При такой, кусочно-линейной, интерполяции требуется найти всего 2т чисел (каждый прямолинейный отрезок определяется ровно двумя коэффициентами), но, к сожалению, построенная таким образом аппроксимирующая кусочно-линейная функция не обладает нужной гладкостью уже первая производная этой функции терпит разрывы в узлах интерполяции. [c.126]
Какой показатель в линейной модели спроса соответствует первой производной функции в формуле теоретического коэффициента эластичности [c.232]
Для каждого производного показателя Р устанавливается вид его зависимости от базового показателя Р = f(B). Чаще всего зависимость может устанавливаться одним из двух способов а) значение Р устанавливается в процентах к В (например, на основе экспертных оценок) б) путем изучения динамики данных выявляется простейшая регрессионная зависимость (линейная) Р от В. Выявление зависимостей в отдельных случаях может быть достаточно несложной процедурой например, изменение дебиторской и кредиторской задолженности чаще всего происходит с тем же темпом, что и изменение объема реализации. Для других показателей, например, отдельных статей производственных затрат, выявление зависимостей может быть весьма трудоемкой процедурой. Отметим, что в состав производных показателей, значения которых необходимо спрогнозировать, могут входить и такие, которые не обязательно связаны формализованными зависимостями с базовым показателем, а определяются некоторыми другими условиями. Например, проценты за пользование банковскими ссудами зависят от объема реализации лишь в той степени, в какой эти ссуды связаны с текущей деятельностью. Если банковский кредит был получен ранее, например, в связи с капитальным строительством и проценты по нему определены договором, соответствующая статья (или часть статьи) определяется без применения какого-либо формализованного подхода. [c.73]
Естественно, что чем выше производная от некоторой величины, тем сильнее её неустойчивость. Если мы возьмём линейную зависимость, то приращению по одной оси будет соответствовать линейное приращение по другой. Во второй производной наступает квадратичная зависимость, в третьей - уже кубическая. Два в третьей степени уже восемь. [c.222]
Для линейной функции полезности верно U (x) = Ь. Все производные более высоких порядков являются нулевыми. Если мы учтем это в рамках (2.22), то тогда функция ожидаемой полезности будет выглядеть следующим образом [c.88]
Таким способом решаются многие задачи предельного анализа экономики. Применение В.з. в экономике, в исследовании операций имеет ряд ограничений 1) поиск экстремума реально приходится вести не только в точках, где производные обращаются в нуль, но и на границе области допустимых решений 2) нередко применяются функции, для которых производные могут просто не существовать (напр., разрывные, кусочно-линейные) 3) само решение системы уравнений, полученной путем дифференцирования основной функции, может оказаться не проще, а сложнее, чем поиск экстремума другими методами. [c.41]
К линейным размерам относятся длина /, ширина Ь, высота h, диаметр d. Единицей длины служит метр, а также производные от него дольные и кратные единицы. В некоторых государствах, кроме того, в качестве единицы используют фут, равный 304,8 мм, и др. Объем груза измеряют различными единицами. Основной является кубический метр, а на морском транспорте еще и регистровая тонна (2,83 м3). Массу груза определяют в килограммах или в тоннах. [c.88]
Базисные схемы структур управления — это схемы, реализующие основные типы организационных отношений, к которым относятся линейные и функциональные связи между объектами и субъектами управления. Эти связи реализуются тремя основными схемами линия , кольцо , колесо и производные от них схемы звезда и иерархическая схема. [c.231]
Если параметры системы неизменны и между ее переменными и их производным и-су шествует линейная связь, то такая система относится к классу линейных стационарных систем (ЛСС). [c.245]
Динамика ЛСС часто описывается линейными дифференциальными уравнениями, причем если параметры сосредоточенные, — то обыкновенными, если распределенные, — то в частных производных. Если параметры меняются во времени по известному закону, то система относится к классу линейных нестационарных систем (ЛНС). Если параметры зависят от сигналов в системе или связи между переменными нелинейны, то она относится к классу нелинейных систем (НС). Если входной или выходной сигналы (или оба) элемента СУ в силу принципа действия имеют мгновенные скачки, он называется дискретным. Если СУ содержит хотя бы один дискретный элемент, она называется дискретной или непрерывно-дискретной системой Теория дискретных систем, Теория непрерывно-дискретных систем , в противном случае — непрерывной системой. Если система состоит только из дискретных элементов, она называется чисто дискретной. Разновидность дискретных — импульсные системы. Выходной сигнал элемента СУ в силу принципа действия может представлять собой модулированную гармонику. Система, содержащая такой элемент, называется системой на несущей Теория систем на несущей . [c.245]
При линейной аппроксимации функции достижимости из условий (9.143) с учетом конкретного вида производных функции RQ следуют соотношения [c.364]
Полученное однородное линейное уравнение с частными производными позволяет найти g(x, z). Решение его не единственно. Одним из решений является первый интеграл g (x,z) уравнения в обыкновенных [c.401]
Декарт нашел отсюда 2 а = 0 и посчитал, что это приводит к противоречию, ибо по условию а ф 0, и заключил, что необходимый признак минимума неверен. Между тем геометрически ясно, что искомая точка существует и совпадает с точкой Р(— г, 0). Эта точка не обнаруживается с помощью производной, поскольку наименьшее значение ЛМ не является минимумом. Действительно, х принимает значения на отрезке [а, 6], a функция ДМ 2 = 2аж + а2 + г2 является линейной, поэтому принимает наименьшее значение на конце промежутка х = —г. [c.157]
Для нашей конкретной задачи (т. е. в случае, когда у является линейной функцией от переменной х разность у(х + 1) — у(х] совпадает со значением производной у (100). В общем же случае (когда функция у (х) может быть нелинейной) при больших х разность у(х + 1) — у(х] совпадает с у (х) лишь приближенно. А [c.182]
Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно. [c.363]
Сигнал, спектральная плотность которого — дробно-рациональная функция частоты, можно представить как реакцию линейной системы на белый шум. Другими словами, такой сигнал может быть получен как решение линейного стохастического дифференциального уравнения, возмущаемого белым шумом. Случайный процесс — решение соответствующих стохастических дифференциальных уравнений — представляет собой марковский процесс или проекцию марковского процесса. Статистические характеристики марковских процессов — переходные вероятности — удовлетворяют известным дифференциальным уравнениям в частных производных А. Н. Колмогорова. Для вычисления условного математического ожидания М[т (0] гауссовского марковского процесса можно получить обыкновенное дифференциальное уравнение. Таким образом, выражение (4.8) для решения задачи (4.1) позволяет свести вычисление характеристик оптимальной в смысле задачи (4.1) фильтра- [c.315]
Отклик средства измерений на единичный импульс во временном представлении называется импульсной характеристикой и обозначается g (г). Поскольку единичный импульс является производной от единичной ступени, отклик на единичный импульс на выходе линейного средства измерений (импульсная характеристика) является производной от отклика на единичную ступень (переходной характеристики) g (t) = h (t). Используя это соотношение, из уравнений (25) и (27) получаем [c.176]
Если функция спроса (25.1) носит линейный характер, то ее частная производная по Pf и прямой коэффициент эластичности имеют следующий вид [c.123]
Функция y(t) непрерывна, ограничена и имеет ограниченную производную, так как является решением линейного уравнения в вариациях. Пусть t s — ближайшая к ta точка М, k.s = te — , [c.37]
J- и 2) At и в том, и в другом случае и1 (t) л —х1 (0)/ (см. рис. 6, 7 в [41]). В целом, как это видно из табл. 1, этот вариант задачи был довольно легким для численного решения. Вторая задача оказалась сложнее. Она была решена в несколько измененной по сравнению с [41 ] форме во-первых, Г=0, 1, а не 1, как в [41], и в качестве исходной траектории бралось решение задачи Коши (1) с и ( )лЮ (условия х1 (У) = 0, разумеется, выполнены не были). Причины, побудившие к этим изменениям, будут ниже разъяснены. Табл. 2 дает представление о том, как происходит поиск v — номер итерации, значение функционала F0, значения х1 (Т), предсказанные на предшествующей итерации на основе формул линейной теории возмущений, использующих функциональные производные дх (T)jdu(-), и значения х (Т), фактически полученные после интегрирования системы (1 ). Процесс решения задачи заслуживает комментария. Расчет проводился при 7V=100, вариации ]Bz/ , ц были ограничены числами 2 0,5 0,5 для i = i, 23. [c.281]
Здесь могут возникнуть некоторые вопросы. В самом деле, на первой же итерации управление варьируется так, чтобы точка х (Т) = = 190,8 0,95 49,69 перешла в точку (170,8 48,5 146 (фактически х (Т) перешла в точку 169,4 39,0 25,3 . Видно, что основной целью является получить х1 (Т)=0, и ради этого допускается, например, значительное увеличение х9 (Т). Это самым тесным образом связано с используемой в наших расчетах нормировкой задачи. Дело в том, что функциональные производные дх2 (Т)1ди ( ), дх3 (Т)/ди ( ) примерно в 10 раз больше производной дх1 (Т)/ди ( ), и в естественных единицах измерения х (Т) величина х3 (Т)=146 становится числом 15, малым сравнительно с х1 (Т)=190. Второй вопрос связан с плохой точностью линейного приближения для х2 (Т) и а 3 (Т7), в то время как для х1 (Т) точность линейного приближения высока предсказанные и фактические значения xl(T) совпадают очень хорошо. На первый взгляд кажется, что плохое предсказание х2 (Т), х3 (Т) должно вынудить уменьшить шаги 8и], 8ц , чтобы добиться лучшего. Однако этого делать не следует, так как в естественных единицах измерения величин х1 (Т) речь идет о несовпадении малых, сравнительно с х1 (Т), величин. В этом расчете ограничения на величины вариаций управления [c.282]
Находилась функция ф (t) интегрированием сопряженного уравнения. Правая часть и начальные данные (при t=T) этого уравнения выбираются так, что ф (t) позволяет вычислить производную функционала Fa [и ( ), Т]. Образуется функция Гамильтона Н (х, и, ф). Так как система (1) линейна по и, то [c.314]
Здесь L (и) — линейный дифференциальный оператор, коэффициенты которого зависят от управления и (t) Q (и) — матрица 4 ->4, х= х1, хг, х3, х1 . Конкретные выражения для /, Q и краевых условий Гх=0 см. в 11. Мы будем придерживаться стандартного обозначения независимого аргумента буквой t, хотя в данной задаче это не время, а пространственная координата. Задача (1) рассматривается на интервале [О, Т]. Управлением является трехмерная вектор-функция и( )= иъ u%, и3 , определенная на интервале [7 , Т2] С [О, Т], ее компоненты — концентрации в данной точке t трех характерных веществ замедлителя (иг), горючего (ма) и поглотителя (иа). Разумеется, коэффициенты L (и) и Q (и) зависят и от других компонент конструкции, но они в данной задаче не варьируются и явно в постановку задачи не входят. Правда, в связи с их наличием следовало бы, чтобы быть более аккуратным, использовать обозначения типа Q (и, t), но мы этого не делаем ради простоты. Вычисление производных тех функционалов, в терминах которых будут ставиться различные задачи, разъяснено в 11. Кроме того, в задаче имеются и геометрические ограничения допустимых значений компонент управления [c.329]
Нестандартные задачи линейного программирования. Рассмотрим некоторые задачи, встречающиеся при решении задач с функциями, не имеющими производных, но дифференцируемыми по направлениям. В 46 читатель может познакомиться с тем, каким образом возникают такие задачи. Здесь же будет показано, что они сводятся к стандартной задаче линейного программирования. [c.431]
Дельта-коэффициент портфеля, состоящего из длинных и коротких позиций по финансовым инструментам, производным от одних н тех же исходных активов, является линейной комбинацией дельта-коэффициентов финансовых инструментов, образующих этот портфель. [c.225]
Почему это полезно Потому что, зная величину производной цены по предельным издержкам, можно (косвенно) оценить б. В табл. 9.2 при условии линейности спроса и постоянства предельных издержек приведены производные цены по предельным издержкам в трех возможных поведенческих ситуациях (1) абсолютного сговора, (2) модели Курно и (3) модели Бертрана. Решив уравнение [c.165]
Всеобъемлющая связь явлений, процессов, предметов, глобально охватывая все сущее, создает через паутину отношений нечто целое, которое и является объектом исследования. Особо важно выявить здесь причинно-следственную связь, памятуя, что причина порождает следствие, а последнее вновь оборачивается причиной последующего события или ситуации, нечто нового и так до бесконечности. Снова сталкиваемся здесь, следовательно, с процессом вечного движения, развития и саморазвития, с проявлениями коор-динационности и субкоординационности. Известно, что причинно-следственные отношения подразделяются на функциональные (однозначные) и стохастические (вероятностные), но никогда они не превращаются в беспричинность, в случайность. Сама случайность в философском смысле есть форма проявления необходимости, являясь производной какой-либо причинности (иногда и отдаленной). Здесь мы сталкиваемся с понятиями детерминированной и функциональной зависимости. Если первая означает определенную жесткость связей между изучаемыми явлениями, то вторая характеризуется вероятностной (частичной) связью. Отсюда и методы экономического анализа выступают как детерминированные, которым присуща линейная связь, или как методы стохастические, которые способствуют выявлению вероятностной зависимости. [c.12]
Известная в теории надежности теорема профилакти . для систем без резерва времени, доказывает что, если показатель надежности объекта описывается дробно-линейным функционалом, то техническое обслуживали объекта необходимо проводить через неслучайные интервалы времени, т.е. достигнутому уровни , надежности объекта всегда соответствует оптимальный период его обслуживания. Разработанный научно-методический аппарат позволил расширит , границы данной теоремы для систем с резервом времени и определить для них необходимые и достаточные условия существования оптимального периода ТО. Опреде-ление оптимального периода осуществлялось посредством дифференцирования полученного выражения для выбранного показатели надежности по Т с последующим приравниванием производной нулю и решением полученного уравнения. При этом выявлено, что даже при условии (средней время проведения обслуживания превышает среднее время восстановления) проведение ТО систем с резервом времени может быть эффективным, и 6yaef существовать оптимальный период технического обслуживания Topt, если выполняется неравенств [c.167]
Например, если горячие сосиски откладывать по вертикальной оси, а книги — по горизонтальной, то MRSK = 3 означает, что потребитель готов отдать 3 сосиски за 1 книгу при наличии у него данного количества книг и сосисок. С формальной точки зрения предельная норма замены может быть равна взятой с обратным знаком производной функции Х2 = f(X])t определенной по данной кривой безразличия. Это будет верно в тех случаях, когда сравниваемые изменения количеств благ не слишком отличаются от главных линейных частей таких изменений — дифференциалов [c.119]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [derivation] — операция определения производной рассматриваемой функции. Напр., производная линейной функции (Ьх + а У = Ъ, т.е. является константой производная степенной функции [х") -= ах" 1 (>0), т.е. дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу или дифференцирование логарифмической функции (logoJt) = 1/х log/ (0 < а Ф 1 х>0), в частности (In x) = Их. Для Д.ф., представляющей собой комбинацию элементарных функций, применяются специальные правила напр., производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций, постоянный множитель выносится за знак производной для дифференцирования произведения двух функций вычисляется сумма из двух произведений (производная первой функции на вторую функцию, плюс первая функция на производную второй функции — (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + + u(x)v(x) ). Соответственно, существуют правила дифференцирования сложной функции, частного двух функций, обратной функции, логарифмических функций, правила вычисления производных высших порядков, а также правила Д.ф. многих переменных. [c.92]
В различных экономических приложениях применяются (и рассматриваются в словаре) следующие функции Взвешивающие, Дифференцируемые, Гладкие, Кусочно-линейные, Кусочно-непрерывные, Линейные, Нелинейные, Непрерывные, Се-парабелъные, Экспоненты и др. См. также Вектор-функция, Гессиан, Интеграл, Мультипликативная форма представления функции, Производная, Рекурсия, Частная производная, Эластичность функции. [c.379]
Стандартизация. Стандартизация психологических тестов представляет собой линейное преобразование тестовых оценок, смысл которого заключается в замене исходных оценок новыми, производными, облегчающими понимание и интерпретацию тестовых результатов. Обычно используют два основных вида преобразовательных оценок приведение их к центронормированному виду и дискретизация. [c.81]
В основу понятия обобщенного решения могут быть положены самые различные подходы. Это интегральные законы сохранения, метод искусственной вязкости, способ предельного перехода в разностных аппроксимациях, аппарат теории обобщенных функций, понятие потенциала решения, а также другие схемы [Рождественский и др., 1978 Годунов, 1979]. Так, авторы [Васильев и др., 1987] при рассмотрении одномерного варианта (га = 1) задачи (4.4.3)-(4.4.7) для определения обобщенного решения использовали свойство эквивалентности на гладких (классических) решениях дифференциальной системы, построение которой базируется на использовании широко известного аппарата метода характеристик. Суть этого подхода заключается в диагонализации матрицы А системы (4.4.3) с помощью линейного невырожденного преобразования переменных х в инварианты Римана. После такого преобразования в каждом из уравнений системы участвуют частные производные по s и t лишь одной инварианты Римана, что позволяет рассматривать дифференциальный оператор инвариантной системы как п -мерный вектор обыкновенных производных вдоль соответствующих характеристик (аналог производной по направлению). К сожалению, возможности использования данного понятия обобщенного решения по существу [c.335]
Условия (9.147) при фиксированном значении составляющей Af > 0 соответствуют изменению А вдоль антиградиента функции R (А), что соответствует утверждениям 1 и 2. Условия (9.148) дают очень малую информацию для выбора А, что связано с линейной аппроксимацией /Q и с тем, что в (9.139) производные функции /Q заменены производными аппроксимации этой функции. Условие (9.149) позволяет спрогнозировать значение исходной задачи /о (0) = /о Ь . [c.363]
Условие на шаг h=0 (т2) неприятно, так как с ним связан большой объем вычислений. Ослабить его и заменить соотношением h=O (i) в принципе нельзя. Это может привести (и в простых примерах действительно приводит) к тому, что сеточные оптимальные траектории не сходятся (при h, т -> 0, fe/- = onst) к решению исходной задачи (1)—(5). Этот факт нетрудно понять, пользуясь простыми качественными соображениями. В самом деле, при h= -с множество сеточных траекторий (т. е., например, кусочно линейных функций, проходящих через узлы сеток S ) образует в пространстве непрерывных функций /г-сеть, если в качестве нормы рассматривать величину ж (-)jj =max ж (i) . Однако в пространстве пар х (t), х (t) это множество уже при h -> 0 плотной сети не образует, так как ж принимает только целые значения. Поскольку управление и более или менее соответствует производной [c.126]