Метод, применяющий дополняющие величины, заключается в том, что в повторных реализациях 1-й и 2-й, 3-й и 4-й и т. д., или в общем случае в г — 2 г" и г =2 г" — 1 (г" = 1,. .., п/2) пользуются их дополняющими случайными величинами. Так, первая реализация, например, использует случайные числа rlt rz,. .., а ее повторение — (1—гг), (1 — г2),. ... (Число случайных чисел на повтор случайно, как следует из правила останова последовательной процедуры множественного ранжирования соответственно последовательности случайных чисел не имеют постоянной длины.) Случайные числа для одной повторной реализации должны быть независимы, как независимы наблюдения это основная предпосылка ММР и она не нарушается в наших экспериментах по методу Монте-Карло. Такая предпосылка выполняется, когда употребляются дополняющие величины (или общие случайные числа). Дополняющие величины создают отрицательную корреляцию между откликами повторных реализаций с номерами г — 2 г" и г = = 2 г"—1. Предположим, что в повторной реализации большинство случайных чисел для лучшей совокупности мало так, что случайные величины xls, к которым применяется ММР, например, велики. Сравним случайные величины, имеющие экспоненциальный закон распределения, которые генерируются следующим образом [c.288]
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. [c.41]
Предполагая, 4to к моменту времени t счет не ликвидирован, введем случайную величину a.(n(tu,t)), представляющую собой случайный коэффициент изменения величины начального вклада х0 к моменту времени t (после случайного числа n(t0,t) операций с депозитом). Используя формулу полной вероятности, функцию распределения F(a a(n(t0,t))) случайной величины a(n(t0,t)) можно представить как дискретную смесь [c.184]
Встроенный в компьютер генератор псевдослучайных чисел выдает числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1. Так как любая интегральная функция распределения F(x) имеет область значений от 0 до 1, то с помощью равномерного распределения можно получить случайное число с произвольным законом распределения путем решения обратной задачи, то есть восстанавливая по известному значению F(x) значение х. В качестве примера будем моделировать случайную величину, подчиняющуюся обобщенному экспоненциальному [c.48]
Определение коэффициента угрозы краха. Симуляция с использованием компьютерной программы идет следующим образом. Во-первых, мы выбираем дискретизацию времени с шагом St. Затем, зная величину случайных блужданий W(t-St) и цену B(t-8t) в предшествующее время t-dt, мы выводим W(t), прибавляя приращение, взятое из центрированного гауссова распределения с вариацией St. Отсюда мы выводим цену B(t), взяв величину, обратную (W -W(t))a, где - положительный показатель степени, определенный в модели. Затем мы выражаем, при условиях отсутствия арбитража и рациональных ожиданиях, вероятность h(t) возникновения краха во время следующего временного этапа, где h(t) - коэффициент угрозы краха. Мы сравниваем данную вероятность со случайным числом гаи, равномерно выбранным в интервале [0,1] и запускаем механизм краха, если ran < h(t)St. В данном случае цена B(t) меняется на B(t)(l-K), где к взято из предварительно выбранного распределения. Например, спад к при крахе может быть зафиксирован на уровне, скажем, 20%. Слишком прямолинейно сводить это к арбитражному распределению скачков. После краха динамика продолжается с бесконечно малым приращением, как и раньше, начиная с этого нового значения для времени t, после соответствующего переноса W(t), чтобы обеспечить непрерывность цен. Если ran > h(t)St, краха не происходит и динамика повторится на следующем временном шаге. [c.171]
Из высшей математики известно, что произведение ограниченной переменной (ЛО и бесконечно малой величины (е) есть величина бесконечно малая, и поэтому выражением е х N можно практически пренебречь [98]. Из выражения (4.13) следует, что сумма остатков товарно-материальных ценностей на предприятии на любой день года соответствует сумме их средних значений. Полученный математический вывод следует из известного в теории вероятностей положения, что при некоторых сравнительно широких условиях (в нашем случае при большом количестве рассматриваемых марок МР. — Авт.) суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин (в нашем случае остатков товарно-материальных ценностей. — Авт. ) почти утрачивает случайный характер и становится закономерным [16, с. 101]. [c.155]
Особенности поведения предприятия, связанные со стохастическим и законами принятия решения в системе оптовой торговли средствами производства, можно исследовать при помощи имитационных моделей с использованием метода машинного моделирования [4]. Имитацию поведения предприятия проведем при заключении данным предприятием договоров с поставщиками и потребителями и при совершении акта продажи своей продукции. При заключении договоров предполагается, что предприятие заявило потребителям количество и номенклатуру продукции, которую ему выгодно выпускать с точки зрения максимума прибыли. С другой стороны, оно сделало заказ поставщикам на ресурсы, необходимые для этого состава и объема выпуска продукции. В процессе формирования договоров случайным является поведение поставщиков и потребителей. Предполагается, что поставщики с некоторым заданным законом распределения вероятностей принимают или не принимают заказы на ресурсы. Аналогично потребители с некоторым заданным законом распределения вероятностей принимают или не принимают заявки на заказ соответствующего вида средств производства. Причем отказ в принятии заказа или заявки на заказ может быть (в большинстве случаев будет именно так) не только полным, но и частичным. Используя способность ЭВМ формировать случайные числа, можно имитировать поведение предприятия при различной реакции внешней среды (потребителей и поставщиков). Экономически вполне оправданно считать, что вероятность величины отказа поставщиков и потребителей распределена по показательному закону. Действительно, с возрастанием величины отказа его вероятность уменьшается, причем это уменьшение происходит явно быстрее, чем по линейному закону. Задавая, кроме того, вероятность той или иной реакции данного предприятия на поведение поставщиков и потребителей при формировании договоров, можно получить приближенную картину его функционирования при разных характеристиках внешней среды и его внутренних характеристиках. Операторная схема и блок-схема моделирующего алгоритма для данной имитационной модели имеют следующий вид [c.90]
Таким образом, (Л, 6, с) может быть представлено в виде суммы большого числа случайных величин с малым рассеиванием. Согласно центральной предельной теореме имеются основания полагать, что L (A, b, с) — нормально распределенная случайная величина. Если случайные элементы набора (А, Ь, с) независимы, то дисперсия L (A, b, с) может быть вычислена по формуле [c.299]
Вслед за анализом априорной информации и тщательной подготовкой к многократному измерению получают и i независимых значений отсчета. Эта основная измерительная процедура может быть организована по-разному. Если изменением измеряемой величины во времени можно пренебречь, то все значения отсчета проще всего получить путем многократного повторения операции сравнения (2) с помощью одного и того же средства измерений. Отсчет в этом случае будет описываться эмпирической плотностью распределения вероятности P(XI, х , . . , х/,. . . , хп) — см. пример 12, — где согласно основному постулату метрологии каждое значение отсчета является случайным числом, подчиняющимся этому закону распределения вероятности. Такие значения отсчета х , имеющие одинаковую дисперсию, называются равноточными. Если же из априорной информации следует, что за время измерения произойдет существенное изменение измеряемой величины, то ее измеряют одновременно несколькими средствами измерений, каждое из которых дает одно из независимых значений отсчета х,. Так как средства измерений могут отличаться по точности, то в эмпирической плотности распределения вероятности отсчета P(xl, х2,. . . , Хр. . . , хп) случайные числах,, могут иметь разную дисперсию. Такие значения отсчета х( называются неравноточными. Многократное измерение с неравноточными значениями отсчета рассматривается в следующем разделе. [c.95]
Игнорирование этого обстоятельства приводит к ошибкам. Например, с вероятностью 0,95 масса 10000 банок консервов, рассмотренных в примере 37, вычисленная по аддитивному алгоритму, составляет (40000 0,4) кг, а по мультипликативному - (40000 40) кг. Нельзя рассчитывать по мультипликативному алгоритму электрическое сопротивление цепи, состоящей из нескольких одинаковых сопротивлений, соединенных последовательно между собой суммарную электрическую емкость параллельного соединения нескольких одинаковых конденсаторов и т. д., если числовые значения соответствующих величин заданы или определены как случайные числа. В равной мере нельзя заменить суммированием умножение случайного числа на неслучайный постоянный множитель. Например, вес товарной партии консервов, рассмотренной выше, с вероятностью 0,95 составляет примерно (4 105 4) Н, а не (4 105 1) Н. [c.154]
Возможно, человеческая смерть — лучший пример. Возьмите группу людей и посмотрите, как смертельные удары происходят совершенно случайно, точно так же, как случайными оказываются такие величины, как рост, размер обуви и так далее. Но возьмите большое число людей, и вы увидите кривую нормального распределения Мало по краям и много посередине. Именно так часто происходит и с рынком. [c.144]
Второй этап заключается в моделировании поведения входных случайных переменных. Для этого необходимо сгенерировать достаточно большое количество равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1. Затем каждое случайное число откладывается по вертикальной оси кумулятивной плотности, а соответствующее значение случайной переменной находится по горизонтальной оси. Эти значения являются входными для данной модели. Так как кумулятивное распределение относительных частот отражает и величину основной переменной (доход в нашем случае), и эмпирическое распределение вероятностей, значения на горизонтальной оси представляют собой случайные наблюдения основной переменной с эмпирическим распределением вероятностей, которое сходно с распределением подлинных данных. [c.413]
Строго говоря, на цифровой ЭВМ получить последовательность случайных величин с равномерным распределением не представляется возможным 1]. Поэтому, если считать, что число разрядов ЭВМ равно k, а случайное число сформировано согласно формуле [c.199]
Рассмотренная процедура может быть положена в основу выбора направления передачи требований при моделировании замкнутых сетей массового обслуживания. Аналогичным образом можно моделировать дискретные случайные величины при конечном числе их значений. Если имеем дискретную случайную величину у, причем у= 1 с вероятностью Р, а у = 0 с вероятностью 1 — Р, то при имитации ее на ЭВМ необходимо каждый раз решать следующую систему неравенств если 0 < х, < Р, то у,- = 1 если Р < х,- < 1, то у/ = О, где х,- — очередное случайное число от генератора случайных равномерно распределенных чисел. [c.203]
В нашем примере для случайных величин, распределенных по закону гамма-распределения, параметр ц = 9, следовательно, необходимо сначала вывести 9 столбцов случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0 1), а затем случайные числа подставляются в соответствующую формулу из табл. 6.4. Например, определим первую реализацию времени передачи заявки [c.134]
Равномерно распределенные случайные числа преобразуют в величины с заданным законом распределения [c.129]
Равномерно распределенное случайное число преобразуют в величины с заданным законом распределения, используя формулы табл. 4.1. Определяют реализацию случайного интервала времени (А/т ) между поступлениями требований в систему. [c.130]
В экономике приходится иметь дело со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, к числу случайных величин можно отнести стоимость продукции, доходы предприятия, межремонтный пробег автомобилей, время ремонта оборудования и т. д. [c.139]
Независимо от конкретного распределения случайной величины имеют место общие свойства вероятностных распределений К ним относятся различного рода неравенства, определяющие границы вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, а также утверждения, касающиеся свойств достаточно большого числа случайных величин, - так называемые законы больших чисел. [c.264]
Основная особенность случайной величины состоит в том, что нельзя предвидеть, какое значение она примет в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний обобщающие характеристики выборок случайных величин практически утрачивают случайный характер. То же верно и в отношении суммы достаточно большого числа случайных величин. При увеличении числа слагаемых в сумме противоположные случайные колебания отдельных величин сглаживаются, и закон распределения суммы приближается при определенных условиях к нормальному распределению. Различные утверждения, относящиеся к этим предельным [c.265]
Согласно этой теореме, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин утрачивает характер случайной величины и ведет себя почти как постоянная величина. Последняя теорема имеет особенно важное значение для статистики и эконометрики, обосновывая выбор среднего арифметического выборочных величин в качестве оценки математического ожидания (среднего значения) всей совокупности величин. [c.267]
Эта теорема объясняет ту исключительную роль, которую играет в теории вероятностей и прикладных вопросах нормальное распределение. Согласно ЦПТ, сумма большого числа случайных величин имеет приближенно нормальное распределение независимо от индивидуального распределения слагаемых. [c.531]
Тогда для определения случайных величин U. и Т. с помощью датчика случайных чисел в диапазоне 0—1 вырабатываются случайные числа, определяющие случайным образом соответствующие величины [7. и Т.. [c.90]
Повторите упражнение 6 с общими случайными числами, с обратными величинами и с объединением обоих методов. [c.105]
Надежность результатов экспериментов по методу Монте-Карло можно увеличить, применяя методы понижения дисперсии. В главе III мы обсудили несколько таких методов. К сожалению, большинство методов достаточно сложно. Для обычного применения подходят методы, использующие общие случайные числа и дополнительные величины . [c.287]
Важно подчеркнуть, что сумма, стоящая в (2), есть сумма случайного числа случайных величин, распределение которой может быть достаточно сложным, даже когда отдельные составляющие и случайное число членов имеют сравнительно простые распределения. Это обстоятельство может рассматриваться как некоторое формальное объяснение того, что, как будет доказано далее, распределение величин h не может считаться гауссовским. Правда, мы увидим, что при увеличении А, влекущем за собой увеличение числа членов в сумме в (2), гипотеза о гауссовости распределений величин /4 становится более правдоподобной - начинает "сказываться" феномен справедливости центральной предельной теоремы при суммировании большого числа слагаемых. [c.395]
Дневная выручка от реализации небольшой компании представляет собой нормальное распределение со средней в 10 000 долл. США и среднеквадрати-ческим отклонением в 3000 долл. Дневную выручку от реализации можно смоделировать с помощью таблиц случайных нормальных отклонений. Далее в таблице приведены также случайные числа, выданные с помощью компьютера. Эти числа — случайные величины, которые нормально распределены со средним, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным 1. [c.334]
Так как т, т2,. . ., тк есть независимые и одинаково распределенные случайные величины, то случайное число вагонов, находящихся на пути накопления до момента прибытия mK+i = m3H, равно 5/с==ктГр, а дисперсия этого числа вагонов D[SK] равна сумме дисперсий, т. е. D[5K] = D[/ni] + D[m2]+. .. + D[mK] = кО[тГ1)]. [c.83]
В Приложении 3 дано краткое описание бейсик-программы для имитации ряда обобщенного броуновского движения с помощью ряда гауссовского. Этот метод помогает понять, кроме того, что представляет собой обобщенное броуновское движение. Каждое приращение во временном ряду обобщенного броуновского движения вычисляется как скользящее среднее, со степенной весовой функцией, от гауссова процесса с п независимыми случайными числами. С каждым шагом веса предшествующих N наблюдений уменьшаются N олицетворяет собой эффект долговременной памяти системы теоретически она бесконечна. Для целей имитации мы должны ограничить ее произвольно выбранным большим числом. В демонстрационном примере ряд из 8000 псевдослучайных чисел преобразован в 1400 смещенных случайных чисел описанным выше методом. Каждое смещенное приращение состоит из 5 случайных чисел и памяти о 200 смещенных числах. Проверка показала, что программа обладает достаточным быстродействием. Для каждого смещенного приращения (которое состоит из 5 гауссовских чигрИ пл должны оценить 200 предшествующих смещенных чисел (5 200 = 1000 гауссовских чисел). Эффект памяти порождается включением в расчет текущего числа, предшествующих чисел. Если рынок обладает подобного Рода эффектом памяти, то тогда каждая прибыль соотносится с величинами предшествующих М прибылей. В лю-оом случае измерение Н далее ведет к описанной выше несложной, хотя и довольно громоздкой вычислительной процедуре. [c.95]
Моделирование нормально распределенной случайной величины может быть произведено по формуле, представленной в табл. 6.4 или с помощью встроенного в MS Ex el генератора случайных чисел. Например, для моделирования времени транспортировки необходимо задать (рис. 6.4) число переменных — 1 (каждая операция логистического цикла моделируется отдельно) число случайных чисел, например, — 50 распределение — нормальное параметры — среднее 4,5 и СКО — 1,31. Также необходимо задать выходной интервал. [c.133]
Для моделирования случайной величины, распределенной по закону Вейбулла, сначала необходимо вывести на экран столбец случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0 1). Для этого в диалоговом окне Генерация случайных чисел указывается равномерное распределение чисел между 0 и 1. Затем случайные числа подставляются в формулу (см. табл. 6.4) [c.134]
Отметим, что число степеней свободы (в дальнейшем это число будем символически обозначать буквой v) исследуемой СВ определяется числом случайных величин, ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы исследуемой СВ, являющейся композицией п случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, определяется числом v = n - т. Таким образом, U2 [c.26]
Сельскохозяйственное производство является одной из наиболее плодотворных и перспективных областей применения оптимального и, в частности, линейного прбграммирования. Именно в этой области математические методы могут в сравнительно короткий срок дать очень большой эффект. Объясняется это прежде всего гораздо большей по сравнению с промышленностью однородностью сельскохозяйственных предприятий и самих процессов сельскохозяйственного производства. Здесь имеется сравнительно ограниченное число видов продукции, различных средств производства, технологических процессов и т. п. В то же время, решение задачи сельскохозяйственного планирования зачастую сложнее, чем решение задач, возникающих в промышленности, так как приходится учитывать различные природные условия, календарные сроки, стохастический (случайный) характер некоторых величин (например, количество влаги, выпавшей на почву). Как это ни парадоксально, но именно из-за этих осложняющих факторов можно ожидать значительного преимущества математических оптимальных решений по сравнению с теми, которые дают практика и опыт. Действительно, если бы эти задачи были простыми, то благодаря многолетнему опыту они бы, вероятно, сейчас уже решались оптимально или почти оптимально. [c.54]
Цель этого параграфа - дать основные понятия пу-ассоновского стационарного потока, называемого также простейшим определить основные его характеристики - случайное число событий, наступающих в потоке за определенный промежуток времени, и случайный интервал времени между двумя любыми соседними событиями потока вывести формулы вероятностных характеристик этих случайных величин. [c.69]