Докажите, что если функция спроса убывает и вогнута, а функция издержек выпукла, обе они дважды непрерывно дифференцируемы, то выполняется следующее условие (условие Хана) [c.538]
Действительно, в случае выпуклой функции издержек удельные издержки при росте значений Dub увеличиваются. [c.90]
Сепарабельная выпуклая функция издержек. Эта модель является непосредственным обобщением линейной модели и получается из нее путем учета нелинейной зависимости между выпуском и затратами [c.47]
Эти условия справедливы для широкого круга функций распределения и функций издержек. Действительно, если t(x - s) = x(x - s) - В(х - s) и q (s - х) — возрастающие выпуклые функции, то функция f(x) является выпуклой и данные условия выполняются. Выпуклость функции /(х) можно также обеспечить и при менее жестких условиях, налагаемых на t и Сх. [c.203]
Свойства функции издержек (w, у) выпуклой технологии) Функция издержек (w, у) [c.143]
Это утверждение обосновывает возможность получения некоторого множества допустимых затрат V (y), порождающего функцию издержек с(го, у). Но совпадение V (y) и V(y) возможно только в том случае, когда V(y) удовлетворяет предположениям выпуклости и монотонности. Практический способ восстановления V читатель может сконструировать сам. [c.146]
Для технологии, описываемой производственной функцией /(V) = ra, вычислите функцию издержек. Покажите, что функция издержек однородна по цене фактора производства и выпукла по выпуску у. [c.149]
Покажите, что если производственная функция строго вогнута, то функция издержек строго выпукла. [c.149]
Функция j(y) сопоставляет каждому вектору выпусков y = (ylr..,yl) значение целевой функции этой задачи. В предположении замкнутости технологического множества оптимальное решение существует, если существует хотя бы одно допустимое решение. В дальнейшем мы будем предполагать, что множество значений выпусков у, при которых существует допустимое решение рассматриваемой задачи, совпадает с R+. Это означает, что функция издержек с-(-) определена на множестве R+, т.е. все неотрицательные выпуски возможны. Заметим, что выпуклость множества У гарантирует выпуклость функции [c.213]
В этом примере ключевым моментом является то, что функция v(-) не является вогнутой. Можно было построить подобный пример иначе так, чтобы функция v(-) была вогнутой, но функция издержек не была выпуклой. Таким образом, для доказательства аналога пер- [c.216]
Предположим, что функции vt(-) вогнуты, а функции издержек с,-(-) выпуклы, и пусть [c.217]
Напомним, что в рассматриваемом случае технологию каждого производителя представляет функция издержек. Если технологическое множество выпукло, то функция издержек является выпуклой. В этом параграфе мы приведем постановки задачи потребителя при различных предположениях о типе конкуренции с которым сталкивается производитель. [c.226]
MWG] Производитель имеет дифференцируемую строго выпуклую функцию издержек с (у, h), где у — объем выпуска (р — рыночная цена выпускаемого блага), h — уровень (отрицательных) экстерналии. Экстерналии влияют на потребителя, чья функция полезности имеет вид u = v(h) + z, где z — количество денег, расходуемое на другие блага. [c.395]
С другой стороны, любое допустимое состояние экономики ( ж,5г г, у, г ), для которого выполняется данное соотношение, может быть реализовано как равновесие при дополнительном предположении о выпуклости функции издержек с(у) и вогнутости функций по- [c.420]
Пусть имеется m потребителей, предпочтения которых представимы квазилинейными функциями полезности иг(хг1 zt) = г>г(жг) + zt. Мы будем предполагать, что функции полезности иг(хг1 zt) — строго вогнута, дифференцируема и г> (жг) > 0. Потребители обладают фиксированными доходами (запасами квазилинейного блага) сог. О функции издержек монополиста, с(-), мы будем предполагать, что она выпукла, дифференцируема и с (у) > 0. [c.490]
Из выпуклости функции издержек следует, что [c.525]
Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому данное неравенство может быть выполнено только если [c.529]
Из выпуклости функции издержек получаем требуемое [c.530]
С другой стороны, функция издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей касательной, поэтому [c.531]
В силу выпуклости функции издержек с(-) имеем, что [c.536]
Заметим, что строгая выпуклость функций издержек се(-) гарантирует единственность решений задач определения оптимальных уровней усилий xl и ж2 в ситуации симметричной информированности и достаточность условий первого порядка. То же самое справедливо и для задачи определения величины оптимального уровня усилий х1 для случая асимметричной информированности. Аналогичные свойства задачи определения уровня усилий ж2 можно гарантировать лишь при дополнительных условиях, например, при выпуклости функции с2(х)-с1(х) (монотонности функции с2(ж) -с[(ж)). При этом [c.604]
Заметим, что функция ги(-) будет иметь достаточно сложный вид. Например, если функции издержек дифференцируемы, то оптимальные пакеты нельзя реализовать в виде линейного контракта w(x) = a + bx точки (же, гие) могут не лежать на одной прямой, кроме того, при строгой выпуклости функций издержек кривые безразличия будут пересекать прямую, проходящую через эти точки даже и в том случае, если они лежат на одной прямой. Более того, как правило, оптимальный контракт не может быть гладкой функцией. [c.617]
Для того чтобы упростить анализ, будем предполагать, что функции издержек строго выпуклы. [c.622]
Из формулы для выражения средних издержек fT(y) через количество поставок п(Т) видно, что средние издержки являются выпуклой вниз функцией, т. е. достигают минимума в т. Q0, соответствующей оптимальному количеству поставок п(Т) так как ближайшими значениями к Q0 из допустимых целых являются Q и Q2, то минимум достигается в одной из этих точек, что треб, доказать. [c.14]
Как мы видели, в равновесии Курно (Y= Y ) данная величина равна нулю. Если предположить, как и ранее, вогнутость функции p(Y Y, убывание функции спроса и выпуклость издержек, то производная функции W(K, n) убывает по Y, поэтому W(K, n) строго вогнута по Y, откуда следует, что в точке Y достигается ее (единственный) максимум. [c.534]
Предельные издержки Асг(п) есть затраты центра на стимулирование при приеме на работу п+ 1-го работника. Обычно считается ("закон возрастания предельных издержек"), что предельные издержки возрастают с ростом числа нанятых работников (то есть функция затрат центра на стимулирование выпукла). [c.8]
Если отказаться от экономической терминологии, то в рамках введенных предположений целевая функция центра имеет единственный максимум по числу АЭ (как разность между вогнутой функцией дохода и выпуклой функцией затрат на стимулирование). Следовательно, для ее максимизации необходимо и достаточно обращения в ноль производной, что и соответствует равенству абсолютных значений производных слагаемых, то есть равенству предельного дохода и предельных издержек. [c.9]
Обратно, если ставки налогов на производство экстерналии удовлетворяют правилу Пигу, то равновесие с налогами Парето-оптимально при дополнительных предположениях о том, что функции полезности вогнуты, а функции издержек выпуклы. [c.377]
Заметим, что если функции полезности вогнуты, а функции издержек выпуклы, причем хотя бы одна из них строго, то величины налогов Пигу и цен экстерналии не зависят от состояния равновесия и рассчитываются по указанным выше формулам на решении задачи (Щ). [c.377]
Условия замкнутости множеств Xk, Y. и непрерывности функций uk — естественные, легко интерпретируемые требования. В частности, замкнутость Xk означает, что из допустимости некоторых наборов, сколь угодно близких к данному, следует, что и сам набор тоже допустим. Наличие нулевого вектора в Y. означает возможность остановки производства без существенных дополнительных издержек — предположение, которое, конечно, не всегда справедливо. Непрерывность функции полезности эквивалентна следующему свойству предпочтения если вектор х предпочтительнее х", то и все достаточно близкие к х наборы тоже предпочтительнее х". Предположения о выпуклости множеств Xk, Y. и квазивогнутости функций uk обладают ясным экономическим содержанием. Выпуклость технологических множеств означает, что если в течение рассматриваемого промежутка времени возможен любой из двух технологических режимов, то можно часть времени поддерживать первый из них, а оставшееся время — второй, причем переход с одного режима на другой не требует затрат. Последнее условие отнюдь не всегда выполняется, так что требование выпуклости сужает общность модели. [c.491]
Из вогнутости функции р(у)у следует, что ее производная р(у) + р (у)у не возрастает. Аналогичным образом, из выпуклости функции с (у) следует неубывание предельных издержек. Учитывая убывание обратной функции спроса р(у), получаем, что выражение в левой части дифференциальной характеристики убывает. Отсюда следует единственность объема Y", удовлетворяющего данному уравнению. [c.527]