Задачи интерполяции

Достаточно типичной является следующая задача по заданному массиву точек на плоскости (2D) или в пространстве (3D) построить кривую, проходящую либо через все эти точки (задача интерполяции), либо вблизи от этих точек (задача сглаживания ).  [c.124]


Обратимся для определенности к задаче интерполяции и начнем рассмотрение с обсуждения правил выбора класса кривых.  [c.124]

Основные решаемые задачи — интерполяция и экстраполяция (собственно прогноз). Метод наименьших квадратов в простейшем случае (линейная функция от одного фактора) был разработан немецким математиком К. Гауссом в 1794—1795 гг. Могут оказаться полезными предварительные преобразования переменных. Для игроков на финансовых рынках такой подход именуется техническим анализом.  [c.137]

Задача фильтрации и прогноза или, как ее еще называют, задача интерполяции, сглаживания и экстраполяции была впервые поставлена А. Н. Колмогоровым, как формально математическая задача [165, 167]. В начале второй мировой войны этой задачей занимался Н. Винер в связи с проектированием приборов управления огнем зенитной артиллерии. Дело в том, что при стрельбе по движущейся цели точка, в которую направляется снаряд, должна быть вынесена вперед по курсу цели на расстояние, которое пройдет цель за время полета снаряда. Любой метод слежения за целью связан со случайными ошибками наблюдения. Цель может совершить непредвиденный заранее маневр. Отсюда необходимость сглаживания и упреждения траектории цели. Для решения этой задачи проектируются приборы управления огнем зенитной артиллерии. В дальнейшем необходимость в сглаживании и упреждении при различных условиях и различных требованиях к качеству фильтрации и к области допустимых прогнозов возникла во многих задачах экономики, метеорологии и, главным образом, в теории и технике автоматического регулирования.  [c.38]


В задаче прогноза ta. >Q при п. = 0 задача превращается в задачу фильтрации, а при — 7 - < ta < 0 — в задачу интерполяции.  [c.39]

При п>.0 мы имеем дело с задачей прогнозирования (упреждения, экстраполяции). При п=0 мы рассматриваем задачу сглаживания (усреднения, фильтрации). При — Г< п<0 рассуждения будут относиться к задаче интерполяции случайного процесса.  [c.307]

Задача повышения удельного веса технически обоснованных норм решается путем типизации технологических процессов и установления типовых норм времени на все наиболее трудоемкие детали (валы, диски, покрышки, цилиндры, рабочие колеса и др.). На каждую группу таких деталей разрабатываются типовые технологические процессы. Однотипные детали группируются по размерам с деталями, аналогичными по конфигурации или конструктивным особенностям. Для каждой типовой группы предусматривается наиболее рациональный технологический процесс. Технические нормы времени в каждой группе составляются на один-два типоразмера детали. На остальные же типоразмеры нормы устанавливаются методом аналогии и интерполяции. Проверка правильности норм, установленных таким методом, показывает, что отклонения от норм, установленных непосредственным расчетом, незначительны. Благодаря применению метода типизации оказывается возможным резко повысить удельный вес технически обоснованных норм.  [c.196]

В настоящей статье показывается плодотворность указанной точки зрения на основные задачи разделов численного анализа. При этом сама задача исследования функции имеют несколько этапов для своего усвоения. Первый этап связан с введением в проблематику - исследование функции и создание методов исследования. После того, как понятие функции сформулировано трудно наметить пути проникновения в микроструктуру этого понятия. Естественно, в этом случае необходимо обратится к опыту и просмотреть эмпирически, как появляется функция, функциональная зависимость. Здесь, разумеется, возникает сразу множество проблем, связанных с математической обработкой данных опыта. Первая задача связана с вычислением значений функции. При этом основными инструментами является общее чутье и маленькие хитрости . Вопрос, с чем обычно сталкиваются - это интерполяция недостающих значений. Вообще говоря, при интерполяции нам дано несколько узлов и нужно вычислить приближенно некоторые значения, которых нет в таблице. Таким образом, мы должны по взятым узловым (опорным) точкам построить приближенную модель функции. В большинстве таблиц делается предположение, что функция ведет себя между последовательно взятыми точками, как прямая, хотя можно предположить, что она ведет себя как квадратный трехчлен или как многочлен более высокой степени, т.е. представить функцию в виде полиномиального сплайна. Наиболее просто, конечно, первое из них принимаем ломанную, т.е. сплайн 1-го порядка порядка,, за приближенную модель функции f(x). Ясно, что  [c.12]


Экономическая постановка задачи предусматривает широкое использование математико-статистических методов анализа, в частности методы корреляционно-регрессионного и дисперсионного анализов, методы интерполяции и экстраполяции на заданный период времени и др. Применение этих методов обусловливает проведение большого объема вычислительных работ. Для облегчения расчетов по уже известным экономико-статистическим моделям в приложении в виде модулей приводятся алгоритмы решения  [c.50]

В данной работе мы будем рассматривать две задачи оптимальной оценки и идентификации. Как видно из предыдущих рассуждений, эти задачи существенно различаются как по постановке, так и по интерпретации результатов. Действительно, если целью является получение различных интерполяционных формул или исследование связи для изучения возможностей интерполяции, содержательная интерпретация результатов нас не интересует. Например, не играет никакой роли с профессиональной точки зрения выбор вида аппроксимирующей функции. Единственным  [c.17]

С проблемой сглаживания, интерполяции и упреждения и различными ее обобщениями часто встречаются в теории переработки и передачи информации, в-различных задачах экономического прогнозирования, предсказания погоды и при решении многих технических и технологических вопросов, связанных с автоматическим управлением. Во всех этих задачах исходная информация, определяющая выбор решения, складывается из полезного (детерминированного или случайного) сигнала и случайной помехи, влияние которой снижает качество решений. Отсюда возникает задача сглаживания усреднения или фильтрации). Задача упреждения (или, что то. же, задачи прогнозирования, предсказания, экстраполяции) и интерполяции на первый взгляд отличается от задачи сглаживания, но по своей формальной структуре они тесно связаны между собой. Для анализа и решения различных вариантов задач сглаживания, интерполяции и прогнозирования развита стройная теория. Первые результаты в этом направлении получены Колмогоровым [165, 167] и Винером [69]. Современная литература по фильтрации и упреждению случайных процессов и случайных полей достаточно обширна, а используемые модели и методы анализа достаточно разнообразны. Представляется, однако, что все имеющиеся постановки и их воз-300  [c.300]

F a. Пусть, напротив, существует последовательность а >. . . - 0, для которой решения разностных задач с шагом тй дают значения функционалов F0 ik < F u — а, а ]> 0. Каждую сеточную траекторию дополним До непрерывной функции я (t) линейной интерполяцией. Тогда функции х( с) (t) удовлетворяют условиям ж( ) (t) G, xlk> (T)=X1 с точностью до О (tft) и образуют компактное в С семейство. В этом случае существует предельная функция х (t), почти всюду удовлетворяющая дифференциальному уравнению (2), удовлетворяющая условиям (3)— (5) и доставляющая функционалу (1) значение, не большее F — а, что противоречит предположению минимальности Fg. Таким об-  [c.124]

При t3 .t .T полагаем и (t) = —0,2, причем Т определяется из условия х1 (T)=R3. Таким образом, параметром tt однозначно определяются значения Z2, 3, T, F0 (== а) и оптимальная управляющая функция и (t). На рис. 47 показаны графики величин t%, t3, L, F0 в зависимости от tj ). Они построены интерполяцией по значениям для дискретного набора tr Этот график соответствует задаче с начальными данными а). Что касается оптимальных функций и (f), то они будут сравниваться с теми, которые получаются в результате приближенного решения задачи методами спуска в пространстве управлений (см. рисунки 50, 51).  [c.317]

Однако в качестве 2 брать tk или tk+1=tk+dt не следует, так как такой выбор не обеспечивает при использовании в дальнейшем и (t) из (12) постоянства Ф [х (t) ]. Нужно, используя ту или иную интерполяцию значений Ф [х ( )], Ф [х ( +1)1, найти значение tz [tk, tk+1], обеспечивающее Ф [я ( 2)] I е- Разумеется, можно использовать и tk+1 в качестве Z2, но при шаге dt, существенно меньшем, чем этого требует задача в целом. Что касается величины е, то она легко оценивается так как ta— 2 100, а выбор и (t) из (12) обеспечивает постоянство Ф [х (t)], то для выполнения условия Ф [ ( )]—а <С 8 при t (] U2, t3] следует  [c.318]

Оценка неизвестных значений зависимой переменной, т. е. решение задач экстраполяции и интерполяции. В ходе экстраполяции распространяются тенденции, установленные в прошлом, на будущий период. Экстраполяция широко используется в прогнозировании. В ходе интерполяции определяют недостающие значения,  [c.141]

Задача состоит в том, чтобы методом интерполяции построить функции спроса для отдельных видов продукции предприятия на основе данных региональных менеджеров по продажам.  [c.392]

Задачей интерполирования является построение такой функции, которая для данных значений аргумента принимала бы данные значения. Пусть для значений аргумента х0, xit х2,. .., ха, которые называются узлами интерполяции, вычислены значения некоторой функции  [c.281]

Начнем с этапа погружения. Как мы сейчас убедимся, несмотря на то, что предсказания, казалось бы являются экстраполяцией данных, нейросети, на самом деле решают задачу интерполяции, что существенно повышает надежность решения. Предсказание временного ряда сводится к типовой задаче нейроанализа - аппроксимации функции многих переменных по заданному набору примеров - с помощью процедуры погружения ряда в многомерное пространство (Weigend, 1994). Например d -мерное пазовое пространство ряда X, состоит из  [c.149]

Следует, однако, иметь в виду, что как обычные чертежи, так и компьютерная графика отображают принятую геологическую модель пространственной интерполяции данных первичной документации. Главная задача эксперта - оценить правильность этой модели и соответствие ее первичным наблюдениям. Именно здесь бывают скрыты причины грубых ошибок в представлениях о форме, строении и условиях залегания тел полезного ископаемого, ведущие к ошибкам в оценке и количества запасов, и качества сырья, и, в конечном счете, к неподтверждению плановых экономических показателей эксплуатации. Один из поучительнейших примеров таких ошибок описан В.М. Борзуновым [14].  [c.81]

Здесь будут в общих чертах приведены результаты решения ряда вариационных задач (1)—(3). Они решались методом последовательной линеаризации ( 19—21) еще в 1962—1963 гг., когда технология метода только начинала складываться и проходила проверку. Поэтому мы остановимся лишь на некоторых деталях. Прежде всего заметим, что функции С и С2 были заданы достаточно сложными выражениями, являющимися суперпозицией вспомогательных функций, в том числе и заданных таблично. Поэтому при решении сопряженной системы ф=—fxиспользованием функций, заданных таблично. Обычно подобные таблицы содержат небольшое число значений для набора узлов в области изменения независимого аргумента, а между ними функция интерполируется линейно, так как применение более точных методов интерполяции не оправдано ввиду неточности самих табличных значений (как правило, таблицами задаются функциональные зависимости экспериментального характера). Однако для наших целей нужны дифференцируемые функции / (х, и), поэтому следует предпочесть гладкие методы восполнения таблично заданной функции (например, с помощью сплайнов).  [c.250]

Отметим основное отличие данной реализации метода динамического программирования от схемы вычислений 15. Оно связано с использованием интерполяции функции Беллмана F (х1, х ) с узлов сетки. Этим снимается ограничение на шаг сетки в фазовом пространстве типа h=o (t), необходимое в схеме метода Н. Н. Моисеева. Вместе с тем интерполяция является источником определенных ошибок, тем более, что сетки приходится брать сравнительно грубые. Кроме того, используя интерполяцию, неявно предполагают наличие у функции Беллмана таких свойств гладкости, которых может и не быть. Известны простые примеры задач, в которых функция Беллмана разрывна, а наличие разрывов производной может считаться почти общим явлением. Схема вычислений 15 может быть (при h=0 (t2)) обоснована без всяких предположений о свойствах функции Беллмана. Что касается реализации алгоритма на ЭВМ, то в данном случае наибольшие ограничения связаны с ресурсом памяти. Вычисления в [4] тре= буют N таблиц по 30x30 величин, однако при вычислении очередной функции Fn (х1, х2-) в оперативной памяти нужно иметь только две такие таблицы.  [c.307]

Следует, однако, предупредить, что в этом случае, при сколь угодно гладкой зависимости /(х), операция проектирования Р% может привести к тому, что суперпозиция / (Pj) окажется уже негладкой. Такая ситуация показана на рис. 71, где изменение точки z (s)=Px (х—s/J, а следовательно, и / [z (s)], содержит изломы . В этом случае естественнее решать задачу определения s алгоритмом 46. Параболическая интерполяция может оказаться несходящейся.  [c.398]

М. м. удобна для анализа, поскольку в простои и наглядной форме отображает свойства объектов самой различной природы, где имеет место баланс поступления и расхода материальных ценностей, энергии, стоимости, информации н т. д., причём зависимость между ними имеет прямоту, линейный характер. Матричный анализ даёт ряд новых возможностей по сравнению с др. методами экономия, анализа интерполяцию ненаблюдаемых элементен, выявление логия. структуры производств, и эконоынч. процессов, детальный учёт взаимного влияния факторов, применение методов математич. программирования для анализа оптимальности плана и т. д. Матричный анализ используется для изучения экономия, деятельности предприятий, производств, объединений, отраслей, экономич. р-нов, республик, нар. х-ва страны, процессов экономия, управления (анализ документооборота, движения показателен, взаимосвязи задач управления), а также отд. экономич. процессон (бухгалтерский баланс, движение дон. наличности н т. д.).  [c.421]

Что касается определения силы роста по всем остальным заданным параметрам ренты, то здесь возникают те же затруднения, с которыми мы встретились при решении аналогичной задачи для дискретной ренты. Наиболее простым выходом является интерполяция и метод Ньютона—Рафсона. С помощью метода Ньютона—Рафсона получим следующую рекуррентную формулу  [c.136]

Решение данных задач может предусматривать получение эмпирической зависимости исследуемой функции от аргумента, которую просто описать соответствующей кривой различными математическими методами. Для определения оптимальной величины исследуемой функции с необходимой степенью точности практически достаточно трех-четырех точек аргумента. В этом случае для описания кривой 3 = fiKH) можно воспользоваться методом точечной интерполяции.  [c.119]