В этой самой простой биномиальной модели цены не могут расти систематически, как, например, растет цена бескупонной облигации при приближении момента ее гашения. Ясно также, что математическое ожидание доходности актива равно 0. Поэтому и безрисковая ставка должна быть равна О (многочисленные наблюдения убеждают, что математическое ожидание доходности любого рискового актива не может быть меньше безрисковой ставки). Все эти соображения делают данную модель пригодной лишь для некоторых поясняющих иллюстративных расчетов (см. 14.4). [c.104]
В простейшей биномиальной модели из 13.1 опросите а) какова вероятность того, что цена станет меньше первоначальной за день за 2 дня за 3 дня б) останется неизменной в течение 2 дней 3 дней в) станет такой же через день через 2 дня через 3 дня. [c.108]
Докажите, что в простейшей биномиальной модели из 13.1 цена не помнит своего прошлого, т.е. ее случайное поведение есть марковский процесс. Графически это отображается так в биномиальном дереве вырастающее из любого сучка дальнейшее дерево изоморфно первичному биномиальному дереву. [c.108]
В простейшей биномиальной модели из 13.1 определим с.в. Сп=тах(0,5п— SQ). Составьте ряды распределения для с.в. Сь С2, С3 [c.108]
По простейшей биномиальной модели из 13.1 некий наблюдатель наблюдает цены через день. Как для него выглядит множество возможных цен [c.108]
Рассмотрите аналог простейшей биномиальной модели из 13.1, в которой вероятности повышения и понижения цены неравны 1/2. [c.108]
Исследуйте простейшую триномиальную модель подобно тому, как это сделано в отношении простейшей биномиальной модели в 13.2. [c.109]
Нет необходимости говорить, что оценка опциона становится более сложной, когда мы имеем последовательные и сложные опционы. Здесь возможны два выбора. Один из них заключается в оценке этих опционов как простых и в принятии факта приблизительной оценки ценности. Другой выбор заключается в модификации модели оценки опциона с учетом специфических характеристик оцениваемых опционов. Хотя в этой книге мы не рассматриваем эти модели, их можно получить, модифицируя модель Блэка-Шоулза или биномиальную модель, чтобы учесть все особенности сложных и последовательных опционов. [c.1071]
Кроме оценки опциона мы можем применить данный подход к задаче хеджирования (ограничения) риска. Пример — динамическое хеджирование портфеля ценных бумаг. Пусть мы управляем портфелем ценных бумаг и хотим застраховаться от падения стоимости этого портфеля ниже определенной величины, например X, через три месяца. Простейший способ — это купить пут-опцион на этот портфель с ценой исполнения X и сроком погашения три месяца. Пусть, однако, торговля такими опционами не производится. Если цена портфеля изменяется согласно биномиальной модели (либо согласно обсуждаемой ниже лог-нормальной модели), то можно воспроизвести пут-опцион посредством достаточно частой (в пределе — непрерывной) торговли, создавая тем самым искусственный опцион на этот портфель. Разумеется, при слишком [c.94]
Отдельно следует остановиться на особенностях американских опционов на дивидендную акцию. Биномиальный метод позволяет рассчитывать стоимость опционов и в этом случае. Простейший вариант исходных условий состоит в том, что заранее известен день выплаты дивидендов, после которого цена акции скачкообразно уменьшается на заранее известную величину. При этом возникает сложность формального характера, связанная с тем, что в отличие от упрощенного примера 5.1 в точном методе узлы решетки расположены неравномерно по цене (см. (5.7)), и одинаковый сдвиг в определенный момент во всех узлах приводит к рассогласованию решетки и резкому нарастанию количества узлов в последующем. Один из путей возможного решения проблемы состоит в том, чтобы несколько модифицировать решетку и с этой целью представить цену акции в любой момент существования опциона как сумму двух компонентов регулярной составляющей, отражающей приведенные к текущему моменту будущие дивиденды за время существования опциона, и остальной части цены акции (ср. с (4.2)). Предполагается, что изменение только этой остальной части носит случайный характер и описывается биномиальной моделью. Так, если до экспирации опциона остается Т — т Т (Т - шаг решетки по времени) и за этот период предполагается выплата одного дивиденда размера d в момент t, причем kx < t < (k + 1)т, то значения цены акции в узлах решетки определяются по правилу [c.48]
Процесс преобразования применяемой в модели Блэка-Шоулза непрерывной дисперсии в биномиальное дерево довольно прост. Предположим, что у нас есть актив, продающийся в данный момент по цене 30 долл., а оценка стандартного отклонения стоимости актива, приведенного к годовому масштабу, дала значение в 40%. Безрисковая ставка в годовом выражении — 5%. Для упрощения предположим, что срок жизни опциона, подлежащего оценке, равен 4 годам, а период равен 1 году. Для оценки цен к окончанию каждого года мы сначала оценим движения вверх и вниз по биномиальной схеме [c.137]
В данной главе изложены три модели ценообразования активов. В этих моделях цена актива случайно меняется с течением времени. Первые две модели весьма простые - колебания цены имеют всего лишь два значения, из-за чего эти модели называются биномиальными. На основе этих моделей построены более сложные, имеющие уже практическое значение и используемые в реальных финансовых расчётах (см. гл. 14, посвященную ценообразованию опционов). [c.103]
В учебной литературе принято сосредоточивать внимание на европейских опционах на бездивидендные акции. Мы будем следовать этому дидакди-чески испытанному методу при решении первых трех задач, причем мы перейдем от простой модели двух моментов времени—двух ситуаций через биномиальную модель к модели Блэка—Скоулза. Кроме того, мы хотим уяснить для себя, каким образом цена опциона на покупку (опциона колл) зависит от главных определяющих ее факторов. Далее будет показано, что с точки зрения одного владельца акции безразлично, хеджирует ли он с помощью опциона колл или опциона пут, если оба опциона оцениваются лишь на основе справедливой цены. [c.256]
От модели Блэка-Шоулэа К биномиальной модели. Преобразование исходных данных для модели Блэка-Шоулза в исходные данные для биномиальной модели представляет собой довольно простую операцию. Чтобы произвести эту корректировку, следует сделать допущение о мультипликативном биномиальном процессе, где величина скачков в процентном выражении остается неизменной в каждом периоде. Если допустить симметричную вероятность, то повышающие (и) и понижающие (d) движения можно оценить как функцию от выраженной в годовом исчислении дисперсии динамики цены и числа периодов, на которое разбит каждый год (t). [c.1041]
Оценка конвертируемо-отзывной облигации. Многие конвертируемые облигации заключают в себе право на досрочный выкуп. Наличие двух опционов в облигации (одного — принадлежащего покупателю облигации, а другого — принадлежащего продавцу облигации), а также взаимодействие между этими двумя опционами, предполагают, что эти два опциона должны оцениваться совместно. Бреннан и Шварц (Brennan and S hwartz, 1977, 1980) провели анализ конвертируемых облигаций с правом досрочного выкупа при наличии риска дефолта и разбавления акций. Простейший подход к выяснению взаимодействия различных опционов состоит в использовании биномиальной модели оценки опциона. [c.1216]
В этом смысле вводимая ниже биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна ( ox-Ross-Rubinstein), [82], играет в финансовой математике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей - будучи весьма простой, эта модель дает возможность полного расчета многих финансовых характеристик, например, справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др. (см. далее гл. VI). [c.137]
Биномиальный метод, называемый также по имени его авторов методом Кокса-Росса-Рубинштейна ( ox-Ross-Rubinstein), был предложен в 1979 году и является более поздним по отношению к методу Блэка-Шоулса (1973). Однако начинать знакомство с подходами к оценке опционов лучше именно с более простого биномиального метода. В определенном смысле он аналогичен численным методам решения дифференциальных уравнений. Первоначально данный подход применялся для расчета стоимостей американских опционов, для которых отсутствует точное аналитическое решение, а впоследствии был распространен на многие более сложные производные инструменты. В настоящее время численные методы наряду с методами статистических испытаний (Монте-Карло) чаще всего используются в моделях обсчета производных инструментов, так как позволяют максимально учесть реальные условия операций с ними. [c.35]
Отметим, что теория расчетов тех или иных производных ценных бумаг зависит от того, какими моделями описываются основные ценные бумаги, какие гипотезы заложены относительно структуры и функционирования рынка ценных бумаг. Вэтомсавошениипростейшимявляется(В,5)-рынок, описываемый биномиальной (ТйЛ-моделью, т.е. моделью Кокса-Росса-Рубинштейна (см. 1е, гл. II). Хотя эта модель проста, тем не менее, на ее примере прощевсегопонять общие принципыипроиллюстрировать технику расчетов, основанную на идеях "безарбитражности" При этом опционам уделяется первостепенное внимание не только потому, что они интересны и сами по себе, но и потому, что многие другие проблемы, связанные с решениями на рынке ценных бумаг, или могут быть переформулированы на языке опционов, или могут использовать хорошо развитую технику расчетов опционных контрактов, в основе которой лежит простая, но плодотворная идея "хеджирования" [c.247]