Дальнейшее развитие методологии анализа рисков, по-видимому, может идти в направлении использования математического аппарата теории случайных процессов (цепи Маркова и др.), однако вычислительных технологий, пригодных для практического применения, пока не предложено. [c.238]
Марковские цепи применяемые для прогнозирования поведения подобного рода систем можно разделить на две группы. Цепи Маркова с дискретным временем и цепи Маркова с непрерывным временем. [c.339]
Считается, что операция определена, если для нее указаны начальное состояние s", конечное состояние s", порядок смены состояний системы, который может быть описан дифференциальным уравнением, конечными автоматами, вероятностными автоматами, цепями Маркова, булевыми функциями, функциями предикат. [c.60]
Л. Цепи Маркова. Рассмотрим такую последовательность Случайных (для определенности непрерывных) величин [c.143]
Про последовательность (4.1) говорят, что она образует цепь Маркова. В цепи Маркова каждый член зависит от всех предшествующих, но непосредственно зависящими (связанными) можно в силу (4.2) считать только члены, стоящие рядом, рассматривая не рядом стоящие члены z и z+/l (k 2) как связанные опосредованно через Sz+1,..., Sz+b-i- [c.143]
Тогда случайные величины ь 2 -м Sn также имеют нормальное распределение с теми же параметрами, что и т]ь и связаны в цепь Маркова. Их корреляционная матрица имеет вид [c.143]
Удобна геометрическая иллюстрация цепи Маркова, при которой случайные величины изображаются точками или кружками, а непосредственные (прямые) связи между ними — соединяющими их отрезками (рис. 4.1). Для обозначения связей [c.144]
Откуда следует, что для описания распределения цепи Маркова достаточно знать распределение первого члена последовательности и для i — 2,..., п — условные распределения ,- при известном значении ,- , т. е. плотности условных распределений пар векторов, непосредственно связанных друг с другом. Это свойство используется ниже при введении понятий прямой и опосредованной связи между координатами вектора. 4.1.2. Прямые связи между координатами вектора. По аналогии с первым равенством формулы (4.3) по формуле условной вероятности для координат р-мерного вектора = ( (1), , (р)), имеющего невырожденное непрерывное распределение, имеем [c.144]
Рассмотрим теперь задачу о нахождении при известном графе структуры зависимостей G перестановки координат а, позволяющей представить распределение X в виде (4.5). Положим а (0) = О и возьмем произвольную простую цепь, начинающуюся в 0. Будем двигаться вдоль нее от нуля, считывая номера проходимых координат и приравнивая их а (1), а (2),. .. Затем берем следующую простую цепь, начинающуюся в одной из уже пройденных вершин или в 0, и двигаемся вдоль нее, продолжая считывание, и т. д. до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины графа и тем самым определена полностью перестановка а. Поскольку координаты, лежащие вдоль простой цепи, образуют цепь Маркова (см. п. 2, 3 схемы доказательства теоремы 4.2), из построения а сразу же следует возможность представления распределения X в виде (4.5). В отдельных случаях перед построением а может оказаться удобным в графе G изменить некоторые несущественные связи, соответствующие независимым координатам (ср. с теоремой 4.2). 4.2.3. Нормальное распределение с ДСЗ. Пусть X имеет невырожденное р-мерное распределение с вектором средних М и ковариационной матрицей 2 — №и с известной структурой зависимостей, заданной функцией /(/). Вопросы, связанные с нахождением / (/), обсуждаются в следующем параграфе. Наша ближайшая цель — найти общий вид плотности X. [c.150]
Доказательство. Последовательность координат X, образующая простую цепь, является марковской (см. п. 2 и 3 доказательства теоремы 4.2). Пусть эти координаты будут t, /lf /2 lh, У- В силу теоремы 1 [140, с. 122] для последовательности нормальных величин, связанных в цепь Маркова, [c.152]
Распределения с ДСЗ обобщают совместное распределение последовательных членов в дискретных цепях Маркова. Если двигаться вдоль ветвей графа-дерева структуры зависимостей, то последовательно проходимые вершины графа (координаты вектора наблюдений) образуют цепь Маркова. Этот факт позволил доказать единственность в нормальном случае графа — дерева структуры зависимостей, предложить простой алгоритм его оценки по выборочной корреляционной матрице и, наконец, показать, как, зная дерево структуры зависимостей, получить исходное распределение. [c.156]
При содержательной интерпретации взаимозависимостей между координатами случайного вектора целесообразно выделять связи прямые и опосредованные. Важным примером непосредственной связи является связь последовательных наблюдений ( , л+1) в цепи Маркова. Связь наблюдений опосредуется через наблюдения ( и+ь +2,. .., [c.161]
Цепи Маркова 143 ------т-зависимые 147 [c.475]
Модель 2 (метод цепей Маркова). При построении общего алгоритма воспользуемся тем же подходом, что и в модели 1, то есть при фиксированном k найдем распределение с.в. щ, HI, И2, из. Вычисление показателей надежности в конечном счете проведем с помощью формулы полной вероятности (2.1.8). Однако для поиска распределений с.в. и, (z= =0, 1, 2, 3) будем пользоваться не комбинаторными методами, а методом марковских цепей. [c.117]
Как известно, цепь Маркова полностью определяется начальным состоянием - вектор-строкой Р(0) - и матрицей переходных вероятностей Р. Состояние на п-м шаге Р " представляется в виде [c.118]
В связи с постоянной изменчивостью рынка перед фирмой неизбежно возникает вопрос каким образом менять свою стратегию, чтобы не попасть в кризисную ситуацию В процессе количественного прогнозирования положения на рынке целесообразно воспользоваться аппаратом цепей Маркова [52]. Применение этого аппарата позволяет заранее принять решение при изменении рыночного состояния. В процессе прогнозирования используется переходная вероятность из одного состояния в другое. Переходная вероятность есть элемент матрицы перехода (Р) [c.184]
Метод Дельфи Цепи Маркова [c.120]
Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности P/(k) того, что после k-ro шага (и до (k + 1)-го) система 5 будет находиться в состоянии 5,-(/ = 1, 2,..., л). Очевидно, для любого k [c.43]
Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова называется однородной. [c.44]
Непрерывные цепи Маркова [c.48]
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени. [c.48]
В экономике часто встречаются ситуации, которые указать заранее невозможно. Например, любая деталь или агрегат автомобиля могут выйти из строя в любой, непредсказуемый заранее момент времени. Для описания таких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппарат непрерывной цепи Маркова. - [c.48]
Можно считать, что события, переводящие автомобиль из состояния в состояние, представляют собой потоки событий (например, потоки отказов). Если все потоки событий, переводящие систему (автомобиль) из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет марковским, а плотности вероятности перехода Ху в непрерывной цепи Маркова представляют собой интенсивности потока событий, переводящего систему из состояния Si в состояние Sj. Например, Х03 - интенсивность потока отказов автомобиля, который переводит автомобиль из состояния исправен, работает в состояние находится в ТР . [c.63]
Непрерывная цепь Маркова 48 Неопределенность 320 Непрерывные распределения [c.426]
Целевая функция 188 Ценность ресурса 230 Цена игры 329-330 Цепь Маркова 43, 48 [c.427]
Трудности, связанные с неэргодичностью природных явлений (неоднородностью процессов во времени), можно преодолеть путем усреднения не по времени, а по реализациям, в качестве которых, например, могут быть взяты многолетние значения гидрометеовеличин, относящиеся к стандартным срокам наблюдений. Поскольку реализации принадлежат разным годам, то их с достаточным основанием можно считать статистически независимыми. Необходимо отметить, что наблюдения на гидрометеопостах представляют собой дискретное множество состояний природной системы. В каждый момент времени система находится в одном из них и с течением времени переходит из одного состояния в другое. Последовательность таких случайных состояний можно рассматривать как марковский процесс без последействия (цепь Маркова). [c.111]
Плотность вероятности перехода для цепи Маркова удовлетворяет интегральному уравнению Смолуховского [Колмогоров, 1938 Леонтович, 1983], решение которого при определенных предположениях относительно вероятностей перехода [c.111]
Предположением (4.5) введен новый малопараметрический класс распределений, обобщающий многомерные распределения, которые возникают в цепях Маркова, и получивший название распределения с древообразной структурой зависимостей (ДСЗ). Происхождение этого названия будет ясно из материала следующего параграфа, где в более строгой и полной форме даны все необходимые определения и рассмотрены свойства нормальных распределений с ДСЗ. Можно ожидать, что в приложениях новый класс распределений окажется столь же удобным инструментом, каким сегодня являются цепи Маркова при изучении временных рядов. Первые результаты использования распределений с ДСЗ очень обнадеживают [113]. [c.146]
Распределения с ДСЗ были введены в статистическую практику С. Чоу [174, 175, 176]. Если не считать краткого изложения результатов Чоу в [48], они не нашли еще отражения в монографической литературе. В отечественной литературе разработка теоретических вопросов, примыкающих к этому новому направлению, дана в [40, 61]. На работы В. И. Заруцкого [58, 59] мы существенно опираемся в последующем изложении. 4.1.3. Математические задачи, связанные с изучением распределений с ДСЗ. Прежде всего надо более четко описать класс распределений с ДСЗ и выявить соотношения между различными параметризациями одного и того же распределения, возникающими при разном упорядочении координат. Ведь даже в простейшем случае, когда координаты образуют цепь Маркова, возможны два упорядочения в прямом направлении цепи Маркова и в обратном. Необходимо также найти аналог выявленному на цепях Маркова соотношению, что прямым связям отвечает более высокая корреляция между координатами (см. 4.2). [c.146]
Поскольку всего имеется р + 1 вершина, в алгоритме Крускала делается р шагов, и на каждом из них выбирается ребро, не образующее цикла с ранее выбранными, то в результате его применения возникает дерево (см. теорему 4.1). Работу алгоритма Крускала удобно проиллюстрировать на примере построения дерева для однородной цепи Маркова, описанной в п. 4.1.1. На каждом из первых п — 1 шагов выбираются ребра вида (/, i + 1), на последнем шаге — ребро вида (0, /), так как все остальные ребра образуют цикл с ранее выбранными. Если отбросить связь нулевого веса, то получаем дерево, изображенное на рис. 4.1. [c.154]
Невырожденные р-мерные нормальные распределения с ДСЗ имеют очень простой вид матрицы 2J-1, где S — ковариационная матрица координат вектора. В S-1 над главной диагональю стоит не более р — 1 отличных от нуля элементов. Эта малопараметричность описания ковариационной матрицы в сочетании с большим разнообразием описываемых классов зависимостей, включающим, в частности, все ковариационные матрицы цепей Маркова, делает распределения с ДСЗ одним из основных инструментов в многомерном анализе. [c.162]
Работы Дункана и Ладани получили дальнейшее развитие в [135]. Авторы исследовали модель разладки, в которой имеется определенное число состояний разлаженного процесса, образующих вместе с состоянием налаженного процесса, цепь Маркова с известной матрицей переходных вероятностей. Каждому состоянию соответствует определенный уровень дефектности продукции. [c.136]
Гордон и Вейнделинг [105] исследовали вопросы оптимизации параметров контрольных карт групп качества на основе минимизации суммарных затрат на контроль качества продукции и возмещение потерь от брака. Для решения этой задачи авторы применили стоимостную модель, описываемую цепями Маркова. [c.137]
В нашем случае применение методов исследования операций становится невозможными по двум причинам во-первых, число бухгалтеров не может быть большим и, во-вторых, присутствует фактор неисправности. Если попытаться создать математическую модель с помощью, например, аппарата вложенных цепей Маркова (метод Кендалла) или аппарата полумарковских процессов, то придется ввести большое число допущений, которые сделают погрешность метода при определении tq крайне большой (буквально плюс-минус в несколько раз ). Обе отмеченные причины приводят к тому, что от построения математической модели приходится отказаться. Поэтому будем применять метод имитационного моделирования. [c.292]
Цепи Маркова находят приложения в самых разнообразных отраслях деятельности, зачастую не являющихся по своей природе стохастическими. Например [49], монах ордена св. Августина Грегор Мендель стохастическим считал процесс обмена генами при скрещивании сортов гороха. Для моделирования этого процесса хорошо подходят цепи Маркова. Однако такой ли он в действительности, генетика пока не может ответить точно. Другое хорошо известное приложение теории цепей Маркова к нестохастическим процессам — описание денежных потоков при расчете наличными между городами в государстве. Наконец, еще одной интересной для нас задачей, не являющейся по своей природе вероятностной, является задача об общих закономерностях формирования мнения в социальной группе. К этому типу относятся и экономическая задача инвестирования финансовых средств в некоторый проект группой лиц, и задача принятия политического решения об интенсивности реагирования правительственного кабинета на то или иное политическое событие, и некоторые сходные задачи экономической теории и практики. [c.258]