Если биматричная игра является антагонистической, то матрица выигрышей игрока 2 полностью определяется матрицей выигрышей игрока 1 (соответствующие элементы этих двух матриц отличаются только знаками). Поэтому биматричная антагонистическая игра полностью описывается единственной матрицей (матрицей выигрышей игрока 1) и в соответствии с этим называется матричной. [c.10]
Эта игра — антагонистическая. В ней j = х2 - О, Р , а Я (О, О] = Н(Р, Р) = —I и Я (О, Р) = Я (Р, О) = 1, или в матричной форме о р [c.11]
Определение. Антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми. [c.25]
Пусть некоторый класс игр Ж является "зеркально-замкнутым", т.е. вместе с каждой своей игрой содержит зеркально изоморфную ей (так как все игры, зеркально изоморфные данной, изоморфны друг другу, мы, в соответствии с только что сказанным, можем говорить об одной зеркально изоморфной игре). Таким классом является, например, класс всех антагонистических игр или класс всех матричных игр. [c.37]
Вспоминая определение приемлемых ситуаций в антагонистической игре, получаем, что ситуация (X, Y ) в смешанном расширении матричной игры является приемлемой для игрока 1 тогда и только тогда когда при любом х G х выполняется неравенство [c.46]
Процесс переработки игр в симметричные им называется симметризацией. Мы опишем здесь один прием симметризации. Другой, принципиально иной вариант симметризации будет приведен в п. 26.7. Оба эти варианта симметризации в действительности применимы к произвольным антагонистическим играм, но будут сформулированы и доказаны только для матричных игр. [c.88]
Таким образом, исходные термины и обозначения теории общих антагонистических игр совпадают с соответствующими терминами и обозначениями теории матричных игр. [c.92]
Для конечных антагонистических (матричных) игр существование этих экстремумов было нами доказано в 10 гл. 1, и все дело заключалось в установлении их равенства или хотя бы в нахождении путей преодоления их неравенства. [c.93]
Связь е-седловых точек общих антагонистических игр с минимакса-ми есть обобщение описанной в п. 6.1 гл. 1 связи с ними седловых точек матричных игр. [c.94]
Уже рассмотрение матричных игр показывает, что существуют антагонистические игры без ситуаций равновесия (и даже без ситуаций е-равно-весия при достаточно малых е > 0) в первоначально заданных стратегиях игроков. [c.96]
Но каждую конечную (матричную) игру можно дополнить до бесконечной игры, например, путем предоставления в распоряжение каждого игрока любого числа доминируемых стратегий (см. 22 гл. 1). Очевидно, такое расширение множества стратегий игрока в действительности не будет означать расширения его возможностей, и фактическое его поведение в расширенной игре не должно будет отличаться от его поведения в первоначальной игре. Тем самым мы получили сразу достаточное количество примеров бесконечных антагонистических игр, не имеющих седловых точек. Имеются и другие источники примеров такого рода. [c.96]
Таким образом, для реализации в бесконечной антагонистической игре принципа максимина необходимо, как и в случае конечной (матричной) игры, некоторое расширение стратегических возможностей игроков. Для 96 [c.96]
В связи со смешанными стратегиями в бесконечных антагонистических играх можно сформулировать и доказать утверждения, аналогичные тем, которые в связи со смешанными стратегиями в матричных играх были приведены в 9 гл. 1. Аналогом леммы п. 9.3 гл. 1 является следующая лемма. [c.98]
Как и в случае матричных игр (см. 17 гл. 1), для общих антагонистических игр важную роль играет понятие спектра смешанной стратегии, которому здесь, однако, приходится дать более общее определение. [c.103]
Заметим, наконец, что множество всех смешанных стратегий игрока 1 в произвольной антагонистической игре является, как и в матричной [c.114]
Уже рассмотрение антагонистических игр показывает, что большое число таких игр, и в том числе конечных, матричных игр имеет ситуации равновесия не в исходных, чистых стратегиях, а лишь в обобщенных, смешанных стратегиях. Поэтому и для общих, неантагонистических бескоалиционных игр естественно искать ситуации равновесия именно в смешанных стратегиях. [c.168]
В почти антагонистическую игру превращается всякая матричная игра, если в ней начать оценивать выигрыш игроков по различным (но монотонным ) шкалам полезности. В положении игрока 1 в почти антагонистической игре оказывается, например, сторона, стремящаяся нанести ущерб противнику и правильно сравнивающая его ущерб в различных ситуациях, но дающая размеру этого ущерба, вообще говоря, неверную количественную оценку. [c.182]
Так, например (см. рис. 3.1), мы уже отмечали, что "Исполнителю" почти не приходится сталкиваться с поведенческой неопределенностью. А вот если взять концептуальный уровень типа "Администратор", то здесь все как раз наоборот. Как правило, главный тип неопределенности, с которым приходится сталкиваться такому "нашему ЛПР" — это "Конфликт". Теперь можем уточнить, что обычно это нестрогое соперничество. Несколько реже "Администратор" принимает решения в условиях "природной неопределенности", и еще реже он сталкивается со строгим, антагонистическим конфликтом. Кроме того, столкновение интересов при принятии решений "Администратором" происходит, так сказать, "однократно", т. е. в нашей классификации он чаще разыгрывает только одну (иногда весьма небольшое количество) партий игры. Шкалы для оценки последствий чаще качественные, чем количественные. Стратегическая самостоятельность у "Администратора" довольно ограничена. Принимая во внимание сказанное, можно утверждать, что проблемные ситуации подобного масштаба чаще всего приходится анализировать с помощью бескоалиционных неантагонистических би-матричных игр, причем, в чистых стратегиях [39]. [c.236]
Принципы решения матричных антагонистических игр [c.222]
В итоге будет разумно ожидать, что в описанной выше игре противники будут придерживаться избранных стратегий. Матричная антагонистическая игра, для которой max min fiv = min max Aiy> [c.224]
Однако далеко не все матричные антагонистические игры являются вполне определенными, и в общем случае [c.224]
Таким образом, в общем случае для решения матричной антагонистической игры размерностью /ихл необходимо решить пару двойственных задач линейного программирования, в результате чего находится набор оптимальных стратегий , / и цена игры v. [c.229]
Как определяется матричная антагонистическая игра двух лиц [c.244]
Как находится верхняя и нижняя цена игры для вполне определенной матричной антагонистической игры двух лиц [c.244]
Какие есть методы упрощения и решения матричных антагонистических игр [c.244]
В случае игры двух лиц естественно считать их интересы прямо противоположными — игра антагонистическая. Таким образом, выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (сумма выигрышей обоих игроков равна нулю, отсюда и название — игра с нулевой суммой). Будем рассматривать игры, в которых у каждого игрока имеется конечное число альтернатив. Функция выигрыша для такой игры двух лиц с нулевой суммой может быть задана в матричной форме (в виде платежной матрицы). [c.125]
Равновесие Нэша в смешанных стратегиях (NEm). Игра "Монетки" и NEm. Способ решения и геометрия игры функции или отображения отклика. Теорема Нэша о существовании (доказательство) и следствие существование NEm. Теорема Брауна-Джексон о сходимости NEt к NEm, как способ вычисления NEm. Седло (Sad) как пересечение NE и ММ, его существование в антагонистической матричной игре. [c.93]
Как уже отмечалось, конечная антагонистическая игра называется матричной. [c.58]
См. также Антагонистические игры, Бескоалиционные игры, Бесконечные игры, Биматричиая игра, Дифференциаль-ные игры, Игра с "природой ", Игры с непротивоположными интересами, Игры с ненулевой суммой, Игры с нулевой суммой, Конечные и бесконечные игры, Кооперативные игры, Матричные игры, Некооперативные игры, Парные игры, Позиционные игры, Прямоугольные игры. [c.112]
Матричные игры и понятие седловой точки. Рассмотрим более подробно антагонистические игры и их основные свойства. Удобным способом задания игры двух участников с нулевой суммой является платежная матрица. Отсюда, кстати, происходит еще одно их название — матричные игры. Каждый элемент платежной матрицы ац содержит числовое значение выигрыша игрока I (проигрыша игрока II), если первый применяет стратегию /, а второй — стратегию /. Термины выигрыш и проигрыш следует понимать в широком смысле, т. к. они могут принимать отрицательные значения и с житейской точки зрения означать противоположное. Нетривиальность задачи прежде всего заключается в том, что каждый из игроков делает свой выбор, не зная о выборе другого, что существенно осложняет процесс оптимизации выбираемой стратегии. [c.187]
МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ [matrix games] — класс антагонистических игр, в которых участвуют два игрока, причем каждый игрок располагает конечным числом стратегий. Если один игрок имеет т стратегий, а второй — п, то можно построить матрицу игры размерностью тхп. М.и. могут иметь седловую точку, но могут и не иметь ее. В последнем случае решение игры в чистых стратегиях невозможно и оптимальные стратегии игроков отыскиваются среди их смешанных стратегий. М.и. для нахождения таких стратегий удобно преобразовывать в задачи линейного программирования. [c.189]
Начиная с этого места мы будем рассматривать только конечные бескоалиционные игры, т.е. игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий. Переход от теории конечных бескоалиционных игр к теории бесконечных бескоалиционных игр напоминает переход от теории матричных игр (гл. 1) к теории бесконечных антагонистических игр (гл. 2), но является более громоздким. На этом пути довольно естест-. венно получаются доказательства теорем существования ситуаций равновесия для бесконечных бескоалиционных игр, но нахождение ситуаций равновесия в таких играх удается ввиду технических трудностей лишь в отдельных, узких и пока еще немного численных случаях. [c.168]
Лит. Вильяме Д ж. Д., Совершенный стратег или Букварь по теории стратегических игр, пер. с англ., М., 1960 Вентцель Е. С., Элементы теории игр, 2 изд., М., 1961 Воробьев Н. Н., Математическая теория игр, Л., 1963 Ль юс Р. Д. иРайфа X., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961 Мак-Кинси Д ж., Введение в теорию игр, пер. с англ., М., I960 Матричные игры. [Сборник переводов]. Под ред. Н. Н. Воробьева, М., 1961 Бесконечные антагонистические игры. [Сборник переводов]. Под ред. Н. Н. Воробьева, М., 1963. И. Я. Бирман. [c.154]
Связь матричных игр с линейным программированием и нахождение NEm. Доказательство Сл. 1.1 для антагонистических (матричных) игр двух лиц можно проводить и независимо от теоремы Нэша, через линейное программирование, что дает также способ поиска NEm для этих игр. Для этого задачу 1-го игрока записывают в форме максимизации (неизвестной ему заранее) цены игры //0 по переменным //о,/А при ограничениях ц, > О, Sf li/ = lr fJ-ak > ц0 (k = 1,...,п2), где ak e Rni — столбцы матрицы платежей (а ) = (MI(X ,X )). Здесь ограничения типа > выражают гипотезу 1-го о неблагоприятном поведении противника (максимин). Легко проверить, что задача противника есть двойственная к описанной задаче. Таким образом симплекс методом можно найти седловую пару в игре Gm, она является и Нэшевской парой. Для случая биматричной игры 2x2 также легко найти NEm графически, строя функции (или отображения) NRi(x i) отклика игроков на действия партнеров. [c.7]
Ui(si,s2) = — w2(si,s2) для всех Si G Si, г = 1,2, справедливо равенство amf = — 6mf для всех га и А , а поэтому такая игра может быть задна только одной матрицей (amf )m=i,...,M, и поэтому конечные антагонистические игры называются матричными (см. подробнее Дополнение (Раздел 1.13)). [c.28]
Смотреть страницы где упоминается термин Матричные игры Антагонистические игры
: [c.97] [c.80] [c.46] [c.234] [c.226] [c.34]Смотреть главы в:
Теория игр для экономистов-кибернетиков -> Матричные игры Антагонистические игры