Мы будем рассматривать скалярные функции 0, векторные функции / и матричные функции F. Каждая из них может зависеть от одной вещественной переменной , вектора вещественных переменных х или матрицы вещественных переменных X. Таким образом, мы получаем классификацию функций и переменных, представленную в табл. 1. [c.223]
Пусть ф есть дифференцируемая вещественная функция от п х q матрицы X = (х вещественных переменных. Тогда символ дф(Х)/дХ обозначает следующую матрицу размера п х q [c.224]
Тем не менее в таком определении есть существенный изъян. Рассмотрим тождественную функцию F(X) = X, где X есть п х q матрица вещественных переменных. Из определения 2 получаем [c.225]
Пусть F = (fst) есть дифференцируемая вещественная матричная функция размера т х р от матрицы X вещественных переменных размера п х q. Тогда матрицей Якоби функции F в точке X называется следующая тр х nq матрица [c.227]
В качестве заключительного примера рассмотрим вещественную функцию, равную ij-му элементу матрицы X2. Запишем ф(Х) в следующем виде [c.243]
Другой формулировкой результата теоремы 25 является то, что вещественная функция 0, определенная как ф(Л) = log Д , вогнута на множестве положительно определенных матриц. Это видно, если взять логарифмы обеих частей (2). Заметим, однако, что функция , заданная как ф(А) = Л , никогда не выпукла и не вогнута на множестве положительно определенных матриц. Это легко видеть, положив [c.284]
Пусть 1 — заданная положительно определенная р х р матрица, а 1 г р. Пусть ф — вещественная функция [c.445]
Пусть X — заданная п х р матрица, а ф — вещественная функция [c.450]
Пусть S и Ф — положительно определенные р х р матрицы, причем Ф — диагональная, и 1 т р. Рассмотрим вещественную функцию ф [c.459]
Пусть S — заданная положительно определенная рхр матрица, а 1 J т р— 1. Определим вещественную функцию 7 как [c.464]
Пусть А — заданная р х га матрица ранга га, а ф — вещественная функция [c.468]
Пусть / S — > Rm — функция, определенная на множестве S С Rn. Пусть с — внутренняя точка S и пусть В(с]г) — n-мерный шар, целиком лежащий в S. Пусть и — точка Rn, такая что u < г, так что с + и В(с]г). Если существует вещественная матрица Л размера т х гг, зависящая от с, но не от и, такая, что [c.119]
В этой главе X всегда будет обозначать матрицу (обычно квадратную) вещественных переменных, a Z — матрицу комплексных переменных. Мы рассмотрим дифференциалы скалярных функций X (собственные значения, определитель), векторных функций X (собственные векторы), а также матричных функций X (обратная, МП-обратная, сопряженная матрицы). [c.196]
Если У — вещественная матрица размера га х га, то через Y мы обозначаем присоединенную к Y т х т матрицу. Если задана матричная функция F размера т х га, определим матричную функцию F размера т х т как F (X) = (F(X)) . Цель этого параграфа — найти дифференциал F . Докажем сначала теорему 6. [c.205]
Пусть F = (fst) есть дифференцируемая вещественная матричная функция размера т х р от п х q матрицы X вещественных переменных. Тогда символ dF(X)//dX обозначает следующую матрицу размера тп х pq [c.225]
Пусть F — дифференцируемая матричная функция от матрицы X = (xij) вещественных переменных размера п х q. Показать, что [c.228]
Наконец, если АО есть простое собственное значение вещественной симметрической матрицы XQ порядка n, a UQ — соответствующий собственный вектор, то существует дважды дифференцируемая собственная функция Л такая, что X(XQ) = АО (см. теорему 8.7). Дифференциал второго порядка в точке XQ находится по теореме 8.10, а именно [c.250]
Пусть Л = (dij) есть вещественная симметрическая п х п матрица с собственными значениями AI, А2,. . . , Ап. Тогда для любой выпуклой функции ф [c.276]
Функция f(t,x,u) удовлетворяет следующему условию найдутся такие вещественные К, А/, что при достаточно больших по норме , функцию /(/,, и) можно ограничить линейной функцией, а именно при всех / и и из области определения, f(t,x,u)< А" л при х > М. При всех ( дг,м)е[0 Г]хЛ" х[/ матрица [c.290]
Рассмотрим вариант алгоритма, в котором функция Е(0 строится на основании результатов теоремы 1. В этом случае предлагается, в соответствии со Следствием, искать ее в виде 2(0 = (а(е Т -1) + В]Е, где а, в и у — вещественные числа, ог,/ <0, у>0, Е —единичная матрица. Тогда алгоритм нахождения улучшения будет следующим [c.291]
Рассмотрим теперь задачу (1)-(2) при дополнительных условиях [1.] Функция f (t,x,u) дважды дифференцируема по л и найдутся такие вещественные К,М, что при достаточно больших по норме х, функцию /°(/,.г,ы) можно ограничить квадратичной функцией, а именно f"(t,x,u) К х при х а М. [2.] Функция f(t,x,u) удовлетворяет следующему условию найдутся такие вещественные К,М, что при достаточно больших по норме х, функцию /(/,, м) можно ограничить линейной функцией, а именно при всех / и и из области определения, /(/,х,ы)йЛГ х при х гМ. При всех (г,лг,и)е[0 Г]хЛ" xt/ матрица [c.298]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Пусть ф S — > R, S С Rn есть вещественная функция, а с есть точка из , в которой существуют гг2 частных производных второго порядка D -0(с). Тогда определим п х п матрицу Гессе Иф(с) как [c.141]
Первая матрица является симметрической, вторая — нет. Достаточные условия для симметричности матрицы Гессе вещественной функции выведены в 7. Матрица Гессе векторной функции / не может, конечно, быть симметрической, если га 2. Мы будем говорить, что Н/(с) симметрична по столбцам, если матрица Гессе каждой из ее компонент / (г = 1,.. . , га) является симметрической в точке с. [c.142]
Пусть ф S — > R есть вещественная функция, определенная на множестве S из Rn. Если ф дважды дифференцируема во внутренней точке с из S, то п х п матрица Гессе Иф является симметричной в с, т. е. [c.147]
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай га = 1 (почему ), при котором векторная функция / превращается в вещественную функцию ф. Пусть М = (rriij) — симметрическая матрица порядка п, зависящая от с и и, такая что [c.151]
Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка п. Пусть UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий ее простому собственному значению AQ. Тогда существуют вещественная функция А и векторная функция и, определенные для всех X из некоторой окрестности N(XQ) С Rnxn матрицы XQ, такие что [c.209]
Таким образом, выполнены условия теоремы о неявной функции (теорема А.З из приложения к гл. 7). Значит, существуют окрестность N(X ) С Rnxn матрицы XQ, единственная вещественная функция А N(XQ) — > R и единственная (с точностью до знака) векторная функция и N(X0) — > Rn, такие что [c.210]
Предположим, что надо найти матрицу Якоби следующей вещественной функции ф nnxq -> R [c.242]
Для вещественной функции ф от п х 1 вектора ж в 6.3 была введена матрица Гессе — п х п матрица частных производных второго порядка 0 0(ж), обозначаемая следующим образом [c.244]
Показать, что в каждой точке, где квадратная матрица X порядка п не вырождена, матрица Гессе вещественной функции ф(Х) = Х предста-вима в виде [c.248]
Пусть ф дважды дифференцируемая вещественная функция от матрицы X размера п х q. Тогда для дифференциала второго порядка и матрицы Гессе функции ф в точке X выполняются следующие два соотношения [c.249]
Ранее мы определили матрицу, которая содержит все частные производные первого порядка. Это была матрица Якоби. Теперь определим матрицу (называемую матрицей Гессе), которая содержит все частные производные второго порядка. Дадим определение этой матрицы сначала для вещественных, а затем для векторных функций. [c.141]
Пусть Т — множество невырожденных вещественных квадратных матриц порядка т, т.е. Т = Y Y Rmxm, Y ф 0 , a S — открытое подмножество Rnxg. Если матричная функция F S —> Т непрерывно дифференцируема k раз на S, то обратная матричная функция F l S —> Т, определяемая как F l(X) = (F(X)) l, также непрерывно дифференцируема k раз и [c.201]
Рассмотрим множ ество Т невырож денных вещественных квадратных матриц порядка т. Т является открытым подмножеством Rmxm, поэтому для любой матрицы YQ Т существует ее открытая окрестность 7V(Yo) все матрицы из которой не вырождены. Это следует из непрерывности определителя Y как функции У . Другими словами, если УО не вырождена и Ej — последовательность вещественных матриц подходящего порядка, таких что EJ — > О при j —> оо, то [c.201]