В середине пятидесятых годов Л. С. Понтрягин выдвинул так называемый принцип максимума, дающий необходимые условия оптимальности для управляемых систем типа (3.11) с ограничениями на управление типа (3.13). В дальнейшем принцип максимума был обобщен на системы с ограничениями (3.14), характерными для экономических задач (см. [90J). Принцип максимума позволяет качественно проанализировать задачу оптимального управления, выявить особенности оптимальных воздействий на систему и оптимальных траекторий движения. В том случае, когда в исследовании необходимо найти оптимальное воздействие на систему, дифференциальные уравнения (3.11) обычно аппроксимируются многошаговыми уравнениями типа (3.21) и проблема сводится к решению статической задачи оптимизации. [c.59]
Максимум Понтрягина для управления j ресурсами S [c.95]
Максимум Понтрягина для управления технико-экономическими процессами V 1 [c.30]
Максимум Понтрягина для управления ресурсами г Z [c.30]
Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, [c.221]
Понтрягину, соответствующая случаю зависящей от времени цены, и [c.3]
С. Понтрягину [7]. Для этого подставим функция g(t) в выражение [c.27]
Применим принцип максимума Понтрягина [12, 59] для опре- [c.50]
Понтрягина определяются оптимальные стратегии вложения фи- [c.158]
В соответствии с принципом максимума Понтрягина в каж- [c.162]
Принцип максимума" Понтрягина определяет математические условия, необходимые для того, чтобы управление оказалось оптимальным, причем без предварительного определения оптимальной траектории, а путем последовательного регулирования данного процесса. [c.185]
Большой вклад в развитие М.э. как ветви прикладной математики и экономической теории внесли и отечественные ученые — академики Л.В. Канторович, Л. С, Понтрягин, В.Л. Макаров и др. [c.186]
ПОНТРЯГИНА ПРИНЦИП МАКСИМУМА [c.268]
Понтрягина принцип максимума 185, 268 Популяция объектов 396 Порог, пороговая величина 268 Пороговая оптимизация 268 Портрет системы 268 Портретная модель 268 Портфель 269 [c.482]
Функция Гамильтона - Понтрягина 60 [c.494]
В данном разделе для описания поведения предприятий используется линейный вариант модели затраты-выпуск , ориентированный на краткосрочное планирование (это соответствует постоянным коэффициентам модели) и задачи оптимального выбора весовых функций иог (t) в рамках схемы частичной компенсации природоохранных затрат предприятий, осуществляемой Центром. В целом (т.е. по состоянию и управлению) эти оптимальные задачи нелинейны и принадлежат так называемому классу билинейных задач оптимального управления. Для их исследования в данном случае оказался удобным аппарат принципа максимума Понтрягина [Понтрягин и др., 1961]. [c.47]
Для решения задачи (1.4.3), (1.4.4), (1.4.6) удобно использовать принцип максимума Понтрягина [Понтрягин и др., 1961]. Функция [c.51]
Введем в рассмотрение функцию Понтрягина [c.342]
Векторный случай. Условия оптимальности для задачи (2.5)-(2.7) в общем случае имеют форму принципа максимума Понтрягина (см. гл. 9) [c.56]
Задача о предельных возможностях термодинамических систем с несколькими источниками конечной емкости существенно сложнее рассмотренных выше задач с одним или двумя источниками, так как для каждого полуцикла замена независимой переменной времени на температуру одного из источников не упрощает задачи. Условия ее оптимальности могут быть записаны в форме принципа максимума Понтрягина. [c.156]
Достаточные условия оптимальности. Так как управляющие воздействия [/1 и [/2 в сформулированных задачах не ограниченны, их оптимальные решения могут содержать ( -функции (см. (7.84)), поэтому использование принципа максимума Понтрягина здесь неправомерно. Замена независимой переменной t на [c.264]
Принцип максимума Понтрягина. В качестве одного из примеров использования алгоритма получения необходимых условий оптимальности рассмотрим получение таких условий для задачи [c.385]
Наиболее изученным классом задач в общей теории оптимального управления являются задачи оптимального быстродействия, в которых за функционал качества принимается время. Для системы обмена средствами производства задача оптимального быстродействия заключается в определении оптимальной векторной функции управления и (t), позволяющей за кратчайшее время перейти из заданного состояния соотношения спроса и предложения х0 в состояние равновесия xt (х — О, х" = 0). Алгоритм решения задачи оптимального быстродействия основан на использовании принципа максимума Л. С. Понтрягина [1,2] и сводится к следующему. Вводятся" вспомогательные переменные [c.87]
Принцип максимума Л. С. Понтрягина — необходимое условие оптимальности управления [c.42]
ПРИНЦИП МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА [c.43]
Теорема 1 (принцип максимума Л. С. Понтрягина). Пусть и ( ) — оптимальное управление в задаче (1) — (4), Тогда существует некоторый вектор g — 1, g1, g2,. .., gm такой, что определяемая им функция Н [х (t), и, ф (t)] в точке u = u(t) имеет локальный максимум. [c.49]
Главный результат теории — всемирно известный принцип максимума выдающегося советского математика Л. Понтрягина, который говорит, что для многих управляемых систем может быть построен такой процесс регулирования, при котором само состояние системы в каждый данный момент подсказывает наилучший с точки зрения всего процесса способ действий. [c.19]
Принцип максимума Понтрягина определяет математические условия, необходимые для того, чтобы управление оказалось оптимальным. Задачи экономики, основанные на математической теории оптимальных процессов, намного сложнее. Это выражается хотя бы в том, что экономические процессы характеризуются не тремя, а огромным числом фазовых координат, многими управляющими параметрами и т. д. [c.19]
ГАМИЛЬТОНИАН, ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА — ПОНТРЯГИНА [Hamiltonian] — аналог Лагранжиана для задач математической теории оптимальных процессов. Обозначается буквой Н. В об- [c.59]
Понтрягин Лев Семенович (1908—1988), математик, академик АН СССР (1958). С 1939 г. — зав. отделом Математического института им. Стеклова, одновременно профессор МГУ. Имеет фундаментальные научные достижения во многих областях математики и теории управления. Создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит т.н. принцип максимума Понтрягина. Почетный член многих зарубежных академий и научных обществ. Государственная премия СССР (1941), Ленинская премия (1966). [c.447]
В предыдущем параграфе рассмотрены билинейные варианты задачи оптмизации схемы частичной компенсации природоохранных затрат и ее решение на основе принципа максимума Понтрягина. Рассмотрим теперь достаточно общую нелинейную постановку, для исследования которой уже затруднительно использовать принцип максимума Понтрягина. Здесь мы воспользуемся теоремой о совместной оптимальности [Москаленко, 1983]. При этом результаты 1.4 (в силу специфики постановок и методов решения) не являются частным случаем и имеют самостоятельное значение. [c.63]
Более реальна задача, когда выделяемые инвестиции изменяются с течением времени, И = И( ), и требуется определить наилучшие переменные во времени стратегии финансирования Ип( ), Ит( ), Ин( ). Решение такой задачи нетрудно провести средствами математической теории управления [Понтрягин и др., 1961], однако громоздкая математическая процедура решения снова уведет нас от цели методической прозрачности экономических результатов. Вместе с тем, современные методы управления располагают средствами для решения не только обсуждаемой упрощенной, но и достаточно сложных задач реальной экономики (см., например, [Величенко, 1997 а]). [c.365]
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М. Физматгиз, 1961. [c.425]
Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука , 1969. [c.94]
Математическая теория оптимального управления начала особенно интенсивно развиваться после выхода в свет известной монографии Л. С. Понтрягина и его сотрудников [65]. Можно даже сказать, что эта теория стала модной. Этому, в частности, способствовал и тот факт, что задачи создания оптимальных конструкций, режимов управления и т. д. возникают в самых различных прикладных областях. Одновременно с чисто теоретическими исследованиями началась и разработка приближенных методов решения задач оптимального управления. Поток работ на эту тему велик и не ослабевает до настоящего времени. Предлагаемая читателю книга является попыткой подвести итоги этой работы, разобраться в том, что уже удалось сделать, а что — пока еще нет, каковы реальные успехи на этом пути. Следует предупредить читателя, что вычислительная математика обладает обманчивой внешней простотой, и создание вычислительных методов для решения тех или иных задач кажется зачастую очень бесхитростным занятием, а в то же время актуальность разработки эффективных методов вычислений постоянно подчеркивается. Дело в том, что понятие эффективный вычислительный метод после появления ЭВМ претерпело существенное изменение. В домашинную эру можно было говорить о создании эффективного метода решения какого-то класса задач, если была доказана теорема о том, что с любой заданной точностью задачу можно решить ценой конечного числа операций над конечным множеством чисел. Само же число операций особенно не обсуждалось в любом случае оно было очень большим. [c.11]