В зависимости от последовательности чередования процедур решение" или наблюдение" решающие правила и решающие распределения определяются априорной или априорной и апостериорной информацией. [c.56]
Задача стохастического программирования (3.1) -(3.3) в зависимости от вида целевого функционала (3.1) преобразуется в одноэтапную М -модель с вероятностными ограничениями, одноэтапную /"-модель с вероятностными ограничениями, одноэтапную /"-модель со смешанными условиями (для решения этих моделей используются априорные или апостериорные решающие правила) либо в одноэтапную задачу с построчными вероятностными ограничениями и решающими правилами нулевого порядка. [c.57]
Таким образом, в общем случае решение задачи стохастического программирования представляет собой решающее правило или решающее распределение, зависящее, вообще говоря, от двух групп факторов. Факторы первой группы не связаны с наблюдением текущих значений параметров условий задачи. Они определяются априорной информацией— некоторыми характеристиками распределения или выборкой возможных значений случайных параметров условий. Факторы первой группы могут быть заблаговременно использованы для построения (или для последовательного совершенствования) решающего правила или решающего распределения. Факторы второй группы определяются апостериорной информацией, появляющейся в результате наблюдения за конкретной реализацией параметров условий задачи. [c.5]
Можно (рассматривать две постановки задачи сглаживания и прогноза одноэтапную и многоэтапную. В одноэтапной постановке по известным статистическим характеристикам процессов v (t) и t,(t) определяются априорные или апостериорные решающие правила, необходимые для управления наборы = , i=l, , п, сглаженных или упрежденных точек — оценок r (ti + taj. Для вычисления необходимо задать (а) класс операторов, из которых выбираются структуры механизма связи t,i со значениями, К/) на (ti—Т, ti) (б) показатель качества прогноза R(L) и (в) область Q определения —набор ограничений, высекающих множество допустимых сглаженных или упрежденных точек. [c.39]
Т, t , полностью обусловленную статистическими характеристиками случайных процессов r (t-) и ,(t). Апостериорные решающие правила определяют операторы сглаживания и упреждения, зависящие, кроме того, и от реализованной траектории случайного процесса ( ) на J(ti T, tt). [c.39]
Анализ взаимосвязи задачи прогноза и задачи управления или планирования, ради которой производится прогнозирование, подсказывает подходящие информационные структуры решения. Можно указать ситуации, в которых решение следует определять в априорных или апостериорных решающих правилах. В гл. 14 указаны случаи, когда не существует решающих правил, удовлетворяющих условиям задачи прогноза при сложных критериях качества, но решение может быть получено в решающих распределениях. [c.43]
Для вычисления апостериорных решающих правил выпуклых задач стохастического программирования может быть использован любой численный метод выпуклого программирования в гильбертовом пространстве. Для решения стохастических задач могут быть, в частности, использованы методы, изложенные в [218]. Достаточно конструктивным численным методом решения задач математического программирования в функциональных пространствах является метод возможных направлений, обобщенный и обоснованный в [127] для решения бесконечномерных выпуклых задач. [c.123]
В настоящей главе под планом и оптимальным планом задачи подразумевается решающее распределение — безусловное или условное (в зависимости от постановки задачи) распределение компонент вектора х. Как и ранее, при рассмотрении решающих правил, целесообразно исследовать два крайних случая — априорные и апостериорные решающие распределения, отвечающие априорным и апостериорным решающим правилам при решении задачи в чистых стратегиях. Компоненты решения в априорных решающих распределениях, как и составляющие априорных решающих правил, не зависят от реализаций случайных значений параметров условий задачи. Составляющие апостериорных решающих распределений являются условными распределениями при фиксированных реализациях случайных исходных данных. Как и в предыдущей главе, естественно рассматривать случаи, когда функциональный вид решающего распределения задан и определению подлежат лишь параметры распределения, а также общий случай, когда вид распределения заранее не фиксирован. [c.134]
В [355 и 357] соответственно для априорных и апостериорных решающих правил рассматриваются достаточные условия, при которых оптимальное значение целевой функции на смешанных стратегиях — решающих распределениях — достигается также с помощью чистых стратегий — решающих правил. [c.134]
Вычисление апостериорных решающих правил стохастической задачи (3.7) — (3.9) в общем случае связано со значительными трудностями. Однако в случае, когда пространство Q элементарных событий состоит из конечного числа (г) элементов, вероятности которых заданы, решение задачи упрощается. Построение выпуклой оболочки множества [c.141]
Из приведенных рассуждений видно, что, если функции о ) (а>, х), i—0, 1,. . ., т, выпуклы по х при каждом со, то оптимальное решающее распределение не позволяет улучшить целевой функционал по сравнению с оптимальным решающим правилом. Чистые стратегии позволяют в этом случае получить тот же эффект, что и смешанные стратегии. Ясно, что этот вывод справедлив и в том случае, когда Q не является дискретным множеством. В 5 будет доказан более сильный результат, в соответствии с которым при непрерывной мере Рт на Q можно, не ухудшая качества решения задачи (3.7) — (3.9) и не требуя выпуклости г 3г(со, х), 1=0, 1. .... т, при каждом со, заменить апостериорные решающие распределения на апостериорные решающие правила. [c.141]
При анализе модели (3.7) — (3.9) с фиксированным функциональным видом апостериорного решающего распределения целесообразно рассматривать два варианта постановки задачи. В первом варианте вектор а статистических параметров фиксированного условного распределения Fx a предполагается не зависящим от реализации случая, т. е. FX °> = F(X а м)- Во втором варианте а=а(со) и Fx.—F(x, а(со), со). Анализ первого варианта сводится к вычислению априорного решающего правила (детерминированного вектора), представляющего собой оптимальный план стохастической задачи вида (4.8) — (4.9), в которой [c.144]
Выделим две принципиально различные интерпретации задачи (2.1) — (2.3) и в соответствии с этим разделим задачи вида (2.1) —(2.3) на два подкласса. В задачах первого подкласса решение Xi на г-м этапе принимается после наблюдения реализации состояния природы (случайных параметров условий задачи) на г -м этапе. Решающие правила задач первого подкласса имеют вид Xi — Xii ), t = l,. .., п. Будем называть задачи первого подкласса многоэтапными задачами стохастического программирования с условными статистическими ограничениями и с апостериорными решающими правилами. [c.194]
При решении стохастических задач с апостериорными или априорными решающими правилами могут еще задаваться дополнительные требования на характер решающего правила вплоть до вида функциональной зависимости решающего правила от случайных параметров условий задачи. В последнем случае задача бесконечно-мерного программирования сводится к конечно-мерной задаче (или к последовательности конечно-мерных задач), в которой требуется вычислить оптимальные численные значения параметров решающего правила. Дополнительные требования к классу измеримых функций, из которых следует выбирать решение задачи (2.1) — (2.3.), могут определяться содержательными соображениями или необходимостью упростить построение и реализацию решающего правила. [c.194]
С одной стороны, решение выгодно принимать возможно позже. При этом может быть учтено больше полезной информации и облегчается прогноз последствий решения. Другие факторы требуют ускорить выбор решения. Запаздывание с решением приводит обычно к дополнительной затрате ресурсов. Конкретное содержание задачи определяет рациональный компромисс между противоречивыми требованиями к моменту выбора решения. Во многих случаях, конечно, содержательная постановка задачи однозначно определяет характер и даже общий вид решающих правил. До сих пор мы рассматривали решение многоэтапных задач в чистых стратегиях. Естественно, что все здесь сказанное об априорных и апостериорных решающих правилах можно применительно к случаю, когда многоэтапные задачи решаются в смешанных стратегиях, повторить и для априорных и апостериорных решающих распределений. Как видно, однако, из материалов гл. 5, практические "приемы построения решающих распределений связаны с существенно более трудоемкой работой, чем вычисление соответствующих решающих правил. Во всех случаях, когда решение многоэтапных задач сводится к анализу соответствующих одноэтапных стохастических задач, вычисление оптимальных смешанных стратегий проводится согласно рекомендациям гл. 5. [c.195]
Подчеркнем особенности решения многоэтапных стохастических задач с условными статистическими ограничениями. Проведем рассуждения в терминах априорных решающих правил. Обсуждение особенностей решения задач с апостериорными решающими правилами проводится по такой же схеме. [c.195]
Определение решающих правил как функций от кИ"1 (или как функций от oi в задачах с апостериорными решающими правилами) составляет предварительную фазу решения многоэтапной задачи и не требует информации о наблюдаемых значениях случайных переменных. Для определения решающих правил необходимо знать лишь вероятностную меру на Q. Для оперативной фазы решения задачи, т. е. для вычисления конкретных значений Xj, требуется информация о наблюденных до этого реализациях состояния природы. [c.195]
Для апостериорных решающих правил [c.196]
В главе приводится качественное исследование многоэтапных задач -стохастического программирования с апостериорными решающими правилами ( 1). В 2 формируется общий рекуррентный алгоритм построения апостериорных решающих правил. В 3 алгоритм конкретизируется применительно к многоэтапной стохастической задаче с условными вероятностными ограничениями, а в 5 — применительно к многоэтапной квадратичной задаче с условными статистическими. ограничениями. Параграф 4 посвящен Л-задаче, двойственной к многоэтапной задаче стохастического программирования. [c.207]
Будем вычислять апостериорные решающие правила, т. е. определять решение среди случайных величин [c.207]
Рекуррентные апостериорные решающие правила [c.209]
Подчеркнем, что в соответствии с утверждением, доказанным в 5 гл. 5, в многоэтапных стохастических задачах с выпуклым функционалом фо(соп, хп) и вогнутыми составляющими вектор-функций (оД fe) и произвольной мерой рп, гак же как и в задачах с непрерывной мерой рп и произвольными функционалами о >о и tyh, оптимальные значения целевых функционалов на чистых и смешанных апостериорных стратегиях совпадают. Это значит, что для решения таких задач можно ограничиться построением оптимальных апостериорных решающих правил. Необходимость в построении оптимальных апостериорных решающих распределений в этом случае отпадает. [c.212]
Приведем общую схему построения апостериорных решающих правил для многоэтапной задачи стохастического программирования с условными вероятностными ограничениями. Эта задача представляет собой частный случай модели (1.1) — (1.2), в которой на каждом этапе ФА(ШЙ, х11) представляет собой характеристическую функцию случайного множества Gk(u>h, ft 1), зависящего от решений, выбранных на предшествующих этапах, [c.212]
Используя схему построения апостериорного решающего правила одноэтапной задачи с вероятностным ограничением, изложенную в 2 гл. 4, и результаты предыдущего параграфа, можно получить полное описание решения задачи (3.1) — (3.2). [c.212]
При достаточно общих предположениях относительно структуры. модели можно указать конструктивные пути построения и анализа Л-задачи для вычисления апостериорных решающих правил многоэтапных задач стохастического программирования [362, 364]. [c.214]
Заметим, что в общем случае применение предложенного в п. 4.5 итеративного алгоритма для построения апостериорных решающих правил хп(ып) задачи вида (4.6) — (4.8) упростится, если ввести функции [c.230]
Используем рекомендации предыдущего параграфа для построения апостериорных решающих правил многоэтапной задачи квадратичного стохастического программирования вида [c.230]
Формулы (5.4), (5.6), (5.8), (5.10) определяют апостериорные решающие правила многоэтапной квадратичной задачи стохастического программирования (5.1)— (5.2), если заменить в них Х со -1), /= ,..., п вектор-функциями ""(со 1) — решениями Л-задачи (4.15), в которой функция г зо<п)(о>п, Яп) задается выражением (5.11). [c.233]
В гл. 10 намечен общий подход к построению апостериорных решающих правил задачи (6.1) — (6.3). Конструирование априорных решающих правил связано с существенно большими теоретическими и вычислительными трудностями. В 4—5 указаны пути построения априорных решающих правил для частных классов многоэтапных стохастических задач. [c.252]
В частных случаях, рассмотренных в гл. 8, для вычисления Xi — решения задачи первого этапа — имеются конструктивные приемы. В общем случае, когда задача первого этапа оказывается выпуклой и область K=Ki П Kz ее определения задана явно, можно вычислить xi по методу стохастического градиента [107]. Знание je i=J i позволяет сократить число этапов в исходной задаче на единицу. Параметры условий полученной таким образом задачи зависят от реализации MI. В некоторых задачах специальной структуры параметрические методы исключают необходимость в решении множества задач, определяемых возможными реализациями он. В общем случае требуются весьма громоздкие вычисления. Для некоторого набора реализаций он, выбор которого обусловлен структурой задачи, следует, используя, например, метод стохастических градиентов, вычислить узлы сетки (таблицы). значений x z( i), по которой можно восстановить с требуемой точностью значения составляющих x z(u)i) для произвольной реализации он. Этот процесс может быть продолжен. Однако с увеличением числа этапов трудоемкость вычислений и требования к памяти чрезвычайно быстро растут. При немалых п представляется более перспективным сведение многоэтапной задачи к вычислению апостериорных решающих правил одноэтапных задач. Если восстановление априорных решающих правил исходной задачи по апостериорным решающим правилам одноэтапной задачи связано со значительными вычислительными трудностями, целесообразно после вычисления x i рассматривать второй этап задачи (6.7) — (6.9) (при каждой реализации oi) как одноэтапную-задачу с апостериорными решающими правилами. [c.254]
Подчеркнем еще раз, что рассуждения, аналогичные приведенным, позволяют привести в соответствие каждой многоэтапной задаче с априорными решающими правилами (так же как и задаче с апостериорными решающими правилами) одноэтапную стохастическую задачу, оптимальные апостериорные решающие правила которых позволяют получить оптимальные априорные решающие правила исходной задачи.. Вопрос о том, в каких случаях целесообразнее сводить многоэтапную задачу с априорными решающими правилами к одноэтапной или двухэтапной задаче, решается в каждом отдельном случае при сопоставлении трудоемкости решения эквивалентной задачи и восстановления по ее оптимальному плану оптимальных решающих правил исходной задачи вида (6.1) — (6.3). [c.256]
Определению подлежат апостериорные решающие правила построенной таким образом одноэтапной стохастической задачи. [c.261]
Функции веса адаптивных фильтров представляют собой априорные или апостериорные динамические решающие правила, зависящие от статистических характеристик случайных функций TI(/) и. (f), устанавливаемых и уточняемых в процессе слежения за ними. [c.311]
Хотя правило выглядит очень простым, применить его на практике оказывается трудно, так как бывают неизвестны апостериорные вероятности (или даже значения упрощенных решающих функций). Их значения можно оценить. В силу теоремы Байеса апостериорные вероятности можно выразить через априорные вероятности и функции плотности по формуле Р С, Iх = Р С, (Р(х I С, / Р Су Р хI С , , [c.47]
Теорема Ляпунова существенно, используется при построении апостериорных решающих правил. Из теоремы Ляпунова следует теорема Кастена 153], с помощью [c.21]
Задача стохастического управления рассматривается как одноэтап-ная задача стохастического программирования, если описываемая моделью ситуация требует выбора закона управления для всей траектории системы (/ = 0, 1,. .., s—1) в один прием и коррекции по ходу управления в процессе накопления информации не допускаются. Априорные решающие правила определяют закон управления, зависящий только от детерминированных параметров и статистических характеристик случайных параметров условий задачи. Закон управления, определяемый апостериорными решающими правилами, зависит, кроме того, от реализации случайных исходных данных. Закон управления, соответствующий решающим распределениям, представляет собой случайный механизм формирования решения со статистическими характеристиками, зависящими (при апостериорных решающих распределениях) или не зависящими (при априорных решающих распределениях) от реализации случайных параметров условий задачи. Механизм управления, отвечающий решающим распределениям, может при одних и тех же реализациях исходных данных приводить к различным траекториям управления и, [c.45]
В соответствии с формулами (5.4), (5.6), (5.8), (5J10) оптимальные апостериорные решающие правила многоэтапной стохастической задачи (5.1) — (5.2) определяются соотношениями [c.233]