Случайные величины, случайные векторы [c.509]
От моделей сглаживания и экстраполяции скалярных случайных функций нетрудно перейти к моделям фильтрации и прогноза систем случайных функций — случайных вектор-функций. Следующий этап обобщения задач фильтрации и прогноза — это задача сглаживания и упреждения случайных полей. В таких задачах в каждый момент времени наблюдается ие реализация случайной величины, а проявление случайной многопараметрической ситуации. Учет пространственной корреляции облегчает фильтрацию случайных помех и повышает достоверность прогноза. [c.43]
Будем рассматривать только задачи, в которых г распределена нормально. К ним относятся, в частности, задачи вида (1.16) — (1.18), у которых компоненты Ьг вектора b образуют систему нормально распределенных случайных величин, а вектор с детерминирован. Легко видеть, что [c.87]
Лемма. Пусть (X, У) - гауссовская пара случайных величин с вектором средних значений (цх, цу) матрицей ковариаций ( "х> Рх . Тогда [c.487]
Стохастическое описание. Такая форма описания используется, в тех случаях, когда факторам неопределенности z = (zi,z2,...) можно приписать вероятностный, случайный характер. Случайные факторы z формализованы, если задана их плотность вероятности. Наиболее подробно исследован в научно-технической литературе случай нормального распределения a(z)e yV(M(z),D(z)), которое полностью определяется вектором математического ожидания A/(z) и ковариационной матрицей D(Z). Некоторые специалисты рассматривают ситуацию, когда известна плотность вероятности, как детерминированную, ввиду того, что плотность вероятности является исчерпывающей характеристикой случайных величин. [c.46]
Упорядоченный набор Х (Х, Х ,..., Х ) случайных величин называется многомерной (n-мерной) случайной величиной (или системой случайных величин, n-мерным вектором). [c.36]
Нормальный закон распределения n-мерной случайной величины (n-мерного случайного вектора) X = (Х, Х ,..., Х ) характеризуется параметрами, задаваемыми вектором средних а = (a, ai,...,a и ковариационной матрицей X = (°у )пхп гДе < = M[(Xt - a, )(Xj - а,)]. [c.40]
Обозначим через А5=(А5 1, А52,.. ., Д5 ) вектор, в котором компонента ASj задает величину случайного отклонения /-го ресурса от запланированной его величины Sj, причем такое отклонение состоит в недопоставке ресурса. Недопоставке AS отвечает недовыпуск продукции АР каждым Av. [c.26]
В постановке (3.74)-(3.79) искомыми (оптимизируемыми) величинами в подзадачах (3.75) — (3.79) являются компоненты векторов -/Г,, и К — случайные величины a iv и . При формировании подзадач эти величины в ограничениях вида (3.77), (3.78) оказываются только в правой части, что обеспечивает линейный вид их детерминированных аналогов. При линейном виде функции H(aiv), описывающей параметрические связи, в соответствии с рассмотренными в [47] случаями детерминированный аналог задачи (3.74) —(3.79), в отличие от (3.73), после соответствующих преобразований может быть представлен в виде задачи обобщенного линейного программирования, решение которого осуществляется на базе известного алгоритма [16]. [c.72]
Пусть в этой двойственной задаче t-ro этапа планового периода элементы матрицы А (и ) и составляющие вектора 6f( of) являются независимыми друг от друга нормально распределенными случайными величинами [c.82]
Задаваемые построчные вероятности (уровни надежности) для каждого вида сырьевого ресурса и продукта определяются дифференциально, на основе экспертных оценок, или в зависимости от дисперсии рассматриваемых случайных величин. При этом в соответствии с [43] по тем продуктам, для которых невыполнение вероятностного ограничения вызывает большие потери или дополнительные расходы, уровень надежности задан большим. Как показали проведенные исследования, в соответствии с практическими требованиями оказывается целесообразным уровень надежности для случайных технологических коэффициентов выбирать в зависимости от дисперсии, а для случайных компонентов вектора ограничений — в ряде случаев на базе рекомендаций экспертов-технологов, работников планового отдела предприятия (так как ограничения на объемы переработки сырья, полу продуктов и вы пуск товарных продуктов определяются также вышестоящими органами и подвергаются неоднократным изменениям на этапе составления и реализации плана). При практических расчетах задаваемые вероятности изменяются от 0,75 до 0,96. [c.173]
Предсказуемость случайного вектора Y, обеспечиваемое знанием другой случайной величины X. дается кросс-энтропией [c.142]
Характеристика X является случайной величиной. Если опыты (наблюдения) производились в одинаковых условиях и независимо друг от друга, то выборку (х , х2,..., хп) можно рассматривать как п-мерный случайный вектор, где величины х независимы, и каждая из них распределена так же, как и случайная величина X в генеральной совокупности. В этом случае можно сказать, что выборка (х,, х2,...,хп) взята из генеральной совокупности случайной величины Хс теоретической функцией распределения F(x). [c.37]
Для описания неопределенности аварийных рисков применяют различные способы математического моделирования теории вероятностей, лингвистических переменных и нечетких множеств, интервальной математики и статистики, теории игр и т. п. Предположим, что в принятой математической модели неопределенность носит вероятностный характер, а потери описываются одномерной случайной величиной (а не случайным вектором или процессом), т.е. ущерб адекватно описывается одним числом, величина которого зависит от случая. [c.275]
Аналогично, функция распределения F вектора (a i,. . . , жп), составленного из вещественных случайных величин, определяется как [c.307]
Доказательство. Симметричность очевидна. Для того чтобы доказать неотрицательную определенность var(x), определим вещественную случайную величину у = а (х — Еж), где а есть произвольный п х 1 вектор. Тогда [c.310]
Понятие независимости естественным образом обобщается на случай трех и более случайных величин (векторов). [c.314]
Чтобы решить задачу точечного оценивания, надо найти функцию от наблюдений, которая (в каком-нибудь смысле) наилучшим образом приближала бы параметры рассматриваемой генеральной совокупности. Функция от гипотетических наблюдений, которая используется для приближения (вектора) параметров, называется оценкой. Таким образом, оценка — это случайная величина. Реализовавшееся значение оценки, т.е. то значение, которое получается при подстановке конкретных значений наблюдений, также называется оценкой. [c.318]
Известно большое число экономических, технических и военных задач, постановки которых укладываются в схему (1.1) —, (1.3). Запись (1.1) — i(1.3), вполне определенная при детерминированных значениях параметров условий задачи, теряет определенность и требует дополнительных разъяснений при случайных значениях параметров исходной информации. Между тем во многих прикладных задачах коэффициенты целевой функции, элементы матрицы условий или составляющие вектора ограничений — случайные величины. Естественный, на первый взгляд, путь анализа стохастических задач — замена случайных параметров их средними значениями и вычисление оптимальных планов полученных таким образом детерминированных задач — не всегда оправдан. При усреднении параметров условий задачи может быть нарушена адекватность модели изучаемому явлению. Решение детерминированной задачи с усредненными параметрами может не удовлетворять условиям задачи при различных реализациях элементов матрицы условий и вектора ограничений. [c.8]
Случайной функцией называется семейство случайных величин, зависящее от одного или нескольких параметров. Конечное семейство определяет случайный вектор, [c.19]
Пусть х= Xj — система п случайных величин с ограниченными дисперсиями и ограниченными математическими ожиданиями. Обозначим через Htn определяемое. случайным вектором х гильбертово пространство. Скалярное произведение в Н п [c.20]
Чтобы гарантировать существование M( hX)z, й=0,, 1,. .., s следует потребовать, чтобы компоненты случайных векторов съ. были почти наверное ограниченными величинами. Содержательные постановки многих задач стохастического программирования не требуют ограниченных дисперсий случайных параметров условий и компонент решения. При постановке и анализе таких задач естественно не ограничиваться рамками гильбертова пространства. Параметры условий и составляющие плана могут быть элементами более широких функциональных пространств. Выбор вероятностного пространства, среди элементов которого определяются решения задачи, — важный этап построения модели стохастического программирования, отвечающей изучаемому явлению. [c.20]
Откажемся теперь от требования детерминированности матрицы А. Пусть элементы матрицы Л и составляющие вектора b — независимые между собой нормально распределенные случайные величины. [c.66]
В случае, когда составляющие bi вектора b — независимые случайные величины, [c.71]
Пусть Fix(t) — безусловная функция распределения случайной величины fi(x) для заданного х, а Fx(t, . . . , tm) — совместная функция распределения системы случайных величин fi(x) — компонент вектора (х) при заданном х [c.74]
Обозначим через g(x) = gi(x),..., gm(x) детерминированный вектор, область изменения составляющих которого для каждого х ограничивается диапазоном изменения соответствующей случайной величины Ых) [c.74]
Пусть элементы матрицы А и векторов b, di, dz — случайные величины. Обозначим их математические ожидания соответственно через А, Ъ, di и d,2. [c.81]
Предполагается, что случайная величина L( o), все компоненты случайных векторов с(<в) и Ь( ) и элементы случайной матрицы А (со) неотрицательны почти при всех ш. Тогда с вероятностью 1 множество G f G%= 0 (точка х(со)=0 всегда принадлежит GI и G, ). Пусть, кроме того, [c.104]
Пусть теперь элементы ац матрицы Л и составляющие j вектора — случайные величины. Предположим, что первые и вторые (корреляционные) моменты параметров условий заданы пли могут быть определены на предварительном этапе анализа задачи. < [c.109]
Здесь dh и gh (i = 0, 1,. . ., s) — случайные n-мерные векторы, bh — заданные детерминированные величины. Решение задачи определяется среди случайных -мерных векторов x .Hni. Будем под dh и gh понимать n-мерные векторы-столбцы, а под d и g — соответствующие векторы- [c.116]
Пусть компоненты случайных векторов dh и gh(k = Q, 1,. . ., s), определяющих условия. задачи (8.1) — (8.2), — ограниченные почти всюду случайные величины. [c.116]
Заметим, что для любого множества начальных ожиданий рыночная равновесная цепа является суммой двух нормально распределенных случайных величин. Коэффициенты в этой линейной функции являются, в свою очередь, функциями коэффициентов в правилах прогнозирования трейдеров, задаваемых уравнением (-1.2) (/3 — вектор коэффициентов). В этой экономике наблюдаемыми (ex ante или ex post) величинами являются случайные величины d, Р к fl — все нормально распределенные со следующей ковариационной матрицей [c.133]
Пусть далее точное число Л/ объектов в области поиска заранее неизвестно. Предполагается известной лишь производящая функций- соответствующей случайной величины Ц, (z)= 2Lp(N= )i.. Каждый из объектов поиска характеризуется своим 1 —мерным вектором значений параметров X = (X , .,.Х . Априорная информация о, значениях параметров каждого из объектов задается t —мерной плотностью распределения . / °(л L) X Lez j 7 < R г (I - J, < ,.,. N). Пару V/o (2.) ffaj будем называть априорным состоянием природы. [c.79]
Здесь ац и я,у (о>) - соответственно, детерминированный и случайный коэффициенты матрицы условий bjubi(u>) -детерминированная испуганная компоненты вектора ограничений шел - случайный параметр 5",- и в",у - математическое ожидание случайных величин и,- (и>) и а,у (о>) у/ - вероятность выполнения г -го условия Ф"1 (7г-) - обратная функция нормального распределения о - - дисперсия случайной величины в,у (и ) f - дисперсия случайной величины 1ц (ш) лу — интенсивность /-го способа производства. [c.18]
Полезность такого рассмотрения заключается в том, что каждый из двух основных типов моделей текущего планирования выпуска товарной продукции в свою очередь может быть интерпретирован как следствие стохастического варианта 1) если случайные величины a%r, bfyr, s r, wn, qi — независимо, точечно распределенные, то модель (2.48)— (2.52) представляет собой детерминированную, т. е. приходим к первому (аппроксимационному) типу модели 2) если вектор в принять непрерывно изменяющимся в некотором заданном интервале, то придем к модели с переменными параметрами. [c.47]
В зависимости от содержания и сферы приложения задачи решение (план) представляет собой детерминированный или случайный вектор. Существуют ситуации, когда необходимо обеспечить удовлетворение ограничений при всех реализациях случайных параметров. В этом случае возникают жесткие постановки задачи стохастического программирования. Дифференцированная оценка областей определения, имеющих различные вероятности реализации, установление штрафов на величину невязок приводят к более реалистичным нежестким постановкам. [c.53]
Основное преимущество постановки (3.74) -(3.79) заключается в том, что в главной задаче (3.74) случайным является только вектор ограничений о= Ьг- , а варьируемые векторы условий фиксированы на некотором номинальном уровне R° и R . При этих условиях и нормальном распределении случайных величин ЬДсо) детерминированный аналог главной задачи (3.74), построенный по аналогии с рассмотренным в [47] случаем, будет иметь линейный вид. [c.72]
Если генеральная совокупность 7Vобладает -мерным признаком (Z=l, 2,...,l,...,p), гдеХрД ,..., ,..., — случайные величины, то статистический ряд будет состоять при выборке и из л векторов [c.43]
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ [sequen e] — "функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами 1,2,..., п"57. [c.269]
Рассмотрим независимые случайные величины (векторы) a i,.. . , жп, каждая из которых имеет одну и ту же плотность f(x). Тогда мы будем говорить, что a i,.. . , хп независимы и одинаково распределены (independent identi ally distributed (i.i.d.)) или, другими словами, что они составляют (случайную) выборку (размера п) из распределения с плотностью f(x). [c.314]
В настоящей главе изучаются некоторые оптимизационные проблемы, которые встречаются в психометрике. Большинство этих задач связано со структурой собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы. Теоремы, встречающиеся в данной главе, можно разделить на четыре категории. Параграфы 2-7 имеют дело с методом главных компонент. Здесь применяется линейное ортогональное преобразование к р случайным величинам х, . . . , хр так, чтобы в результате получились новые переменные vi,. . . , vp, некоррелированные между собой. Первая главная компонента vi и есть нормированная линейная комбинация переменных из ж с максимальной дисперсией, вторая главная компонента v — нормированная линейная комбинация, имеющая максимальную дисперсию из комбинаций некоррелированных с v и т. д. Можно надеяться, что первые несколько компонент вносят основной вклад в разброс переменных х. На метод главных компонент можно взглянуть и по-другому предположим, что известна ковариационная матрица ж, скажем 7, и попытаемся приблизить ее другой неотрицательно определенной матрицей меньшего ранга. Если же 1 не известна, то воспользуемся оценкой S для Л, построенной по выборке из ж, и будем приближать S. [c.442]
Смотреть страницы где упоминается термин Случайные величины, случайные векторы
: [c.302] [c.29] [c.72] [c.90] [c.320] [c.18] [c.77] [c.143]Смотреть главы в:
Эконометрика начальный курс -> Случайные величины, случайные векторы