Стандартная гауссова статистика лучше всего работает на основе весьма ограничивающих предположений. Центральная предельная теорема (или Закон больших чисел) утверждает, что по мере проведения все большего числа испытаний, предельное распределение случайной системы будет нормальным распределением, или колоколообразной кривой. Измеряемые события должны быть "независимы и идентично распределены" (IID). То есть события не должны влиять друг на друга, и они все должны иметь одинаковую вероятность наступления. Долгое время предполагалось, что большинство крупных, комплексных систем должны моделироваться таким образом. Предположение о нормальности, или почти нормальности, обычно делалось при исследовании крупной, комплексной системы, так чтобы мог быть применен стандартный статистический анализ. [c.61]
Практический смысл этой теоремы очень прост. Любые сложные работы на объектах экономики (ввод информации из документа в компьютер, проведение переговоров, ремонт оборудования и др.) состоят из многих коротких последовательных элементарных составляющих работ. Причем количество этих составляющих работ иногда настолько велико, что требования в приведенной выше теореме о независимости и- одинаковом распределении становятся излишними. Поэтому при оценках трудозатрат всегда справедливо предположение о том, что их продолжительность - это случайная величина, которая распределена по нормальному закону. [c.30]
Центральная предельная теорема может быть использована для доказательства утверждения о том, что выборочная средняя нормально распределена при условии, что объем выборки больше 30. В случае с малыми выборками необходимо допустить, что мы производим выборку из нормально распределенной совокупности для того, чтобы выборочная средняя была нормально распределена. Кроме того, только при выборках малого объема наша оценка генеральной дисперсии не будет надежной. В этом случае /-распределение позволит сделать поправку на эту дополнительную степень изменчивости. [c.232]
Рассмотрим теперь задачу о нахождении при известном графе структуры зависимостей G перестановки координат а, позволяющей представить распределение X в виде (4.5). Положим а (0) = О и возьмем произвольную простую цепь, начинающуюся в 0. Будем двигаться вдоль нее от нуля, считывая номера проходимых координат и приравнивая их а (1), а (2),. .. Затем берем следующую простую цепь, начинающуюся в одной из уже пройденных вершин или в 0, и двигаемся вдоль нее, продолжая считывание, и т. д. до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины графа и тем самым определена полностью перестановка а. Поскольку координаты, лежащие вдоль простой цепи, образуют цепь Маркова (см. п. 2, 3 схемы доказательства теоремы 4.2), из построения а сразу же следует возможность представления распределения X в виде (4.5). В отдельных случаях перед построением а может оказаться удобным в графе G изменить некоторые несущественные связи, соответствующие независимым координатам (ср. с теоремой 4.2). 4.2.3. Нормальное распределение с ДСЗ. Пусть X имеет невырожденное р-мерное распределение с вектором средних М и ковариационной матрицей 2 — №и с известной структурой зависимостей, заданной функцией /(/). Вопросы, связанные с нахождением / (/), обсуждаются в следующем параграфе. Наша ближайшая цель — найти общий вид плотности X. [c.150]
Теорема 1 (без доказательства). Если сделать предельный переход и устремить л- оо, то распределение случайной величины t=T n устремится к нормальному с математическим ожиданием A/[f] и дисперсией D[t], определяемыми из следующих соотношений [c.29]
Работа функции основана на применении центральной предельной теоремы. При получении одного числа используются 12 равномерно распределенных на отрезке (О, 1) величин, которые суммируются. Последовательность чисел, распределенных равномерно на отрезке (0,1), имеет математическое ожидание 1/2 и дисперсию 1/12. С учетом центральной предельной теоремы сумма таких 12 чисел имеет математическое ожидание б и дисперсию 1. После суммирования выполняются необходимые действия для обеспечения параметров нормального распределения математического ожидания т и дисперсии о2. [c.30]
Для получения нормально распределенных чисел с параметрами ту = О, Су = 1 удобен искусственный прием, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей. Для этого в качестве исходных чисел возьмем л равномерно распределенных на отрезке [ — 1 1 ] чисел, получаемых из интервала [0 1 ] по правилу z, = 2х,— 1. [c.206]
Предположение нормальности существенно упрощает решение многих вопросов, зависящих от свойств распределений. Так, например, теорема о нормальной корреляции (см., например, [303 гл. 13]) в явном виде дает формулу для условного математического ожидания /г -)-1 — E(An+i ] AI,.. . , АП), являющуюся оптимальной в среднеквад-ратическом смысле оценкой hn+i по hi, . . . , hn [c.108]
Согласно теореме Муавра — Лапласа биномиальное распределение стремится к нормальному с ростом объема выборки п. Была выдвинута гипотеза о нормальности распределения случайной величины Дх, которая проверялась методом имитационного моделирования. Для проверки гипотезы использовался критерий согласия Колмогорова. [c.58]
Помимо предположения о известных дисперсиях при имитационном моделировании может нарушаться также предположение о нормальности распределений. В приложении V.B.2 приведен метод, не требующий, чтобы наблюдения были нормальными, а удовлетворяющийся тем, что нормальны выборочные средние. В силу центральной предельной теоремы это довольно слабое предположение. (Следовательно, метод можно применять для ранжирования других параметров, кроме средних из нормальных совокупностей, при условии, что средние оценки этих параметров имеют приближенно нормальные распределения см. также [Be hhofer, 1954, р. 29].) Заметим, что оценки дисперсий для распределений с нарушением нормальности остаются несмещенными. [c.247]
При сопоставлении аргумента, основанного на принципах заменимости, с четкостью теоремы Эйлера выясняется, что он доказывает одновременно и все и ничего. Из него следует, что, когда нанимающий фактор может предоставить услуги в качестве нанимаемого фактора без какого-либо снижения своей выгоды, уровень нормальной прибыли работодателей равен их предельной производительности как работников. Поэтому то, что они реально получают при нормальной прибыли, равно их предельному продукту. Значит, с одной стороны, в этом аргументе нет четкой оговорки о наличии постоянной отдачи и поэтому он является слишком общим. С другой стороны, он не рассеивает сомнения в отношении того, что будет в случае, если нанимающий фактор имеет перед собой лишь худшие варианты рабочих мест, равно как и в случае, если прибыль не нормальная. Именно эта неопределенность подтолкнула Эджу-орта сказать, что теорема, по которой наниматель, как и нанимаемые факторы, получает доход, равный его предельному продукту, ни вполне верная, ни очень важная .7 [c.61]
Процесс оценки считается источником независимых, нормально распределенных ошибок, дисперсия которых известна. Однако принимающий решения не уверен относительно их среднего значения. Он выражает эту неуверенность (неопределенность) в виде нормального априорного распределения. Затем можно получить наблюдения о результатах процесса оценки и вычислить функции правдоподобия этих наблюдений в предположении какого-либо частного значения для средней ошибки. Это дает нам все необходимые элементы для вычисления апостериорного распределения среднего значения ошибки на основе теоремы Байеса, которая служит руководящим принципом для обучения или для усвоения данных. Отсюда мы можем перейти к ожидаемой ценности выборочной информации (EVSI), а при некоторых представлениях о стоимости сбора данных— к разработке оптимальной программы сбора данных или информационной системы для нужд руководства. Изложим теперь основные этапы связанного с этой программой анализа, логические принципы которого совпадают с теми, которые обсуждались в гл. 5. [c.107]