Пусть на Х=Ж1 заданы непрерывные, строго монотонные предпочтения. Тогда существует непрерывная, строго монотонная функция полезности представляющая эти предпочтения. [c.35]
При соблюдении этих аксиом существует функция полезности U Lj->R, однозначно определенная на множестве лотерей с точностью до монотонного строго возрастающего линейного преобразования, причем [c.190]
Убывающая монотонная функция 207 Убывающая предельная полезность благ [c.493]
Также предполагается, что функция полезности монотонно возрастает по всем переменным [c.73]
Если существует хотя бы одна функция полезности, то их существует бесконечно много если <р (и) — монотонно возрастающая функция, то и (Х) = ф(ц(Х)) — также функция полезности. [c.585]
Что произойдет, если функцию полезности и(Х) заменить равносильной ей функцией ц (Х) Отношение предпочтения сохранится, если и Х) = = ф (и(Х)), где (р (и) — монотонно возрастающая функция. Правило дифференцирования сложной функция позволяет утверждать, что [c.600]
Мы предполагаем, что функция полезности [/( g. j) монотонно возрастающая, строго вогнутая и всюду дифференцируемая. [c.153]
Вначале остановимся на некоторых важных свойствах задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи (х,°,д 0) сохраняется при любом монотонном (то есть сохраняющем порядок значений) преобразовании функции полезности ы(х,,л ). Поскольку значение (х,0 0) было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остается неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы. Отметим, что свойство 1) должно присутствовать у любой функции полезности свойства 2) и 3) могут при ее монотонных преобразованиях теряться или приобретаться (рассмотрите это самостоятельно на примере функции uix xj x x., . Последнее важно для иллюстрации того [c.140]
Каждый из игроков имеет свою функцию полезности, заданную на наборе товаров Л,(х,,х2), А2(х,,х,) предполагается, что эти функции непрерывны и монотонны по каждой из переменных и выпуклы. В начале игры в экономике имеется общее количество Л, первого товара и А, - второго товара. Предположим, что это начальное количество благ как-то распределено между игроками 1-й Игрок обладает количеством X, первого товара и Л - второго, 2-й Игрок - количествами А2. и А2, 1-го и 2-го товаров соответственно, так что [c.234]
Опишем модель с одним страхователем и одним страховщиком [18]. Пусть страхователь не склонен к риску и имеет строго монотонно возрастающую непрерывно дифференцируемую вогнутую функцию полезности м(-), а страховщик нейтрален к риску и имеет линейную функцию полезности. [c.39]
Легко видеть, что тах возрастает по р и х2 и вогнута по х2. Содержательные интерпретации такой монотонности очевидны. Если страхователь нейтрален к риску, то тах = 0, то есть страховщик не может получить прибыль от заключения страхового контракта со страхователем, который также как и он сам относится к риску. Если функция полезности страхователя строго вогнута, то значение тах [c.45]
| Рисунок 4 Построение функции полезности при предположении монотонности предпочтений ( |  |
Функция полезности и(х) является строго монотонной. Пусть х1 = ж2 и х х2. Тогда из строгой монотонности предпочтений xl >- ж2. Отсюда следует, что (ж >- ы(ж2)1. Поэтому и(х1) > м(ж2). [c.36]
Покажите, что функция полезности монотонна тогда и только тогда, когда монотонно представляемое ею отношение предпочтения. [c.40]
Покажите, что если функция полезности аддитивно-сепарабельна и строго монотонна, то в экономике не будет взаимодополняемых товаров [c.89]
Пусть функция ы(.) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, v(.) — соответствующая непрямая функция полезности. [c.101]
Замечание На самом деле достаточно, чтобы данная функция полезности могла быть преобразована в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием. Монотонное преобразование функции полезности не меняет предпочтений потребителя. Так, например, функция ы(ж, у) =ху и ее логарифм 1п(ы(ж, у)) = 1п(ж) + 1п(у) задают одни и те же потребительские предпочтения, хотя первая не вогнута, а вторая вогнута и допускает поэтому применение теоремы Куна — Таккера. Следовательно, допускает его и первая, приводимая к вогнутой. [c.158]
Для экономики обмена двух потребителей со строго монотонными, строго вогнутыми функциями полезности, заданными на R+, и строго положительными общесистемными запасами благ, доказать, что Парето-граница является связной кривой, соединяющей два угла ящика Эджворта, причем на каждой кривой безразличия в ящике Эджворта лежит ровно одна точка Парето, и что кривая Парето-границы не имеет колец. (Подсказка вос- [c.188]
Что можно сказать о таких ценах в случае, если предпочтения представимы строго монотонной дифференцируемой функцией полезности [c.190]
При каких дополнительных предположениях относительно параметров модели обмена (с т потребителями) и совпадающими, выпуклыми и строго монотонными предпочтениями, представимыми непрерывно дифференцируемыми функциями полезности, распределение, состоящее из векторов начальных запасов, можно реализовать как равновесие При каких ценах [c.206]
Эта функция очень удобна, поскольку она соответствует также и предпосылкам о строгой монотонности и строгой выпуклости отношения предпочтения. Свойство строгой монотонности требует, чтобы функция полезности была возрастающей по каждому из аргументов [c.10]
Каждая следующая кривая безразличия, проходящая дальше от начала координат, отражает большую величину полезности, чем предыдущая. Это свойство связано с предпосылкой о строгой монотонности отношения предпочтения. Последняя подразумевает, что функция полезности является строго возрастающей. Отсюда каждая кривая безразличия, расположенная выше, показывает и более высокий уровень полезности. Так, на рис. 1.5 Ul < U2 < t/3 < С/4, что соответствует сечениям [c.12]
Монотонное преобразование функции полезности. [c.16]
Монотонное преобразование функции полезности - это новая функция полезности, которая точно также описывает предпочтения потребителя (то есть показывает более или менее предпочтителен тот или иной набор благ), как и первоначальная функция полезности. Пусть, например, существует отношение предпочтения х>у (х,у Х). Тогда функция полезности U, по определению, должна отражать это предпочтение следующим образом t/(x) > U(y ). Однако, если [c.16]
Монопсоническая власть (сила) 207 Монопсония 207 Монотонная функция 207 Монотонное преобразование 207 Монотонные функции полезности 380 Монте-Карло метод (метод статистических испытаний) 195 Морфологический анализ 207 Мощность аклератора 14 Мощность кода 146 Мультиколлинеарность 207 Мультимодальное распределение 202 Мультипликативная форма представления [c.475]
Из табл. 2 легко увидеть важнейшее различие между кардиналистским и ординалис-тским подходами. Функция порядковой полезности, в противоположность количественной, позволяет лишь судить о том, какой из наборов товаров предпочтительнее, и отнюдь не дает возможности оценивать и сравнивать разницу в полезности наборов (насколько один набор предпочтительнее другого), что, кстати, и делает бессмысленным при орди-налистском подходе понятие предельной полезности. Вообще говоря, если U(X)—ординалистская функция полезности, a T(U) — любая монотонно возрастающая функция, то функция вида [c.56]
Числовой характеристикой предпочтений людей на множестве альтернатив, зависящих от случайных величин, выступает полезность. Если обозначить х - альтернативу (например, размер денежного выигрыша в лотерее), м(-) - функцию полезности, определенную на множестве альтернатив, то люди, нейтральные к риску, имеют линейные функции полезности (и = onst > 0, и" = 0 полезность определяется с точностью до монотонного линейного преобразования), склонные к риску - выпуклые (и > 0, и" > 0), а несклонные - вогнутые (и > 0, и " < 0 функции полезности. [c.23]
Как мы выяснили в предыдущем параграфе, функции переводящиеся друг в друга монотонно возрастающим преобразованием эквивалентны с точки зрения упорядочивания потребительских наборов. В связи с этим, естественно возникает вопрос о том, какие свойства функции полезности, помимо ранжировки потребительских наборов, сохраняются при трансформации функции полезности. Естественно ожидать, в силу того, что мы действуем на функцию полезности монотонно возрастающим преобразованием, сохранения свойств монотонности, строгой монотонности и локальной ненасыщаемости. Вопрос же о сохранении свойств вогнутости и квазивогнутости функции полезности не так очевиден. [c.45]
Опираясь, на приведенную в прошлом параграфе схему доказательства существования функции полезности представляющей строго монотонные предпочтения легко показать, что для строго монотонных и гомотетичных предпочтений существует положительно однородная функция полезности, представляющая эти предпочтения. Особенностью положительно однородной функции полезности является то, что предельная норма замены для любой пары товаров остается неизменной на луче tx. Это полезное свойство эквивалентно тому, что кривые Энгеля27 являются лучами, выходящими из начала координат. Кроме того, при выполнении этого свойства, свойств локальной ненасыщаемости, непрерывности и выпуклости, система неоклассических предпочтений допускает представление во- [c.47]
Итак, к данному моменту отталкиваясь от нескольких достаточно разумных аксиом о свойствах индивидуальных предпочтений, были получены достаточные условия существования функции полезности и рассмотрены условия на предпочтения, гарантирующие такие ее естественные свойства как монотонность, квазивогнутость и т.д. Тем самым, был описан способ, которым потребитель упорядочивает потребительские наборы из множества допустимых альтернатив. Для того чтобы перейти к анализу выбора потребителя осталось рассмотреть дополнительные ограничения на альтернативы, которые совместно с [c.48]
Приведите пример непрерывной квазивогнутой функции полезности, не являющейся монотонной. [c.50]
Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщаемость, выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабельность) обладают предпочтения на R+, представимые следующими функциями полезности [c.52]
Очевидно, что матрица Н отрицательно определена. Таким образом, функция полезности и(х) является вогнутой. Также отметим, что и(х) - монотонна. Тем самым, мы подпадаем под условия теоремы Куна-Таккера и условия дополняющей нежесткости являются достаточными условиями оптимальности. [c.64]
Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица Н не вырожденная. Предположим противное. Тогда существует такой вектор у и число z, такие, что Ну + Уи(ж)т z = О и Уи(ж)т/=0, где (у, г) 0. Пусть т/=0, а г О, то Уы(ж) = 0. Это противоречит доказанному ранее свойству существования такого блага г, что ы/(ж(р,Д)) > 0. Пусть теперь т/ 0, тогда у Ну + 7/тУи(ж)Т г = у Ну = 0 и Уи(ж)т/=0, что противоречит свойству сильной квазивогнутости. Таким образом, мы доказали, что матрица Н не вырождена. И, тем самым, функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа X являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу. В силу определения непрямой функции полезности v(p, К)= и(х(р, Д)) и непрерывной дифференцируемости функции полезности и функции спроса имеем непрерывную дифференцируемость непрямой функции полезности по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p, e(p, ж)) = и(х). С учетом монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов по ценам. Наконец, в силу соотношения ж(р, е(р1 ж)) = /г(р, ж), непрерывной дифференцируемости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам. [c.81]
Заметим, что в случае, когда предпочтения потребителей представимы функцией полезности Неймана-Моргенштерна, ненасыщаемость предпочтений гарантируется монотонностью элементарной функции полезности, непрерывность — непрерывностью элементарной функции полезности, выпуклость — ее вогнутостью. [c.291]