При контакте двух подсистем с отличными друг от друга значениями интенсивных переменных и и и возникают потоки вещества, энергии, ресурсов, величина которых зависит от различия и и и . Эти потоки меняют значения экстенсивных переменных каждой из подсистем. Они равны нулю при равенстве векторов интенсивных переменных контактирующих подсистем. [c.9]
При рассмотрении химического равновесия те же соображения о максимуме суммарной энтропии при заданном суммарном количестве каждого из компонентов в системе приводят к условию равенства производных энтропии каждой из подсистем по числу молей в ней г -го вещества, т.е. к равенству векторов химических потенциалов //г-. [c.27]
Анализ модели спроса. Проанализируем исходную модель спроса (6.3), состоящую в выборе вектора у, доставляющего максимум функции предпочтения при выполнении ограничений (6.1) и (6.2). При выполнении (6.7) неравенство (6.2) можно заменить равенством (деньги тратятся полностью). Модель приобретает вид [c.119]
Условием перпендикулярности пары векторов является равенство нулю их скалярного произведения (11.27) [c.77]
РМ 2 = PN2 + NM , где вертикальными чертами отмечены длины векторов. Это равенство соответствует разложению (3.41) общей суммы Q квадратов отклонений зависимой переменной Y от средней у на сумму квадратов Qg, обусловленную регрессией, и остаточную сумму квадратов Qe, т. e. Q=QR+Qe- Поэтому коэффициент детерминации Л2, определяемый по (3.47), примет вид [c.78]
Вектор цен с = с- дополняется базисными ценами, искусственным переменным устанавливаются отрицательные цены 1с + (-1 >с-(тах), а дополнительным переменным - нулевые цены. Установление для искусственных переменных цен, превышающих по абсолютной величине максимальную из цен линейной формы, обеспечивает, в случае совместимости системы ограничений, вывод из базиса всех искусственных переменных. Дополнительные переменные могут остаться в базисе (в этом случае они являются переменными, дополняющими неравенства вида < до равенства). [c.32]
Для обеспечения совместности системы (6.52) необходимо, чтобы вектор Ъ лежал внутри этого конуса либо принадлежал одной из его граней (в этом случае система (6.52) выполняется как система равенств). Тогда, если начинать генерацию векторов Ъ вокруг вектора, лежащего на грани Р, то число векторов, лежащих вне конуса и не обеспечивающих, соответственно, совместности, будет больше числа векторов, лежащих внутри него. [c.206]
Равенство P(Y) = f(Pf(X)) естественным образом связывает множество парето-оптимальных решений и парето-оптимальных векторов. В соответствии с ним, зная множество парето-оптимальных решений, можно найти соответствующее множество парето-оптимальных векторов. Справедливо и, в определенном смысле обратное, утверждение. А именно, располагая множеством парето-оптимальных векторов Р(Y) по формуле Pf(X) = f l(P (У)), где в правой части равенства записан прообраз множества Р У), можно пытаться строить соответствующее множество парето-оптимальных решений. Таким образом, в идейном отношении эти два множества полностью определяют друг друга, хотя попытка построение одного из них на основе второго может натолкнуться на определенные вычислительные трудности (в большей степени это относится к построению множества парето-оптимальных решений). [c.38]
Сравнивая равенство (1.6) с аналогичным равенством из определения множества недоминируемых векторов, приведенным в разд. 1.3, нетрудно обнаружить их полное совпадение (не считая отношений >х и >) На основании этого совпадения множество парето-оптимальных векторов можно рассматривать как множество недоминируемых по отношению > элементов множества У. [c.38]
Следует отметить, что замкнутое полупространство не является острым конусом, поскольку вместе с ненулевым вектором х, удовлетворяющим равенству (с, х) = 0, содержит и вектор -х, так как умножение указанного равенства на -1 не нарушает его выполнение. [c.53]
А Обозначим через К острый выпуклый конус (без нуля) конусного отношения предпочтения >. По условию доказываемой теоремы и в соответствии с определением 2.4 для вектора у, определяемого равенствами (2.4), выполнено соотношение у > 0т. Это соотношение равносильно включению у 6 К. Таком образом вектор у принадлежит конусу К, определяющему конусное отношение предпочтения у. [c.60]
Поскольку трехмерный конус М имеет четыре двумерные грани, то двойственный конус С порождается четырьмя векторами е е2, я3, а4, а значит, новый векторный критерий g в данном случае будет содержать четыре компоненты. Действительно, как утверждает теорема 3.5, выполняется равенство р = 3 - 1 + 21 =4. [c.92]
А В самом деле, если указанное равенство имеет место, то для векторов у и у вида [c.97]
Пусть 5 0. Вектор — и1 имеет хотя бы одну положительную компоненту и поэтому вектор -у. (и1 - vl), записанный в правой части равенства (4.16) и имеющий по крайней мере одну отрицательную компоненту, невозможно представить в виде неотрицательной линейной комбинации единичных векторов , е2,. .., е". Следовательно, равенство (4.16) вновь невозможно, а значит система (4.15) не имеет ни одного ненулевого неотрицательного решения. [c.115]
Следствие 4.3. Набор пар векторов (4.12) является непротиворечивым, если он удовлетворяет следующим условиям у каждого вектора us - Vs все компоненты, номера которых принадлежат множеству A s, A s с I, положительны, все компоненты, номера которых принадлежат множеству Bs, Bs с /, отрицательны, а все остальные компоненты равны нулю, s = 1,2,. .., к, причем для любой пары различных номеров i,j 1,2,. .., к выполняется равенство А/ П Bj = 0. [c.116]
А Как обычно, пусть К означает острый выпуклый конус (без нуля) конусного отношения предпочтения >-. Наличие имеющейся в условиях теоремы информации об относительной важности критериев означает выполнение включения у " е К для каждого р = 1,2,..., /, где у m-мерного вектора у " все компоненты равны нулю, кроме уй и к-й, которые определяются равенствами у. " = 1 - 0,-1 и у, = -6, к. [c.120]
Из последнего уравнения благодаря неотрицательности чисел А3, Ць Ц2 следует их равенство нулю А3 = Hi = Ц2 = 0. В таком случае из первого и второго уравнений получаем А, = А2 = 0. Следовательно, рассматриваемая система линейных уравнений не имеет ненулевых неотрицательных решений. Согласно теореме 4.7 это означает совместность двух пар векторов и1, vl, и2, v2. [c.128]
Опишем в общем виде метод целевого программирования. Пусть имеется набор критериев/ь/>,. ..,fm, каждый из которых желательно максимизировать на множестве возможных решений X. В соответствии с методологией целевого программирования будем считать, что в критериальном пространстве R" задано непустое множество U, которое обычно называют множеством идеальных наилучших или утопических) векторов. При этом обычно считается, что это множество не достижимо, т. е. имеет место равенство С/ П У = 0, где У означает множество возможных векторов. Кроме того, на критериальном пространстве должна быть задана метрика, т. е. такая числовая функция р = р (у, г), которая каждой паре векторов у, z критериального пространства Rm сопоставляет неотрицательное число, называемое расстоянием между векторами у и z. Метрика для всех векторов w, у, z должна удовлетворять следующим аксиомам [c.163]
Лемма 1.1. Для любых двух векторов-столбцов х и у из R" и любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство [c.263]
Поскольку р > 0, вектор у не может быть неотрицательным. Действительно, если у > 0, то все слагаемые в левой части (1.4) неотрицательны и, по крайней мере, одно слагаемое положительно (напомним, что у — собственный вектор, поэтому уФО), что противоречит равенству нулю всей суммы. Таким образом, мы доказали, что все неотрицательные собственные векторы положительны и принадлежат только максимальному по модулю собственному значению. [c.264]
Отсюда следует, что либо 1 = 0, либо z — неотрицательный собственный вектор матрицы А. Если z О, то г > 0, что противоречит равенству [c.265]
Если можно подобрать такие не равные нулю числа а и Р, что аа + Р6 = 0, то векторы а и b называются линейно зависимыми. Причина этого ясна с помощью полученного равенства можно выразить, напр., вектор а через вектор Ь. Это значит, что а зависит от Ъ. Можно обобщить это определение и на произвольное число векторов если существуют такие отличные от нуля числа а,,..., а N, что Хая, = 0, то векторы называются линейно зависимыми, если же такая система чисел отсутствует, то линейно независимыми. [c.169]
Оптимизационная задача в общем виде может быть сформулирована следующим образом найти такие значения вектора Y = (у,,у2 ---гУ )i чтобы для некоторого критерия K(X,Y)выполнилось равенство [c.28]
Покажите, что векторы-столбцы матрицы Н имеют единичную длину и попарно ортогональны. Убедитесь, что выполняется равенство det Н = I. [c.59]
Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остается после того, как обеспечены потребности производящих секторов. Если обозначить вектор выпуска через X, вектор спроса (вектор конечного продукта) — через Y, а структурную матрицу экономики — матрицу, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат а-,- , — через А, то соотношения баланса в матричной форме будут иметь вид [c.72]
В матричной записи это означает, что имеет место равенство АХ = X, где А — структурная матрица международной торговли, а X — вектор национальных доходов. [c.85]
Постановка обратной проблемы цунами и ее сведение к задаче оптимального управления. Для формального описания акватории океана, не ограниченной береговой линией, поступим следующим образом. Введем в рассмотрение декартову систему координат si, 52, z , считая si, 52 — горизонтальными, a z — вертикальной (направленной вверх) пространственными переменными. Уровень невозмущенной поверхности воды зафиксируем равенством z = О, а профиль дна определим соотношением z = —h(s), s = — ( si, 52), в котором функция h (s) > 0 строится по известным данным батиметрии. Далее будем считать, что, начиная с момента времени t = to, действует подвижка дна 7 (s, t), 7 (s, t) < h (s , 7 (Л о) = О, деформирующая профиль дна по правилу z = —h (s)— 7 (s, t]. Пусть r] (s, t) — профиль свободной поверхности воды, в (s, t) и uj (s, t] — составляющие вектора массовых скоростей по направлениям 5i и 52, соответственно, g — коэффициент ускорения свободного падения. Тогда, как известно из работ [Стокер, 1959 Марчук и др., 1983], процесс возбуждения и распространения длинных волн может быть описан в рамках гидродинамической модели мелкой воды , линейный вариант которой имеет следующий вид [c.329]
Проверим наш исходный план с помощью критериального вектора. As находится из равенства AsAs = 1 [c.75]
Рассмотрим случай, когда в дополнение к неравенству у[ > у" имеет место обратное неравенство y s < у" для некоторого (или некоторых) s e 2,. .., т]. Введем в рассмотрение вектор у, у которого ух = у , для всех указанных номеров j выполнено равенство ys = y s -1, а все остальные компоненты имеют вид ук = у 1 -1. Очевидно, справедливо неравенство у1 > у. Следовательно, согласно аксиоме Парето верно соотношение у у у. У вектора у только первая компонента больше первой компоненты вектора у", а все остальные — меньше соответствующих компонент у". Поэтому благодаря тому, что первый критерий несравнимо важнее набора всех остальных критериев, получаем у у у ". В силу транзитивности отношения >- из соотношений у ууиууу" приходим к требуемому результату у >- у". [c.82]
Если аналогичным образом интерпретировать равенство 0i2 + e2i = 1, то в этом случае концы градиентов новых векторов с и с должны совместиться и двухкритериальная задача превратится в однокритериальную. Как утверждает теорема 4.1, этого быть не должно. Тем более, концы векторов с и с2 не могут перемещаться в указанных направлениях еще дальше (что соответствует случаю 912 + 82] > 1). [c.97]
Векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Равенство В. — компонентное, т. е. два В. равны, если равны их соответствующие компоненты. Вектор 0 — (0,. .., 0) нулевой и-мерный В. — положительный (х > 0), если все его компоненты х больше нуля, неотрицательный (х > 0), если все его компоненты х. больше 0 или равны нулю, т. е. х. > 0 и полуположительный, если при этом хотя бы одна компонента х > 0 (обозначение х > 0) если В. имеют равное количество компонент, возможно их упорядочение (полное или частичное), т. е. введение на множестве векторов бинарного отношения ">" х > у, х > у, х > у в зависимости от того, положительна, полуположительна или неотрицательна разность х - у. [c.42]
Вычисления с использованием описанных функций выполняются стандартным для Math ad способом. Чтобы обратиться к функции, введите с клавиатуры имя функции, перечислите в скобках ее аргументы, введите знак равенства и щелкните по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки. Результат вычислений (число, вектор, матрица) будет отображен в рабочем документе справа от знака равенства. Если предполагается использовать результаты в дальнейших вычислениях, им следует присвоить имя. Для этого введите с клавиатуры имя переменной и знак присваивания, а справа от него — имя функции со списком аргументов в круглых скобках. Если теперь ввести с клавиатуры имя переменной, знак равенства и щелкнуть по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки, то результат вычислений будет отображен справа от знака равенства. Имя функции можно вставить из [c.52]