятностей переходов, представляя собой обобщение матрицы вероятностей переходов (М можно рассматривать как такую матрицу с бесконечным числом строк и столбцов при непрерывных / и / ). Легко видеть, что стохастическое ядро есть плотность вероятности цен в момент t в зависимости от цен в момент t - т М = f(Pt Pt T). Тогда (17) можно записать в виде [c.22]