В частности, эксперт, как это видно из первой строки таблицы, предпочел первый объект второму, счел, что первый объект уступает третьему. Кроме того, эксперт предпочел первый объект четвертому, пятому и шестому. Поэтому в итоге он получил сумму рангов первого объекта, равную четырем. Сумма оценок каждого объекта по сравнению с каждым другим объектом, приведенная в последнем столбце табл. 3.2, и является итогом измерения по шкале порядка — ранжированный ряд имеет вид Q4 < Q5 < ( 6 < Q2 = [c.31]
Решение. Разности рангов и их квадраты поместим в последних двух строках табл. 3.4. [c.80]
Ранг матрицы и линейная зависимость ее строк (столбцов) [c.266]
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (или столбцов). [c.267]
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). [c.267]
S — разность между суммой квадратов сумм рангов и средним квадратом суммы, для чего сумма строк возводится в квадрат и делится на число строк (см. пример). [c.176]
Число п есть порядок определителя D, Число г называют рангом матрицы А, если найдется по крайней мере один определитель r-го порядка, полученный из этой матрицы при удалении некоторых строк и (или) столбцов, отличный от нуля, а все определители (г+1)-го порядка равны нулю. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых столбцов (или строк). [c.254]
Пример. В табл. 1.1 приведены данные ранжирования экспертом шести объектов Q путем оценки методом попарного сравнения. При выполнении оценки эксперт сравнивает пары объектов. Предпочтение одного объекта перед другим он обозначает 1, в противном случае он обозначает ситуацию как 0. В частности, эксперт, как это видно из первой строки табл. 1.1, предпочел первый объект второму и счел, что первый объект уступает третьему. Кроме того, эксперт предпочел первый объект четвертому, пятому и шестому. Поэтому в итоге он получил сумму рангов первого объекта, равную четырем. Сумма оценок каждого объекта по сравнению с каждым другим объектом, приведен-. ная в последнем столбце табл. 1.1, и является итогом измерения по шкале порядка. Ранжированный ряд имеет вид Q4 < Q5 < Q6 < Q2 = Q, < Q3. [c.19]
На втором этапе устанавливаются ранги целей в виде ряда натуральных чисел, определяемых путем вычисления суммы строк соответствующего столбца матрицы. [c.186]
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл. 2.5. При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики, т. е. как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда. Итоговое упорядочение по методу медиан приведено в последней строке табл. 2.5. Ранжировка по медианам имеет следующий вид [c.324]
Sj — суммы рангов, расположенные в строках предпоследнего столбца табл. 7.6. [c.150]
Пусть А — матрица размера т х п. Рангом по столбцам А называется максимальное число линейно независимых столбцов матрицы. Рангом по строкам Л называется максимальное число линейно независимых строк матрицы. [c.27]
Можно показать, что ранг по столбцам матрицы А совпадает с ее рангом по строкам. Поэтому понятие ранга матрицы является корректным 1. Мы будем обозначать ранг А через [c.28]
Если г (Л) = 7П, будем говорить, что А имеет полный ранг по строкам. Если г (Л) = гг, будем говорить, что А имеет полный ранг по столбцам. Если г (Л) = О, то Л будет нулевой матрицей, и наоборот, если Л есть нулевая матрица, то г(Л) = 0. [c.28]
Есть, однако, еще одно определение ранга, которое потребует вводимых позднее понятий определителя матрицы и минора ранг матрицы есть размер максимального ненулевого минора. Оказывается, что это определение также совпадает с определением через линейную независимость строк или столбцов. (Примеч. пер.) [c.28]
Пусть Л — т х п матрица. Показать, что если Л имеет полный ранг по строкам, то ЛЛ+ = /т если Л имеет полный ранг по столбцам, то А+А = / . [c.62]
Доказательство. Так как ВВ ф О, то матрица В имеет полный ранг по строкам и ВВ+ = I (упр. 7.6). Поскольку А = А1 АА+, то [c.63]
Система Ах = b совместна для любого b тогда и только тогда, когда матрица А имеет полный ранг по строкам (поскольку в этом случае ЛЛ+ = /). Если система совместна, то ее решение единственно тогда и только тогда, когда матрица А имеет полный ранг по столбцам. Очевидно, что если матрица А имеет полный ранг по строкам и полный ранг по столбцам, то А является невырожденной матрицей и единственное решение в этом случае есть A lb. [c.66]
Показать, что матричное уравнение АХ В = С совместно при любой матрице С тогда и только тогда, когда матрица А имеет полный ранг по строкам, а матрица В — по столбцам. [c.66]
Если решение уравнения АХ В = С существует, то оно единственно тогда и только тогда, когда матрица А имеет полный ранг по столбцам, а матрица В — по строкам. [c.67]
Показать, что если матрица А имеет полный ранг по столбцам, а матрица В — по строкам, то (АВ + = В+ А+. [c.67]
Пусть А — симметрическая матрица порядка п, а В — матрица размера т х п полного ранга по строкам га. Пусть Агг обозначает квадратную подматрицу порядка г в верхнем левом углу Л, а Вг — матрицу размера га х г, составленную из первых г столбцов В (г = 1,.. . , п). Будем считать, что Вт ф 0. Определим квадратные матрицы порядка га + г [c.85]
Уравнение (4.4), а также упражнение 5.15.1 утверждают, что у невырожденных матриц ранг локально постоянен. Вырожденные матрицы (точнее, матрицы с рангом, меньшим полного по строкам или столбцам) этим свойством не обладают. Рассмотрим, к примеру, матрицы [c.202]
Теперь рассмотрим, как с помощью (1) можно найти дифференциалы и матрицы Якоби определителя некоторых простых матричных функций от X. Начнем с функции ХХ7 , где матрица X не обязана быть квадратной, но должна иметь полный ранг, совпадающий с количеством ее строк. Это нужно для того, чтобы определитель XX был ненулевым (следовательно, положительным). Тогда дифференциал этой функции равен [c.233]
Пусть А и В — матрицы одинакового размера, и А имеет полный ранг по строкам. Положим С = А (АА ) 1В. Тогда [c.302]
Мы не требуем, чтобы матрица RQ имела полный ранг по строкам таким образом, ограничения могут быть линейно зависимыми. Тем не менее требуется, чтобы модель была совместной. [c.347]
В соответствии с табл. 7.7 лучшими методами (1 ранга) оказались пар и нагнетание СС>2 . Вычеркивая столбцы и строки №№2 и 3, получаем табл. 7.8. [c.250]
В ней находится одна таблица. В заголовках строк и столбцов -названия альтернатив. В ячейках таблицы могут стоять только 0 или 1. Единица ставится в случае если r-ый объект строго предпочтительнее у -го объекта и ноль, если объекты несравнимы или эквивалентны. Таблица заполняется по столбцам, т.е. объект, стоящий в заголовке столбца, сравнивается со всеми объектами, стоящими в заголовках строк. Последняя строка таблицы выделена цветом и содержит полученные ранги. Ранг, имеющий значение 1, выделяется красным цветом. Значения ячеек таблицы не могут быть изменены пользователем. Таблица рассчитывается автоматически и требует от руководителя выполнения действий, описанных для первых трех за- [c.472]
Пусть z° — произвольный вектор из Rm. Система By — z° совместна, так как ранг матрицы В в силу условия а) равен числу ее строк и, следовательно, совпадает с рангом расширенной матрицы при любом z<=,R m, Пусть у° — решение системы. Выберем у° таким образом, чтобы. j/j° = 0, j = m+ , . . . , iii. Согласно условию (2.4) соотношение [c.155]
Замечание. Допущение 3° может быть ослаблено и заменено следующим Матрицы Ли( (й 4) прямоугольные, ранг Аи равен числу строк элементы мат- [c.245]
Алгоритм суммирования по рангам. По этой программе производится суммирование всех записей, имеющих п-е ранги, и сравнение их с записями, имеющими (п—1)-е ранги. Если вся информация, подлежащая контролю, помещается в оперативном накопителе или накопителе с произвольным доступом, то удобно проводить суммирование снизу вверх. Однако часто подлежат контролю большие массивы информации, которые в оперативный накопитель не помещаются. Они, как правило, записываются на магнитные ленты и могут вводиться в оперативный накопитель по частям в порядке возрастания шифров. Учитывая это, целесообразно проводить суммирование просмотром сверху вниз. Суть проверки состоит в следующем для каждой информационной записи массива отводится некая группа ячеек grupa [k, r]. Здесь k — номер элемента в строке, k меняется от 0 до числа, равного количеству граф в документе. При =0 (для всех г) ячейки grupa [0, г] предназначены для записи шифра строки или содержимого некоторого счетчика строк, по которому можно найти адрес строки, если она требует исправления. При k=, 2,... элементы этой группы содержат числовые показатели данной строки, г равен рангу строки г=0, 1, 2,..., 8. [c.73]
В блок-схеме, показанной на рис. 2.6, используются обозначения Сг — счетчик количества строк части массива, которая переписана с магнитной ленты для обработки NN — начальный номер этой строки РгК — ячейка, в которой хранится признак окончания всей работы (для выхода из п. 13) shifr — шифр обрабатываемой строки г — ранг обрабатываемой строки т — ранг строки, обработанной на предыдущем шаге kvo — количество записей (количество строк) проверяемого массива, которое можно поместить в оперативный накопитель или накопитель с произвольным доступом. [c.74]
Замечание. Если X есть матрица полного ранга по столбцам, то o (Rf) С со (Х ) для всех Я, olfW ) С со (Х ) для всех W (в частности, для W = / ) и матрица X V 1X не вырождена. Если, кроме того, R имеет полный ранг по строкам, то система R/3 = г всегда совместна и R(X V lX) l R является невырожденной матрицей. [c.334]
Матрицы Лiг( oi 1) прямоугольные, ранг Ац равен чрслу ее строк, элементы матрицы .((ш -1) и псевдообратной матрицы А (ш - >) неотрицательны и, кроме [c.247]
При наличии одинаковых рангов в строке расчет коэффициента кон-хордации производится по формуле [c.83]