ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.140]
Такая функция 0 дифференцируема в R2, частные производные первого порядка непрерывны в R2 (и даже дифференцируемы всюду, кроме нуля), а частные производные второго порядка существуют в каждой точке из R (и непрерывны всюду, кроме нуля). Однако [c.141]
Пусть / S —> Rm есть функция, заданная на множестве S в Rn, а с есть внутренняя точка S. Если каждая частная производная первого порядка непрерывна в некотором n-мерном шаре В (с), а каждая частная производная второго порядка существует в В (с) и непрерывна в с, то / дважды дифференцируема в с и существует второй дифференциал / в с. [c.145]
Производные второго порядка функции /г , вычисленные в точке с, задаются как [c.154]
Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка [c.295]
Если функция F(x,y] имеет еще и непрерывные производные второго порядка, то выражение, стоящее в равенстве (14.6) справа, может быть продифференцировано по ж, следовательно существует и вторая производная у"ж от неявной функции у. [c.299]
Таким образом, схема исследования функции z — f(x, у), имеющей непрерывные первые и вторые частные производные, на экстремум такова. Вначале сужаем область поиска. Находим стационарные точки (только они могут быть точками экстремума). Далее, пусть PQ(XQ, у ) является стационарной точкой функции. Значения производных второго порядка в точке PQ обозначим так [c.308]
МО, 0), Р2(- , 0), Р3(-1, 2), Р4(-1, -2). Находим значения частных производных второго порядка [c.309]
Найдем частные производные второго порядка [c.354]
Найдем частные производные второго порядка 3 =4- , А = 3%Х(Р0) = 4 > О, [c.355]
Взяв математическое ожидание (с обратным знаком) от производных второго порядка, получаем [c.252]
Рассмотрим два примера нахождения частных производных второго порядка для функции двух переменных. [c.159]
Найти частные производные второго порядка. [c.167]
Строго говоря, нужно было бы еще проверить и вторую производную для того, чтобы быть уверенным, что речь идет о минимуме. Мы не будем заниматься этим, но хотели бы обратить внимание читателей на то, что функция Var(u)) является параболой, поэтому условия второго порядка в любом случае оказываются выполненными. [c.150]
Функция ф дифференцируема только в точке (0, 0). Частная производная DI равна нулю в начале координат и в любой точке из R2, где у иррационально в других точках она не определена. Аналогично, D20 равна нулю в начале координат, а также в каждой точке из R2, где х иррационально в других точках она не определена. Следовательно, ни одна из частных производных не дифференцируема ни в одной точке из R. С другой стороны, существует единственная матрица В (нулевая матрица), такая что разложение Тейлора второго порядка (3) выполняется в точке с = 0. Конечно, мы не хотим сказать, что ф дважды дифференцируема в точке, когда ее частные производные не дифференцируемы в этой точке [c.143]
Итак, существование разложения Тейлора второго порядка в точке с не является, в общем случае, достаточным для дифференцируемости всех частных производных в с. Оно также не является и необходимым. То есть из того, что все частные производные дифференцируемы в с, не следует, в общем случае, разложение Тейлора второго порядка в этой точке. Мы вернемся к этому выводу в 9. [c.143]
При более последовательном подходе для улучшения процесса обучения можно использовать информацию о производных второго порядка от функции невязки. Соответствующие методы оптимизации называются квадратичными. Вся указанная информация собрана в матрице гессиана Н, имеющей размеры Nw х Nw, где Nw — число весов. Эта матрица содержит информацию о том, как изменяется градиент при малых смещениях по различным направлениям в пространстве весов. Прямое вычисление матрицы требует большого времени, поэтому разработаны методы, позволяющие избежать вычисления и хранения матрицы (спуск по сопряженному градиенту, масштабированный метод сопряженных градиентов (см. [197]), RBa kProp (см. [212]), квази-ньютоновский метод, метод Левенбер-га-Маркара). [c.32]
Ранее мы определили матрицу, которая содержит все частные производные первого порядка. Это была матрица Якоби. Теперь определим матрицу (называемую матрицей Гессе), которая содержит все частные производные второго порядка. Дадим определение этой матрицы сначала для вещественных, а затем для векторных функций. [c.141]
Пусть ф S — > R, S С Rn есть вещественная функция, а с есть точка из , в которой существуют гг2 частных производных второго порядка D -0(с). Тогда определим п х п матрицу Гессе Иф(с) как [c.141]
Пусть / S —> Rm, S С Rn есть векторная функция, а с есть точка из , в которой существуют ran2 частных производных второго порядка Dj ./ ). Тогда ran x n матрица Гессе Н/(с) определяется как [c.142]
Для вещественной функции ф от п х 1 вектора ж в 6.3 была введена матрица Гессе — п х п матрица частных производных второго порядка 0 0(ж), обозначаемая следующим образом [c.244]
Дж. Вентер в [55] предложил приемы ускорения сходимости классических процедур Роббинса — Монро и Кифера — Вольфовица. В первом случае. ускорение достигается за счет оценки крутизны функции регрессии с помощью двух наблюдений на каждом шаге. В схеме оптимизации f(x) ускорение обеспечивается за счет оценки производной второго порядка (вторых разностей замеров) функции регрессии в окрестности экстремума с помощью трех наблюдений на каждой итерации. Полученная таким образом информация используется далее для выбора шага процесса. [c.365]
Гвмма-коэффщиентом Г производного финансового инструмента называется частная производная второго порядка [c.228]
Измерители линейной чувствительности к движению финансовых переменных используются под различными обозначениями. На рынке инструментов с фиксированным доходом чувствительность к движению процентных ставок измеряется дюрацией. На рынке акций чувствительность к фактору рынка в цепом (например, фондовому индексу) называется систематическим риском или коэффициентом бета. На рынке производных инструментов чувствительность < изменению цены базового актива измеряется коэффициентом дельта. Пока- атели — производные второго порядка — называются выпуклостью на рынке -шструментов с фиксированным доходом и коэффициентом гамма на рынке 1роизводных инструментов. Выпуклость измеряет изменчивость дюрации по мере вменения процентной ставки. Аналогично гамма измеряет изменения дельты чри изменении цены базового актива. Оба показателя измеряют чувствитель--юсть второго порядка (или квадратичную чувствительность) к изменениям финансовых переменных. Существует множество иных показатели риска, применяемых по отношению к производным инструментам вега, memo, po, лямбда, скорость , цвет и др., которые рассматриваются ниже. [c.216]
Дифференцирование первого порядка позволяет обнаружить ло-1ьные стационарные значения. Чтобы отличить точки максимума от [ек минимума, нам потребуются производные второго порядка. [c.118]
В частности, у" — (у " )" — производная второго порядка, у " — (у") — производна =[ третьего порядка и т. д. Другие обозначения производнь мж высших порядков [c.120]
О Найдем, например , частные производные второго порядка функции / (My = х%х — х л% + 2лгхл 2 в произвольной точке М (Xi, x2). [c.140]
Мы не затронули здесь более изощренных методов обучения, таких как метод сопряженного градиента, а также методов второго порядка, которые используют не только информацию о градиенте функции ошибки, но и информацию о вторых производных. Их разбор вряд ли уместен при первом кратком знакомстве с основами нейрокомпьютинга. [c.62]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [derivation] — операция определения производной рассматриваемой функции. Напр., производная линейной функции (Ьх + а У = Ъ, т.е. является константой производная степенной функции [х") -= ах" 1 (>0), т.е. дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу или дифференцирование логарифмической функции (logoJt) = 1/х log/ (0 < а Ф 1 х>0), в частности (In x) = Их. Для Д.ф., представляющей собой комбинацию элементарных функций, применяются специальные правила напр., производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций, постоянный множитель выносится за знак производной для дифференцирования произведения двух функций вычисляется сумма из двух произведений (производная первой функции на вторую функцию, плюс первая функция на производную второй функции — (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + + u(x)v(x) ). Соответственно, существуют правила дифференцирования сложной функции, частного двух функций, обратной функции, логарифмических функций, правила вычисления производных высших порядков, а также правила Д.ф. многих переменных. [c.92]
Начальные условия для (2.4.10) s =, so при t = 0. Граничные условия на горизонтальных границах области интегрирования —X х X, — Y у Y и на верхней границе при z = Z ставятся следующим образом. В тех точках границ, где вектор скорости направлен внутрь области определения решения, s = 8ф. Там, где вектор скорости направлен вовне этой области, значения концентраций экстраполируются на границу по приграничным значениям со вторым порядком аппроксимации. На нижней границе при z = А ставится граничное условие третьего рода, учитывающее поглощение и отражение примеси. Здесь SQ и вф — заданные значения. Уравнение (2.4.10) решается численным интегрированием в декартовой прямоугольной системе координат с применением метода фиктивных областей. Конечно-разностные аппроксимации производных по пространственным переменным построены на основе интегро-интерполяционного метода [Марчук, 1980]. Аппроксимация задачи по времени построена с помощью двуци-клического полного расщепления. Используемая схема покомпонентного расщепления дает решение для некоммутативных операторов со вторым порядком аппроксимации по времени и координатам. Для численной реализации конечно-разностных уравнений использована немонотонная прогонка. [c.116]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Отталкиваясь от этих фактов, мы определим дважды дифференцируе-мость так, чтобы из нее следовало как существование разложения Тейлора второго порядка, так и дифференцируемость всех частных производных. [c.144]