Это уравнение определено на невозмущенной траектории (и ( ), ( ) здесь и в дальнейшем приняты обозначения типа / [<] = ==fs[x(t), u(t)], / [ ] = / И ). "(0]. Г 8ж = 0— символическая запись краевых условий для Ьх они получаются простым варьированием краевых условий Г (х) = 0 ). Заметим, что можно было бы использовать уравнение в вариациях в форме [c.30]
В" функции Y (I) допустимы особенности типа 8-функции. Это связано с тем, что 8ж( ) есть решение уравнения в вариациях и является непрерывной функцией. Поэтому интеграл типа [c.31]
Функция y(t) непрерывна, ограничена и имеет ограниченную производную, так как является решением линейного уравнения в вариациях. Пусть t s — ближайшая к ta точка М, k.s = te — , [c.37]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию < >, найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например, методом градиента в функциональном пространстве) мы будем в этом случав [c.54]
Теорема i. Если управление u(t) возмущено на множестве М малой меры р., то соответствующее возмущение фазовой траектории системы имеет оценку 8ж( ) = 0(ц) при всех t и удовлетворяет уравнению в вариациях [c.56]
Этим и заканчивается доказательство первого утверждения теоремы. Что касается уравнения в вариациях для Во (t) = х (t) — х (t), то оно получается просто вычитая уравнение для х из уравнения для х, производя в /(ж, и ) замену ж = х - - Ьх, и разлагая в ряд по , получим [c.57]
Последнее слагаемое имеет величину О (fi) на М и равно нулю вне М мы включим его формально в О (ji2), имея в виду следующее решение уравнения в вариациях [c.58]
Дальнейшее исключение bx(t) при помощи уравнения в вариациях основано на стандартном приеме определив ф ( ), как решение кра- [c.58]
Уравнение в вариациях имеет очевидную форму [c.62]
Пусть траектория x (t) пересекает поверхность разрыва в момент t R [x (t )] = 0. Уравнение в вариациях для 8ж (t) имеет вид [c.70]
Уравнение в вариациях, определяющее [c.73]
Используя уравнение в вариациях, получим [c.74]
Здесь Ьх (t) — вариация фазовой траектории, являющаяся следствием вариации управления Ьи ( ) связь между ними дает уравнение в вариациях [c.80]
Уравнение в вариациях, получаемое прямым варьированием уравнения (1 ) его можно записать в форме [c.98]
Нужно иметь в виду, что Ъх(1) определяется уравнением в вариациях через 8в( ) (при 8Х, однозначно определенном через 8в( ) формулой (8)) не однозначно, но с точностью до слагаемого, пропорционального x(t). Избавимся и здесь от неопределенности, наложив на Ъх условие [c.100]
L(u, v, r)x = Q(u, v, г)х Тх = 0. Уравнение в вариациях имеет вид [c.101]
Здесь для Ьх и ф приняты условия Г8а =0, Г ф=0 и для Sr и ф0 сопряженные условия Sr(0)=0, ф (1)=0. Заменяя (L — Q) правой частью уравнения в вариациях, а 8г=8у, получим [c.101]
Уравнение в вариациях получается следующим образом. Пусть x(tr, t2) — решение краевой задачи (1) в области D[u(- ], определяемой невозмущенным управлением и( ). [c.103]
Это и есть уравнение в вариациях, вывод которого был бы существенно проще, если бы форма области не менялась при вариации управления . [c.105]
Для 8 , 8т) имеем уравнения в вариациях [c.106]
Задача (29 ), (30 ), (32) может быть решена тем или иным способом. В работах, развивающих этот подход, выписывается необходимое условие экстремума (предполагается при этом, что невязки х — / It] и х (0) — Х0, х (Т) — Х пренебрежимо малы в соответствии с (31), поэтому соответствующие члены просто игнорируются). Это необходимое условие, как известно, имеет форму краевой задачи для системы 2га (п — размерность х) обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнению в вариациях (30 ) с 2га краевыми условиями добавляется еще сопряженная система [c.150]
После того как получена траектория, удовлетворяющая условию (31), начинается процесс минимизации 0, в ходе которого постепенно накапливаются невязки в уравнении ж=/. Как только условие (31) оказывается нарушенным, снова решается задача (34), (35), но теперь уже, как правило, достаточно однократного вычисления поправок (8ц( ), bx(t) , и задача (36) не решается, а сразу берется исправленная траектория (и ( )- -Ъи (t), x ( ) + 4-йж (t) . В наших расчетах процесс минимизации F0 объединен с процессом погашения невязок. Это можно сделать и в данном алгоритме, если при решении задачи (29 ), (30 ) не игнорировать правой части уравнения в вариациях (30 ). Существенного значения для эффективности процесса решения вариационной задачи эта деталь, видимо, не имеет. [c.152]
Принципиальное отличие этого функционала от функционала (1) уже обсуждалось в 4. Возможность с достаточной точностью аппроксимировать вариацию функционала (1) выражением (7) с небольшим числом k связана с гладкостью функции 8ж (f), являющейся решением дифференциального уравнения в вариациях следствием этого является и гладкость функции Фх [х (t)]bx (t), значения которой в окрестностях точек аппроксимации, грубо говоря, меняются при вариации управления в ту же сторону, в какую они меняются в точках аппроксимации. Поэтому, учитывая 8Ф при построении 8ц ( ) только в точках аппроксимации, мы в известной мере учитываем 8Ф всюду, где Ф [х (г)] тах Ф [х (t)], Для функционала (2) это уже не так, Ьи (f) — измеримая функция, ее значения в близких точках t, t" никак не связаны между собой, и аппроксимация типа (7) — неэффективна. Разумеется, она будет эффективна, если разместить по точке аппроксимации на каждом интервале счетной сетки (tn, tn+l), входящем в множество М. Однако в проводившихся автором расчетах число таких интервалов было 102, что уже приводит к задаче линейного программирования слишком тяжеловесной для того, чтобы решать ее на каждом шаге процесса построения минимизирующей последовательности управлений. Поэтому в расчетах использовался прием превращения компонент управления, явно входящих в функцию Ф [х, и], в фазовые координаты. Именно, полагаем [c.185]
Уравнение в вариациях определяет связь между Ьх (t) и 8м ( ), однако в теории второго порядка оно имеет такую форму [c.202]
Теперь, используя уравнение в вариациях (5), следует в выражении (6) исключить вариацию зависимого аргумента Ьх (t) через 8и ( ) и получить ЬР [Ъи ( )] в виде квадратичного функционала от ( ). Здесь мы также можем воспользоваться сделанным выше замечанием и в квадратичных членах использовать связь между Ьх (t) и Ьи ( ), следующую из линейной теории (5 ). Эта связь нам будет нужна и для вычислений, поэтому выпишем ее в явном виде [c.203]
Найти решение матричного уравнения в вариациях [c.203]
Уравнение в вариациях используется в линейной форме [c.206]
Разумеется, теперь нельзя говорить о методе второго порядка, однако можно привести соображения в пользу такого непоследовательного подхода ведь в окрестности минимума вырождается (обращается в нуль) линейная часть приращения ЬР0, поэтому естественно уточнить вычисления именно в этом месте ). Учитывая в условиях Ff—0, i=l, 2,.. ., m, лишь линейные по Ьи ( ) члены, мы будем получать невязки Ft [и (-)+8м (-)] 0 ( 8м 2), и их компенсация на следующей итерации потребует малой, порядка 8м а, части вариации управления. Труднее оправдать использование простейшей формы уравнения в вариациях при преобразовании линейной по Ьх (t) части вариации функционала Р0. Видимо, решающим аргументом здесь является относительная простота преобразования исходного выражения для ЪР0 (6). Выше мы убедились в том, что, используя линейную связь между Ьх (t) и 8м ( ), нетрудно довести выкладки до конца и преобразовать первоначальное выражение F0 (в виде квадратичной формы от о г ( ) и Su ( )) в квадратичную форму только от Ъи ( ). Попытка проделать ту же операцию, используя более точную форму уравнения в вариациях, хотя и не встретила принципиальных трудностей, однако привела к существенному усложнению всей процедуры, так что ее не так просто довести до конца даже на уровне формальных выкладок. [c.207]
Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора, дополнительно включенного в регрессионную модель. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться [c.130]
Задание функционала б W означает задание соответствующих коэффициентов при вариациях. Коэффициенты при вариациях могут быть указаны либо в функции координат, либо в функции определяющих функций, либо неявно при помощи дополнительных уравнений. В основу задания коэффициентов при вариациях можно положить связь функционала 6IV с некомпенсированным теплом и постулаты термодинамики необратимых процессов. В число замыкающих уравнений войдет уравнение второго начала термодинамики. [c.32]
На действительном процессе уравнение (3.155) переходит в уравнение баланса энтропии теплопроводного упругого тела (при к =ъ/Т2), поэтому его естественно считать записью в вариациях второго начала термодинамики. [c.66]
Используя (7.17) и равенство u/e ify Л = ри2, которое следует из (7.9), уравнения при вариациях Э и д% можно записать в виде [c.226]
Он характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненной с помощью данного уравнения. В качестве меры разброса зависимой переменной обычно используется ее дисперсия, а остаточная вариация может быть измерена как дисперсия отклонений вокруг линии регрессии. Если числитель и знаменатель вычитаемой из единицы дроби разделить на число наблюдений л, то получим, соответственно, выборочные оценки остаточной дисперсии и дисперсии зависимой переменной . Отношение остаточной и общей дисперсий представляет собой долю необъясненной дисперсии. Если же эту долю вычесть из единицы, то получим долю дисперсии зависимой переменной, объясненной с помощью регрессии. Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок дисперсии в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы тогда [c.313]
Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Метод вариации постоянных. Частное и общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. [c.16]
Теперь подберем ф специальным образом, как решение уравнения Л ф = - -- — — — t а из уравнения в вариациях (6) выразим ВяЬх=—КиЫ. Тогда [c.18]
Теперь, заменив Ъх — fjix на /яр]8в( ) (из уравнения в вариациях) и конкретизировав функцию ф( ) как решение краевой задачи [c.32]
Метод локальных вар наций и релаксационный метод. В [86 ] метод локальных вариаций был распространен на задачи минимизации функционалов от функций нескольких независимых переменных. Хорошо известно, что многие задачи математической физики (краевые задачи для уравнения Лапласа, для бигармонического уравнения и другие) могут быть сформулированы либо как задачи на минимум соответствующего функционала, либо как задачи с уравнениями в частных производных (эти уравнения — суть уравнения Эйлера для вариационной формулировки). Применительно к таким задачам метод локальных вариаций состоит из двух элементов. [c.134]
Корреляционная зависимость описывается уравнением, связывающим среднюю величину одного признака с другим и мерой её тесноты (коэфф. корреляции). Последняя показывает относит, долю в вариации зависимого признака той её части, к-рую можно отнести за счёт его связи с признаком-аргументом. Сама зависимость очень часто представляется в виде прямой линии (линейная корреляция). Пусть имеем по совокупности магазинов райпотребсоюзов признаки х — процент промтоваров в общем обороте и у — уровень издержек обращения (см. графы 1, 2, табл. 2). Допустив, что зависимость второго от первого может быть представлена как линейная, определяют параметры соответствующей линейной функции способом наименьших квадратов. Получим ух = 87—0,246 х. Если теперь определить средний квадрат отклонения от средней (общую дисперсию) заданных значений у, также теоретич. значений и средний квадрат отклонений одних от других ( остаточную дисперсию), то получим дисперсию эмпирич. значений D(y) = 61,5, выравненных D(yx) = 32,4 и остаточную, равную их разности — 29,1. [c.399]
В основе обобщений вариационного подхода на необратимые процессы по идее Л.И. Седова1 лежит некоторое базисное вариационное уравнение, которое представляет далеко идущее обобщение золотого правила" механики и связано с записью в вариациях начал термодинамики. [c.7]