Построенная функция S(x) относится к так называемым интерполяционным кубическим сплайнам. Этот класс в полной мере удовлетворяет высказанным выше требованиям и обладает еще целым рядом замечательных свойств. [c.127]
Интерполяционным кубическим сплайном называется функция S(x), обладающая следующими свойствами [c.127]
Так как на каждом из отрезков [xf x>t] сплайн S(x) определяется четырьмя коэффициентами, то для полного построения на всем отрезке задания необходимо найти 4т чисел. [c.127]
Третье условие будет выполнено, если потребовать непрерывности сплайнов во всех внутренних узлах х, /=0,l,...,/w-l (это дает т- условий на коэффициенты), а также его первой (т-1 условий) и второй (еще т-1 условий) производных в этих узлах. Вместе с первым условием получаем равенство [c.127]
Достоинства предложенного способа несомненны для решения линейных систем, возникающих в ходе построения сплайн-функций, существует много эффективных методов, к тому же эти системы достаточно просты графики построенных сплайн-функций проходят через все заданные точки, полностью сохраняя первоначально заданную информацию. [c.129]
Определите понятие геометрического сплайна и приведите формальное описание сплайн-функций. [c.133]
О ПРИМЕНЕНИИ СПЛАЙНОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В [c.11]
В настоящей статье показывается плодотворность указанной точки зрения на основные задачи разделов численного анализа. При этом сама задача исследования функции имеют несколько этапов для своего усвоения. Первый этап связан с введением в проблематику - исследование функции и создание методов исследования. После того, как понятие функции сформулировано трудно наметить пути проникновения в микроструктуру этого понятия. Естественно, в этом случае необходимо обратится к опыту и просмотреть эмпирически, как появляется функция, функциональная зависимость. Здесь, разумеется, возникает сразу множество проблем, связанных с математической обработкой данных опыта. Первая задача связана с вычислением значений функции. При этом основными инструментами является общее чутье и маленькие хитрости . Вопрос, с чем обычно сталкиваются - это интерполяция недостающих значений. Вообще говоря, при интерполяции нам дано несколько узлов и нужно вычислить приближенно некоторые значения, которых нет в таблице. Таким образом, мы должны по взятым узловым (опорным) точкам построить приближенную модель функции. В большинстве таблиц делается предположение, что функция ведет себя между последовательно взятыми точками, как прямая, хотя можно предположить, что она ведет себя как квадратный трехчлен или как многочлен более высокой степени, т.е. представить функцию в виде полиномиального сплайна. Наиболее просто, конечно, первое из них принимаем ломанную, т.е. сплайн 1-го порядка порядка,, за приближенную модель функции f(x). Ясно, что [c.12]
Данная глава посвящена моделированию фактического распределения сделок с помощью регулируемого распределения, то есть поиску функции и ее подходящих параметров, которые моделируют фактическую функцию плотности вероятности торговых P L с двумя точками перегиба. Вы можете использовать уже известные функции и методы, например, полиномиальную интерполяцию или экстраполяцию, интерполяцию и экстраполяцию рациональной функции (частные многочленов), или использовать сплайн-интерполяцию. После того как теоретическая функция найдена, можно определить ассоциированные вероятности тем же методом расчета интеграла, который использовался при поиске ассоциированных вероятностей регулируемого распределения, или рассчитать интеграл с помощью методов математического анализа. Одна из целей этой книги — позволить трейдерам, использующим немеханические системы, применять те же методы управления счетом, что и трейдерам, использующим механические системы. Регулируемое распределение требует расчета параметров, они относятся к первым четырем моментам распределения. Именно эти моменты — расположение, масштаб, асимметрия и эксцесс — описывают распределение. Таким образом, кто-либо, торгующий по немеханическому методу, например по волнам Эллиотта, [c.141]
Эмпирическая функция распределения (рис. 6.3.9) имеет ступенчатую форму и может быть сглажена непрерывной функцией для удобства моделирования. Для аппроксимации могут быть применены полиномиальная, экспоненциальная или -образные функции, а также их вариации в кусочной форме. В некоторых случаях для аппроксимации применяют сплайн-функции порядка k, например, кубический сплайн ( = 3). [c.318]
Существует подход к исследованию моделей регрессии, не требующий предварительного выбора параметрического семейства функций F в рамках которого проводится дальнейший анализ. Речь идет о так называемых не параметрических (или частично-параметрических) методах исследования регрессионных зависимостей, которым посвящена гл. 10. Однако возникающие при их реализации проблемы (необходимость иметь очень большие объемы исходных статистических данных, выбор сглаживающих функций — окон и параметров масштаба,. выбор порядка сплайна, числа и положения узлов и т. п.) сопоставимы по своей сложности с проблемами, возникающими при реализации этапа 4. [c.50]
Сплайны сравнительно мало известны прикладным статистикам. Вместе с тем, по мнению ряда авторов [54, 114], они являются наиболее удачными аппроксимирующими функциями для приложений. Дело здесь в том, что поведение функции, выражающей физические взаимоотношения, в одной области пространства может быть полностью. не связанным с ее поведением в другой области. Полиномы наряду с большинством других математических функций обладают как раз обратным свойством. Их поведение в малой области однозначно определяет поведение в любой другой точке. Сплайны, поскольку они определяются кусочно, лишены этого недостатка, и для [c.328]
Определение одномерных сплайнов. Пусть на отрезке la, b] выделено т точек ult. .., ит, которые мы будем называть узлами, Pi (т) (i = 1,. .., га + 1) — полиномы степени /, удовлетворяющие условию [c.329]
Отсюда для сплайна на отрезке [а, Ь] получаем представление [54] [c.329]
В формулу (10.18) линейно входят только m + / + 1 неизвестных коэффициентов, поэтому в принципе она могла бы быть использована в методе наименьших квадратов или в какой-либо другой подходящей процедуре оценивания. Однако с вычислительной точки зрения иметь дело со степенными функциями не удобно и желательно использовать другое представление Sl (x) через так называемые базисные сплайны. Для этого введем дополнительно / узлов слева u-t. .. <. и г <. а и / узлов справа b < ыт+2 <. .. < Например, можно положить [c.330]
Определим теперь базисные сплайны (В-сплайны) как (ниже знак i справа сверху В — индекс, а не знак возведения в степень) [c.330]
В/-сплайны обладают [541 следующим свойством [c.330]
Сплайн-функция Sf (х) однозначно представляется в виде [c.330]
Для равноотстоящих на единицу масштаба узлов базисные сплайны В0> Blt B2, B3 показаны на рис. 10.2. 10.3.2. Выбор порядка сплайна, числа и положения узлов. Это важная и ответственная задача, по своей методической роли эквивалентная выбору класса аппроксимирующих функций в обычном регрессионном анализе. От ее успешного решения существенно зависит, удастся ли при анализе данных использовать все преимущества, представляемые сплайнами, или нет. Здесь трудно дать рекомендации, верные для всех практических задач. Однако, следуя [2581, мы попытаемся вы- [c.330]
| Рис. 10.2. Базисные сплайны с равноотстоящими узлами а) Я0 б) i в) Я2 г) В3 |  |
На логическом уровне процедура отображения использует законы аналитической геометрии, разработанной французским философом и математиком Рене Декартом в XVII в., согласно которой положение любой точки на плоскости (а экран дисплея - плоскость) задается парой чисел - координатами. Пользуясь декартовой системой координат, любое плоское изображение можно свести к списку координат составляющих его точек. И наоборот, заданные оси координат, масштаб и список координат легко превратить в изображение. Геометрические понятия, формулы и факты, относящиеся прежде всего к плоскому и трехмерному изображениям, играют в задачах компьютерной графики особую роль. Основой математических моделей компьютерной графики являются аффинные преобразования и сплайн-функции [45]. [c.117]
Сам термин "сплайн" происходит от английского Spline. Именно так называется гибкая полоска стали, при помощи которой чертежники проводили через заданные точки плавные кривые. В былые времена подобный способ построения плавных обводов различных тел, таких, как, например, корпус корабля, кузов автомобиля, а потом фюзеляж или крыло самолета, был довольно широко распространен в практике машиностроения. В результате форма тела задавалась при помощи набора очень точно изготовленных сечений - плазов. Появление компьютеров позволило перейти от этого, плазово-шаблон-ного, метода к более эффективному способу задания поверхности обтекаемого тела. В основе этого подхода к описанию поверхностей лежит использование относительно несложных формул сплайн-функций, позволяющих восстанавливать облик изделия с необходимой точностью. [c.124]
Рассмотрим сплайны, в построении которых используются кубические (для одномерных сплайнов - онлайновых кривых) и бикубические (для двумерных сплайнов - онлайновых поверхностей) многочлены. В компьютерной графике подобные сплайны применяются наиболее часто. [c.124]
Для того чтобы понять,11 какое отношение имеют сплайн-функции к чертежным сплайнам, возьмем гибкую стальную линейку, поставим ее на ребро и, закрепив один из концов в заданной точке, поместим ее между опорами, которые располагаются в плоскости ОХУв точках (х., yt i = 0,1, ..., m, где x0
Более сложная задача построения по заданному набору точек в трехмерном пространстве интерполяционной функции двух переменных решается похожим образом. Определим прежде всего интерполяционный бикубический сплайн. [c.128]
Интерполяционным бикубическим сплайном называется функция двух переменных S ( х, у ), обладающая следующими свойствами [c.128]
Для того чтобы построить по заданному массиву (., yf zff) интерполяционный бикубический сплайн, достаточно определить все 6rnn коэффициентов. Как и в одномерном случае, отыскание коэффициентов сплайн-функции сводится к построению решения системы линейных уравнений, связывающих искомые коэффициенты a Jlk. [c.129]
Рассмотрим пример применения сетей к анализу классического временного ряда— ряда данных о пятнах на Солнце. Регулярные ежегодные записи этого явления ведутся с 1700 года. Ряд много раз анализировался в статистической литературе, и выяснилось, что он не является ни стационарным, ни линейным, ни гауссовым. Были испробованы различные одномерные методы моделирования временных рядов. Габр и Рао [119] применяли авторегрессионную модель 9-го порядка (с 4 ненулевыми коэффициентами) и билинейную модель. Льюис и Стивене [179] разработали модель на основе метода многомерных адаптивных регрессионных сплайнов (MARS), а Пристли [221] исследовал модель TAR. В последнее время несколько групп исследователей предприняли попытки проделать анализ ряда с помощью нейронно-сетевого подхода (см. [275], [170], [84]). Результаты, полученные различными методами, собраны в табл. 2.2. [c.67]
Такой способ дает приблизительные результаты (иногда все же достаточные для анализа). Однако в сложных случаях применяются математи-ко-статистические методы выравнивания (расчеты при этом ведутся на компьютере). В частности, метод наименьших квадратов, сплайн-функции, метод скользящей средней, экспоненциального сглаживания, аналитического выравнивания и др. [c.59]
СПЛАЙН-ФУНКЦИЯ [spline-fun tion] — гладкая кусочно-полиномиальная функция, используемая для выравнивания временных рядов. Применение С.-ф. вместо обычных функций тренда эффективно, когда внутри анализируемого периода меняется тенденция, направление ряда. С.-ф. помогает выделить подпериоды, внутри которых динамика показателя не претерпевает существенного изменения. [c.339]
Спецификация модели 338 Спираль "заработная плата — цены" 338 Спирмена коэффициент 300, 339 Список альтернатив 18 Сплайн-функция 339 Способ двойного предпочтения 367 Способ потребления (технологический [c.489]
Здесь будут в общих чертах приведены результаты решения ряда вариационных задач (1)—(3). Они решались методом последовательной линеаризации ( 19—21) еще в 1962—1963 гг., когда технология метода только начинала складываться и проходила проверку. Поэтому мы остановимся лишь на некоторых деталях. Прежде всего заметим, что функции С и С2 были заданы достаточно сложными выражениями, являющимися суперпозицией вспомогательных функций, в том числе и заданных таблично. Поэтому при решении сопряженной системы ф=—fxиспользованием функций, заданных таблично. Обычно подобные таблицы содержат небольшое число значений для набора узлов в области изменения независимого аргумента, а между ними функция интерполируется линейно, так как применение более точных методов интерполяции не оправдано ввиду неточности самих табличных значений (как правило, таблицами задаются функциональные зависимости экспериментального характера). Однако для наших целей нужны дифференцируемые функции / (х, и), поэтому следует предпочесть гладкие методы восполнения таблично заданной функции (например, с помощью сплайнов). [c.250]
В последние два десятилетия в вычислительной математике и в инженерной практике широкое распространение получили функции, называемые сплайнами. Этот термин произошел от английского spline, означающего упругую и гибкую металлическую линейку, использовавшуюся для проведения гладкой кривой, проходящей через заданные точки. Одномерный сплайн степени / представляет собой функцию, непрерывную вместе со своими (/ — 1)-ыми производными, у которой производная /-го порядка постоянна на интервалах между заданными точками, называемыми узлами. Сплайн /-и степени можно представить состоящим из гладко (до (/ — 1)-го порядка) склеенных в узлах полиномов /-и степени. [c.328]
Смотреть страницы где упоминается термин Сплайн
: [c.124] [c.124] [c.127] [c.411] [c.154] [c.12] [c.246] [c.251] [c.329] [c.329] [c.329] [c.329] [c.331] [c.331]Прикладная статистика Исследование зависимостей (1985) -- [ c.328 , c.334 ]
Справочник по математике для экономистов (1987) -- [ c.288 ]