Как и в случае винеровского процесса (броуновского движения), "естественным" определением стохастического интеграла It (/) от простых функций / вида (2) по семимартингалу X, обозначаемого (/ X)t, I f (s, ш) dXs и А / (s, ш) dXs, является значение [c.358]
Процесс броуновского движения со сносом и пуассоновскими скачками 831 [c.484]
Необходимо отметить еще один пример реализации данной концепции цены на опционы содержат информацию относительно колебаний цены их базовых активов. Несмотря на тот факт, что эти цены не следуют геометрическому броуновскому движению, присутствие которого является необходимым условием для большинства ценовых моделей опционов, трейдеры, несомненно, приспособились к обобщенной информации относительно распределения ценовых изменений, полученной опытным путем, и имеющего толстые хвосты [337]. В этом случае и в отличие от крахов, у трейдеров есть время адаптироваться. Возможно, причина заключается в том, что на протяжении десятилетий трейдеры занимаются торговлей опционами, где характеристическая временная шкала для жизни одного опциона составляет от месяца до года. Этого достаточно, чтобы возник обширный процесс накопления опыта. В противовес этому, за всю жизнь трейдер столкнется всего с несколькими великими крахами, что не дает возможности трейдерам научиться приспосабливаться к ним. Ситуацию можно сравнить с экологией некоторых биологических видов, которые все время борются за адаптацию. Под влиянием эволюции, им, как правило, удается выжить, адаптируясь в условиях медленно меняющегося давления. Напротив, в жизни могут случиться массовые уничтожения или резкий рост популяции, что, вероятно, связано с поразительно [c.274]
В случае геометрического броуновского движения процесс плотности [c.75]
JO, ПРОЦЕСС ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ [c.204]
Случайный процесс = (5т(й>))ге м) называется процессом геометрического броуновского движения,, если [c.204]
Если стоимость некоторого финансового актива определяется процессом геометрического броуновского движения, то годовую волатильность стоимости финансового актива можно оценить на основе исторической информации о ценах этого актива, [c.205]
Когда ученые сталкиваются с многомерным процессом неизвестного происхождения, они часто выбирают независимый процесс типа броуновского движения в качестве рабочей гипотезы. Если анализ показывает, что сделать прогноз трудно, гипотеза принимается как истина. Турбулентность жидкости моделировалась таким образом в течение многих десятилетий. Вообще говоря, рынки продолжают моделироваться этим способом. [c.28]
Херст знал о работе Эйнштейна (1908) о броуновском движении (беспорядочный путь, который проходит частица, взвешенная в жидкости). Броуновское движение стало первичной моделью для процесса случайных блужданий. Эйнштейн обнаружил, что расстояние, которое проходит случайная частица, увеличивается пропорционально квадратному корню из времени, используемому для его измерения, или [c.63]
Когда процесс находится в броуновском движении с Н = 0,50, (t) равно нулю. Эффекта долговременной памяти нет. Когда 0 < Н < 0,50, (t) отрицательно. В данном [c.179]
Дробное дифференцирование звучит странно. По существу, это попытка преобразовать непрерывный процесс, дробное броуновское движение, в дискретный процесс посредством разбивания процесса дифференцирования на более мелкие компоненты. Целочисленное дифференцирование, которое является лишь грубым приближением, часто ведет к неправильным выводам, когда такая упрощенная модель налагается на реальный процесс. [c.184]
Процесс может быть дробным броуновским движением с длинной, но [c.233]
В Главе 2 мы рассмотрели временную структуру волатильности рынков акций, облигаций и валюты. Временная структура волатильности - стандартное отклонение прибылей на различных горизонтах времени. Если рыночные прибыли определяются нормальным распределением, то волатильность должна увеличиться с квадратным корнем из времени. То есть пятидневные прибыли должны иметь стандартное отклонение, эквивалентное стандартному отклонению ежедневных прибылей, умноженному на квадратный корень из пяти. Однако мы нашли, что акции, облигации и валюта имеют такие временные структуры волатильности, которые увеличиваются быстрее квадратного корня из времени, что согласуется со свойствами распределений бесконечной дисперсии и дробного броуновского движения (FBM). Для чистого процесса FBM такое масштабирование должно увеличиваться бесконечно. Мы нашли, что валюта, как оказалось, не имеет предела масштабирования, но [c.244]
Процесс Винера, известный также как броуновское движение [c.461]
Пусть S будет любой случайной переменной, а г — периодом времени. За малый промежуток времени А/1 случайная переменная S изменится на AS. Если S следует процессу Винера, т.е. броуновскому движению, изменение S за малый промежуток времени будет соотноситься с Дг следующим образом [c.464]
Рис. 10.4 показывает пример процесса Ито (геометрического броуновского движения). Следует отметить рост, подобный экспоненциальному, что является следствием пропорциональной зависимости ставки роста от уровня S в процессе. [c.470]
Сущее гвуеч класс шумовых процессов, который соответствует этим критериям 1/Г или дробные шумы. В отличие от процесса AR H, который зависит от сложной сташсшческои манипуляции, дробные шумы представляют собой обобщение процессов броуновского движения. Кажется, что они повсюду. Повсеместная природа l/f-шума озадачивала и интриговала ученых в течение некоторого времени, l/f-шум особенно характерен для фазовых переходов, где внутренние масштабы длины или времени прекращают существовать то есть корреляции становятся бесконечными. [c.165]
До сих пор, обсуждая разные модели динамики цен, мы имели дело либо (в основном) с моделями, в которых цены S = (Sn) фиксируются в дискретные моменты времени п = 0,1,..., либо (как в случае Ба-шелье) с моделями, в которых цены 5 = (St)t o описываются непрерывным случайным процессом (броуновским движением, например) с непрерывным временем t 0. [c.141]
Применительно к прогнозированию цен валют на рынке FOREX возможности для прогнозирования здесь, с нашей точки зрения, весьма оптимистичны. Если мгновенные значения курсов валют действительно напоминают хаотичный процесс броуновского движения, то средние значения курсов в виде трендов цен закрытия (на 16 00 по Нью-Йорку), трендов максимальных и минимальных цен в функции времени (дат торгов) достаточно хорошо оцениваются и прогнозируются. [c.251]
При достаточно большом п процесс геометрического броуновского движения = ( т(йд) Е , ) можно аппроксимировать и-этапиой биномиальной моделью с параметрами [c.205]
В таблице 12.1 приводятся результаты, а на рисунке 12.1 показан график V-статистики для этой валюты. Показатель Херста выше значения для ежедневных американских акций, при этом Н = 0,64. Этот период имеет 5 200 наблюдений, так что оценка более чем на три стандартных отклонения выше ее ожидаемого значения. Следовательно, она в высокой степени перситентна по сравнению с фондовой биржей. Однако не видно никакого долгосрочного цикла. Это согласуется с временной структурой волатильности, которая также не имеет очевидного снижения риска. Поэтому мы можем сделать вывод, что обменный курс иена/доллар совместим с дробным броуновским движением, или процессом Херста. Однако в отличие от рынка акций и облигаций не наблюдается переход к долговременной "фундаментальной" оценке. На всех инвестиционных горизонтах продолжает доминировать техническая информация. На основании этого мы могли бы предположить, что этот процесс является истинной "бесконечной памятью", или процессом Херста, в противоположность процессу с долгой, но конечной памятью, который характеризует рынки акций и облигаций. [c.159]
Процесс Херста, который, по существу, является процессом черного шума, уже широко обсуждался. Подобно розовому шуму, кажется, что в природе существует большое количество процессов черного шума. Розовые шумы происходят в процессах релаксации, таких как турбулентность. Черный шум появляется в длительных циклических данных наблюдений, таких как уровни рек, число солнечных пятен, толщина годовых колец, а также изменения цен на фондовом рынке. Процесс Херста является одним возможным объяснением появления черного шума, но есть и другие причины существования во временном ряду персистентности. В Части 5 мы обсудим возможность "шумового хаоса". В этом разделе мы исследуем дробное броуновское движение. [c.178]
Дробное броуновское движение (fra tional brownian motion - FBM) представляет собой обобщение броуновского движения, которое долгое время использовалось как процесс диффузии "по умолчанию", как мы неоднократно говорили ранее. По существу, если изучаемый процесс неизвестен, и вовлечено большое число степеней свободы, то броуновское движение является столь же хорошим объяснением, как и любое другое объяснение. Поскольку броуновское движение и его свойства так широко и хорошо изучены, оно также делает доступным большое количество математических инструментов для анализа. Однако, как мы видели, широкая распространенность вероятностных процессов и броуновского движения - это миф. Херст обнаружил, что большинство процессов персистентно и обладает эффектами долговременной памяти. Это нарушает предположение, которое делает процесс случайным, понижая, таким образом, надежность большинства таких инструментов. Частью проблемы является ограничительное предположение, необходимое для броуновского движения - и гауссовой статистики, которая лежит в его основе. Это становится частным случаем, а не общим случаем. Возможно, самая широко распространенная ошибка в анализе временного ряда - предположение о том, что большинство рядов должно быть принято как броуновское движение, пока не доказано обратное. Обратное должно иметь место. [c.178]
Эйнштейн (Einstein, 1908) увидел взаимосвязь между броуновским движением и случайным блужданием. В 1923 г. Винер (Weiner, 1976) смоделировал броуновское движение как случайное блуждание, с лежащей в основе гауссовой статистической структурой. Федер (Feder, 1988) объяснил этот процесс следующим образом. [c.178]
Для Н = 0,50 это сводится к классическому гауссову случаю. Дисперсия увеличивается линейно со временем, или стандартное отклонение увеличивается как квадратный корень из времени. Однако FBM имеет дисперсии, которые изменяют масштаб быстрее броуновского движения, когда 0,5 < Н < 1. Согласно (13.3) стандартное отклонение должно увеличиваться со скоростью, равной Н. Таким образом, персистентный процесс черного шума будет иметь дисперсии, которые ведут себя очень подобно масштабированию рынков капитала, которое мы исследовали в Главе 2. Однако те процессы действительно увеличивались медленнее Н. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний изменял масштаб как 0,53 корня из времени, в то время как Н = 0,58. Аналогично, стандартное отклонение обменного курса иена/доллар изменяло масштаб как 0,59 корня из времени, в то время как Н = 0,62. Идея, стоящая за уравнением (13.6), правильна, но она нуждается в дальнейшем усовершенствовании. Мы оставляем это для будущего исследования. Тем временем, мы можем сказать, что между масштабированием дисперсии и Н существует взаимосвязь. Точный характер этой взаимосвязи остается неясным. [c.179]
Как и прежде, когда Н = 0,50, уравнение (13.8) сводится к обычному броуновскому движению. Если мы более внимательно исследуем (13.8), мы увидим, что в отношении FBM появляется целый ряд интересных свойств. Первое свойство заключается в том, что FBM - нестационарный процесс, который часто наблюдался в отношении рынков капитала. Однако изменения в FBM не только стационарны, но и самоподобны. Уравнение (13.8) может быть упрощено, для целей моделирования, в форму, которую легче понять [c.180]
Оригинальная работа, пгттолглующля гтаттггтичсские методы для анализа прибылей, была опубликована в 1900 г. Луи Ва-шелье, который применил к акциям, облигациям, фьючерсам и опционам методы, созданные для анализа азартных игр. Статья Вашелье стала работой пионерского предвидения, намного опередившей время. В числе ее достоинств было открытие того факта, что процесс случайных блужданий (позже формализованный Винером) является броуновским движением. Эйнштейн переоткрыл эту связь десятилетием позже. [c.30]
В Приложении 3 дано краткое описание бейсик-программы для имитации ряда обобщенного броуновского движения с помощью ряда гауссовского. Этот метод помогает понять, кроме того, что представляет собой обобщенное броуновское движение. Каждое приращение во временном ряду обобщенного броуновского движения вычисляется как скользящее среднее, со степенной весовой функцией, от гауссова процесса с п независимыми случайными числами. С каждым шагом веса предшествующих N наблюдений уменьшаются N олицетворяет собой эффект долговременной памяти системы теоретически она бесконечна. Для целей имитации мы должны ограничить ее произвольно выбранным большим числом. В демонстрационном примере ряд из 8000 псевдослучайных чисел преобразован в 1400 смещенных случайных чисел описанным выше методом. Каждое смещенное приращение состоит из 5 случайных чисел и памяти о 200 смещенных числах. Проверка показала, что программа обладает достаточным быстродействием. Для каждого смещенного приращения (которое состоит из 5 гауссовских чигрИ пл должны оценить 200 предшествующих смещенных чисел (5 200 = 1000 гауссовских чисел). Эффект памяти порождается включением в расчет текущего числа, предшествующих чисел. Если рынок обладает подобного Рода эффектом памяти, то тогда каждая прибыль соотносится с величинами предшествующих М прибылей. В лю-оом случае измерение Н далее ведет к описанной выше несложной, хотя и довольно громоздкой вычислительной процедуре. [c.95]
На рис- 7.4 показана аналогичная кривая для Н = 0.72 — значения, часто наблюдаемого в природных процессах. Эти данныр (пни также представлены па риг. 7.1) были получены аппроксимацией обобщенного броуновского движения, более Детально описанной в Приложении 3. Такой ряд получен, как было сказано, с учетом памяти о 200 наблюдениях. В имитато-Ре Херста, использующем смещенную колоду из 27 карт, эффект памяти моделировался джокером. Он мог появляться, 8 среднем, после 27 снятий колоды, в продолжение большого количества имитаций. Имитатор Херста располагал памятью 0 27 наблюдениях. Долгосрочные корреляции после 27- наблюдений падают до нуля, и при шаге по времени 27 наблюдений ли более система начинает следовать случайным блуждани-Чм Таким образом, мы могли бы принять эти 27 наблюде-Ии как цикл, или период, системы. Данные, которые были Яты для построения кривых на рис. 7.1 и 7.2, имитируют [c.97]
Смотреть страницы где упоминается термин Процесс броуновского движения
: [c.168] [c.323] [c.341] [c.352] [c.374] [c.418] [c.251] [c.80] [c.97] [c.79] [c.433] [c.1223] [c.74] [c.82] [c.184] [c.284] [c.463] [c.470]Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) -- [ c.0 ]