В этой главе X всегда будет обозначать матрицу (обычно квадратную) вещественных переменных, a Z — матрицу комплексных переменных. Мы рассмотрим дифференциалы скалярных функций X (собственные значения, определитель), векторных функций X (собственные векторы), а также матричных функций X (обратная, МП-обратная, сопряженная матрицы). [c.196]
Если У — вещественная матрица размера га х га, то через Y мы обозначаем присоединенную к Y т х т матрицу. Если задана матричная функция F размера т х га, определим матричную функцию F размера т х т как F (X) = (F(X)) . Цель этого параграфа — найти дифференциал F . Докажем сначала теорему 6. [c.205]
Основным инструментом в этой главе будет первая теорема об идентификации (теорема 5.11), которая говорит, как получить производную (матрицу Якоби) из дифференциала. На основании этой теоремы мы действуем следующим образом (i) вычисляем дифференциал матричной функции F(X), (ii) представляем в векторной форме, получая соотношение d ve F(X) = A(X)d ve X, и (iii) заключаем, что DF(X] = A(X). Простота и изящность этого подхода будет продемонстрирована на многих примерах. [c.223]
Мы будем рассматривать скалярные функции 0, векторные функции / и матричные функции F. Каждая из них может зависеть от одной вещественной переменной , вектора вещественных переменных х или матрицы вещественных переменных X. Таким образом, мы получаем классификацию функций и переменных, представленную в табл. 1. [c.223]
Пусть F = (fst) есть дифференцируемая вещественная матричная функция размера га х р от матрицы X вещественных переменных размера п х q. Тогда символ dF(X)I дХ обозначает матрицу размера ran x pq [c.224]
Безусловно, определение 2 имеет некоторые достоинства. Во-первых, если F является матричной функцией только одной переменной , то dF( )/д имеет тот же размер, что и F( ). Во-вторых, если ф — скалярная функция матрицы X, то размер дф(Х /дХ снова совпадает с размером X. В частности, если ф — скалярная функция вектор-столбца ж, то дф/дх — вектор-столбец, а дф/дх — вектор-строка. Кроме того, это определение предлагает четыре способа для упорядочения тп частных производных векторной функции f(x) размера т х 1, где х — вектор переменных размера п х 1 df/dx (матрица размера га х n), df /dx (матрица размера п х га), df/dx (тп х 1 вектор) и df /dx ( 1 х ran вектор). [c.225]
Пусть F = (fst) есть дифференцируемая вещественная матричная функция размера т х р от п х q матрицы X вещественных переменных. Тогда символ dF(X)//dX обозначает следующую матрицу размера тп х pq [c.225]
После всех этих критических замечаний укажем единственно возможное обобщение матрицы Якоби для случая матричной функции. [c.226]
Пусть F — дифференцируемая матричная функция от матрицы X = (xij) вещественных переменных размера п х q. Показать, что [c.228]
В этой таблице ф — скалярная функция, / — векторная функция размера 7П х 1 и F — матричная функция размерности т х р — скаляр, х — п х 1 вектор и X — матрица размера п х q а — скаляр, а — вектор-столбец и А — матрица, которая может быть функцией от X, х или . [c.230]
В интересных примерах скалярных функций от матриц нет недостатка. В этом параграфе рассматриваются дифференциалы от следа для некоторых матричных функций. В 10 будут рассмотрены определители, а в 11 — собственные значения. [c.231]
Теперь рассмотрим, как с помощью (1) можно найти дифференциалы и матрицы Якоби определителя некоторых простых матричных функций от X. Начнем с функции ХХ7 , где матрица X не обязана быть квадратной, но должна иметь полный ранг, совпадающий с количеством ее строк. Это нужно для того, чтобы определитель XX был ненулевым (следовательно, положительным). Тогда дифференциал этой функции равен [c.233]
Показать, что матрица Якоби для векторной функции f(x) = Ag(x) равна 0/(ж) = ADg(x), и обобщить этот результат на случай, когда А — матричная функция от х. [c.236]
Далее рассмотрим четыре простых примера матричных функций от матрицы или переменных X, где матрица X имеет размер п х q. Начнем с тождественной функции [c.237]
Если X — невырожденная квадратная матрица порядка гг, то дифференциал матричной функции [c.238]
Найти матрицу Якоби для матричных функций АХ В и АХ 1 В. [c.240]
Найти матрицу Якоби для матричных функций ХАХ, X АХ, ХАХ [c.240]
Найти матрицу Якоби для матричной функции F(X) = AG(X)BH(X) С , где Л, В и С — матрицы-константы. [c.240]
Рассмотрим еще один пример. Пусть F(X) — матричная функция размера п х (п — 1) от квадратной матрицы переменных X порядка п, равная Х 1 без последнего столбца. Введем матрицу Еп, имеющую размер п х (п — 1) и получаемую из единичной матрицы /п путем удаления оттуда последнего столбца, т. е. [c.243]
В этой таблице ф есть скалярная функция, / — векторная функция размера т х 1 и F — матричная функция размера т х р — скаляр, ж — n x 1 вектор и X — n x g матрица /3 — скаляр, b — вектор-столбец и В — матрица, которые могут зависеть от X, х или . В случае векторной функции / имеем [c.247]
Пусть F есть матричная функция размера m х р от матрицы переменных X размера п х q. Если q = 1, будем писать х вместо X. Пусть ei и es — векторы размера п х 1, у которых г-я (s-я) компонента — единица, а все остальные компоненты — нулевые. Пусть также Eij и Est — матрицы размера п х q с единицей, стоящей на ij-м (st-м) месте, а все остальные компоненты равны нулю. Матрица Якоби для F(x) может быть представлена в виде [c.248]
В качестве второго примера рассмотрим матричную функцию от матрицы X размера n x q [c.253]
В экономических и технологических исследованиях при фиксированном значении регрессора X часто рассматривается многомерный отклик Y = Чг/ (X)Q + е, где Y — (/X 1) -вектор наблюдений при значении регрессора X, Чг — известная (/ X р)-матричная функция X, в — (рх 1)-вектор неизвестных параметров, а е — (/X 1)-вектор ошибок N (О, V), где V — неизвестная положительно определенная (/ X /)-матрица. Оценка вектора в многомерной регрессии проводится одновременно с оценкой матрицы V путем итеративного решения нелинейной системы уравнений. Разработаны устойчивые методы оценки многомерной регрессии. Многомерная регрессия может использоваться при описании многомерных распределений. [c.250]
Третья часть является прикладным ядром книги. Она содержит правила работы с дифференциалами, список дифференциалов от важных скалярных, векторных и матричных функций (включая собственные числа, собственные векторы и обратные матрицы Мура—Пенроуза). Также приведены таблицы идентификации для матриц Гессе и Якоби. [c.16]
Обобщение дифференциального исчисления векторных функций на функции матричные проводится непосредственно. Рассмотрим матричную функцию F S — > Rmxp, определенную на множестве S С Rnxgr. Иными словами, F отображает матрицу X из S размера п х q в т х р матрицу F(X). [c.134]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Пусть Т — множество невырожденных вещественных квадратных матриц порядка т, т.е. Т = Y Y Rmxm, Y ф 0 , a S — открытое подмножество Rnxg. Если матричная функция F S —> Т непрерывно дифференцируема k раз на S, то обратная матричная функция F l S —> Т, определяемая как F l(X) = (F(X)) l, также непрерывно дифференцируема k раз и [c.201]
Лемма 1 утверждает, что если F S —> Rmxp — матричная функция, определенная и непрерывная на S С ИПХ( , то F+ 5 —> Rpxm непрерывна на 5 тогда и только тогда, когда ранг r(F(X)) постоянен на S. Чтобы МП-обратная матричная функция F+ была дифференцируема в XQ , она должна быть непрерывна в XQ, а значит, иметь постоянный ранг в некоторой окрестности N(XQ) матрицы XQ. Если ранг r(F(X)) постоянен в 7V(X0), то из диффе-ренцируемости F в точке XQ следует дифференцируемость F+ в XQ. Таким образом, получаем следующую лемму. [c.203]
Пусть XQ является внутренней точкой подмножества S С Rnxgr. Пусть F S —> Rmxp — матричная функция, определенная на S и (непрерывно) дифференцируемая k 1 раз во всех точках некоторой окрестности N(X ) С S матрицы XQ. Тогда следующие три утверждения эквивалентны [c.203]
Пусть S — открытое подмножество Rnxgr, a F S — > Rmxp — матричная функция, определенная и k 1 раз (непрерывно) дифференцируемая на S. Если ранг r(F(X)) постоянен на , то МП-обратная матрица F+ S — > Rpxm также k раз непрерывно дифференцируема на S и [c.204]
Если матричная функция F S -> Rmxm(ra 2), S С Rnx<7 (непрерывно) дифференцируема k раз в точке XQ 5, причем F(XQ) — не вырождена, то матрица F S — > Rmxm также /с раз (непрерывно) дифференцируема в XQ и ее дифференциал в этой точке равен [c.206]
Теорема о неявной функции (приводимая в приложении к гл. 7) предполагает наличие окрестности N(X ) С Rnxn матрицы XQ, в которой функции А и и существуют и бесконечное число раз (непрерывно) дифференцируемы при условии, что АО — простое собственное значение матрицы XQ. Если же АО — кратное собственное значение Х0, то условия теоремы о неявной функции не выполняются. Это неудобство можно проиллюстрировать на следующем примере. Рассмотрим матричную функцию размера 2x2 [c.208]
Мы начнем эту главу с некоторых вопросов, касающихся обозначений. Будем обозначать частные производные матричной функции F(X) как dfst(X)/dxij, что позволит рассматривать матрицу Якоби матричной функции по аналогии с матрицей Якоби векторной функции. [c.223]
Если F есть дифференцируемая га х р матричная функция матрицы X размера п х q, то естественным образом возникает вопрос, как упорядочить mnpq частных производных функции F. Очевидно, что это можно сделать многими способами. Цель этого параграфа — убедить читателя не использовать приводимый ниже способ обозначения, который (непонятно почему) приобрел столь большую популярность. [c.224]
Так как DF(X) — непосредственное обобщение традиционной матрицы Якоби df(x)/dxf для случая матричной функции, все свойства матрицы Якоби сохраняются. В частности, вопросы, связанные с необращением определителя (якобиана) в нуль в определенной точке имеют тот же смысл, что и прежде. [c.227]
Так как в определении 1 матрицы F(X) и X присутствуют в векторной форме (ve F и ve X), изучение матричных функций матричных аргументов сводится к изучению векторных функций от векторных аргументов. В результате не требуется иметь дело с такими неприятными выражениями, как [c.227]
Найти дифференциал и матрицу Якоби матричной функции F(X, Y) = X О Y (произведение Адамара). [c.242]
МАТРИЦА ГЕССЕ МАТРИЧНОЙ ФУНКЦИИ [c.244]
Отсюда вытекает следующее определение матрицы Гессе для матричной функции (сравнить с 6.14). [c.245]
Пусть F дважды дифференцируемая т х р матричная функция от п х q матрицы X. Матрицей Гессе 1 функции F в точке X назовем матрицу размера mnpq x ng, определенную по следующей формуле [c.245]
Иногда оказывается трудным найти матрицы Якоби или Гессе для матричной функции с помощью идентификационных таблиц. В таких случаях удобно использовать формулу, которая задает матрицы Якоби и Гессе непосредственно через частные производные. [c.248]
Приведем два примера матриц Гессе для матричных функций. Во-первых, рассмотрим матричную функцию от п х 1 вектора х [c.251]