Предлагаемая задача — задача на условный экстремум. Решается она [c.80]
Таким образом, необходимо решить задачу на условный экстремум [c.80]
Показать, что следующая задача на условный экстремум [c.325]
Пусть матрица W такова, что ol(VK ) С o (Xf Rf). Тогда наилучшая аффинная несмещенная оценка для W/3 есть WJ3, где (3 является решением следующей задачи на условный экстремум [c.358]
Это — достаточно сложная задача, как ее решать — не совсем ясно. Можно несколько упростить ее, требуя не минимизации jP0, а лишь выполнения неравенства bF0 [М, v(-)] < 0. Это, конечно, сделает процесс построения минимизирующей последовательности" менее эффективным" (замедлится скорость сходимости к экстремуму). Можно избрать и промежуточный вариант, выбирая множество Д/Тиз каких-то разумных соображений, а " для определения v ( ) решая все-таки задачу на условный экстремум. Но и после этого задача остается сложной, а ведь ее предстоит решать многократно. К тому же, работая в условиях невыпуклой области f (x, U), мы можем столкнуться с проблемой нелокального экстремума. Таким образом, этот подход реализуем, видимо, лишь в двух ситуациях [c.199]
Связь между непрерывной задачей (14)—(16) и ее сеточной аппроксимацией (14 )—(16 ) не нуждается в пояснениях заметим лишь, что в дискретной задаче N есть произведение числа интервалов сетки на размерность управления. Задача (14 )—(16 ) является либо задачей квадратического программирования, либо классической задачей на условный экстремум квадратичной формы в зависимости от того, какую форму имеют исходная задача и, соответственно, условие (16 ). [c.208]
В этом случае задача на условный экстремум (9) может быть сформулирована в виде следующей задачи строго выпуклого программирования в строго выпуклом ограниченном замкнутом множестве Q нужно найти точку вида е с наименьшим значением I (здесь е= 1, 0, 0,. . ., 0 ), т. е. [c.372]
Эта теорема сводит задачу на условный экстремум к суперпозиции задач на безусловный экстремум. В самом деле, определим функцию R (g) [c.373]
Задача на условный экстремум (7) — (9), которую при определенных предположениях удалось свести к суперпозиции задач [c.374]
Стремление свести задачу на условный экстремум к задаче безусловной оптимизации всегда было одной из ведущих тенденций теории экстремальных задач. Это сведение осуществляется фундаментальной теоремой Куна—Танкера. Задача [c.461]
Поляк Б. Т., Третьяков Н. В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум. — ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 1, с. 34—46. [c.481]
Если все неравенства преобразовать в уравнения, то получим классическую задачу на условный экстремум, которая может быть решена методом множителей Лагранжа. Практически системы получаются трудно разрешимыми, поэтому ограничения преобразуют в неравенства, и задачу решают методами математического программирования. Существующие методы позволяют решать узкий класс задач. [c.347]
Задачи на условный экстремум [c.120]
Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум [c.125]
Отметим, что в некоторых задачах на условный экстремум, которые появляются в экономической теории, обычно "укороченная" критическая точка функции Лагранжа является на самом деле точкой условного локального (в действительности и глобального) экстремума функции (I) при наличии ограничения (2). [c.126]
В экономической теории часто ЗМП сводится к задаче на условный экстремум. В качестве иллюстрации приведем пример задачи потребительского выбора (задачи рационального поведения потребителя на рынке) в виде ЗМП (задача потребительского выбора подробно описана в следующей главе) [c.131]
Из сказанного следует, что конкретные задачи рационального поведения потребителя на рынке можно решать (к сожалению, не всегда) как задачи на условный экстремум вида (18), (21). [c.132]
Что такое задача на условный экстремум [c.134]
Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение (х,0, /) этих двух задач одно и то же) [c.141]
Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа. [c.141]
Как мы выяснили, бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, и, поскольку оба блага жизненно необходимы (полезность равна нулю, если одно из них отсутствует), требования неотрицательности переменных будут выполнены автоматически. Следовательно, решаемая задача математического программирования превращается в классическую задачу на условный экстремум. Записав необходимые условия экстремума (согласно которым, отношения предельных полезностей благ должны равняться отношениям их рыночных цен, а бюджетное ограничение выполняется как равенство), получаем систему уравнений [c.144]
В связи с тем, что это решение (х,°( У), хД У)) обращает ограничение (8) в равенство /7,, ° + р = V, вместо задачи (7), (8), (9) можно рассмотреть более простую задачу на условный экстремум [c.187]
В указанном виде задача оптимизации (6.4.27-6.4.29) может быть решена, например, с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа[12]. Указанный приём позволяет свести задачу на условный экстремум целевой функции (6.4.27), при ограничениях (6.4.28-6.4.29), к задаче на безусловный экстремум. Однако, в этом случае некоторые из искомых переменных могут оказаться отрицательными, что означает рекомендацию взять в долг ценные бумаги j-ro вида в количестве X., т.е. провести операцию продажа без покрытия . Если взятие в долг ценных бумаг невозможно, то дополнительно к условиям задачи (6.4.27-6.4.29) необходимо добавить условие неотрицательности искомых переменных, то есть [c.134]
Легко видеть, что мы имеем дело с задачей на условный экстремум, которую можно решить, используя метод множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи [c.26]
Очевидно, что эта задача аналогична первичной проблеме максимизации полезности, но целевые функции и ограничения у этих двойственных проблем меняются местами . Здесь мы снова имеем дело с задачей на условный экстремум. Поэтому выпишем функцию Лагранжа [c.34]
Показать, что это приведет к той же задаче (10), (11) на условный экстремум и, следовательно, к такой же оценке для W/3. [c.354]
Если значение Дх,0,. .., хл°) сравнивается с значениями во всех точках (х,,..., хи), удовлетворяющих уравнениям (4), то имеем задачу на условный глобальный экстремум (максимум или минимум) функции Дх,,..., хи). [c.122]
Естественным является следующий способ решения задачи (5 ,(6) на условный экстремум. Выразить из уравнения (6) переменную х2 через переменную х, и подставить полученное выражение Xj = 1 - х, в функцию (5). Тогда задача (5),(6) на условный экстремум функции (5) двух переменных сведется к задаче на безусловный экстремум функции у — 2х,2 - 2х, + 1 одной переменной х,. [c.123]
Пример 1.1. (продолжение). Решим задачу (5),(6) на условный экстремум методом Лагранжа. Имеем [c.126]
В случае общей задачи (3),(4) на условный экстремум функция Лагранжа имеет вид 1(х,,..., хл, Я.,,..., Я. ) =У(, > > , ) + , ,(, , -, хя) +. .. + Я /х,,. .., х ), а система (8) переписывается в виде системы п + т уравнении с п + т неизвестными х,,..., хп, Я,.,..., Хт. [c.126]
Пример 1.1 (продолжение). Приведем аналог рис. 8.5 для задачи (5),(6) на условный экстремум (см. рис. 8.7). [c.129]
Если в задаче (1),(2) на условный экстремум ограничение (2) в виде равенства заменяется на ограничение g(xt,x2) < 0 в виде неравенства, то мы получаем частный случай задачи математического программирования [c.130]
Матрица ковариаций W/3 равна a2AVAf. Следовательно, получаем задачу на условный экстремум (минимум) вида [c.328]
Рассмотрим линейную регрессионную модель (у, Х/3, r2V), где V ф 0 и /3 удовлетворяет совместным линейным ограничениям R/3 = г. Рассмотрим матрицу VK, такую что ol(VK7) С o (Xf R . Тогда наилучшая аффинная несмещенная оценка для W /3 есть W/3, где /3 является решением следующей задачи на условный экстремум [c.357]
Не следует забывать, что Q задано нам отображением F (и), u U для образа U в этом отображении мы будем использовать обозначение Q=F (U). Разумеется, нас будет интересовать как значение X в решении задачи (11), которое обозначим Л, так и прообраз и точки Ле A.e=F (и ) (или один из этих прообразов, если задача (9) имеет неединственное решение). Задача (9) связана с определенным вектором е, однако в следующем ниже изложении можно будет считать вектор е произвольным разумеется, при этом задача (11) уже не будет соответствовать задаче (9). Целью дальнейшего является сведение задачи на условный экстремум (9) к задачам на безусловный экстремум для некоторых новых функций. Введем множество (т+1)-мерных векторов = oi i, ., gm , нормированных условием (g, e) = l. [c.373]
Однако, к сожалению, выразить аналитически переменную х2 через переменную х, (или переменную х, через переменную х2) часто бывает сложнб, а то и невозможно. По этой причине только что описанная простая идея сведения задачи на условный экстремум для функции (1) двух переменных к задаче на безусловный экстремум для функции Дх,, А(х,)) одной переменной не может быть использована в качестве основы универсального метода решения задачи (1),(2) на условный экстремум. [c.124]
Таким образом, задача потребительского выбора может быть описана как в виде ЗМП (18)-(20), так и в виде задачи на условный экстремум (18),(21). С математической точки зрения это разные задачи, однако они имеют одно и то же решение (х,0,х,°) - потребительский набор, который максимизирует (глобально) функцию полезности м(дг,,х2) и удовлетворяет бюджетному ограничению/ х / /как равенству ptxt0+pjXf=I. На рис. 8.8 также показаны градиенты функции полезности м(х,, 2) и функции ограничения/>,х +/>2л 2-/ в точке (x,°, t20) grad(x,°,A20) и (pt,p2). Эти градиенты расположены на одной прямой, проходящей через точку (х,°,х20), что, как уже отмечалось, эквивалентно касанию линии безразличия и бюджетной прямой в точке (х,°,х2°). [c.132]
В связи с этим методы решения задач на условный экстремум с помощью множителей Лагранжа в данном случае непосредственно неприменимы1. [c.163]
Задача (1), (2) называется задачей на условный локальный максимум (минимум). Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независимые переменные х, и х2 удовлетворяют условию (ограничению) (2). Вместо двух терминов (максимум и минимум) используется обобщенный термин экстремум. В задаче (1), (2) на условный экстремум функциюДх , ) принято называть целевой, ибо ее максимизация (или минимизация) часто есть формальное выражение какой-то цели (например, максимизации объема производства при фиксированных затратах). Функцию g называют функцией, задающей ограничение, или функцией связи. [c.120]
В конце XVIII века Лагранж предложил остроумный метод решения задачи (1), (2) на условный экстремум, в котором не следует прибегать к разрешению уравнения (2) относительно одной переменной при фиксированной другой переменной. В этом методе число независимых переменных не сокращается, а, наоборот, растет. [c.124]
Смотреть страницы где упоминается термин Задачи на условный экстремум
: [c.358] [c.359] [c.200] [c.123] [c.328] [c.125]Смотреть главы в:
Математические методы в экономике Издание 2 -> Задачи на условный экстремум