Собственные числа матрицы ковариаций/1,, фигурировавшие в предыдущем разделе, являются квадратами дисперсий вдоль ее главных осей. Если между входами существует линейная зависимость, некоторые из этих собственных чисел стремятся к нулю. Таким образом, наличие малых Я,- свидетельствует о том, что реальная размерность входных данных объективно ниже, чем число входов. Можно задаться некоторым пороговым значением s и ограничиться лишь теми главными компонентами, которые имеют Л>еЛ. Тем самым, [c.134]
Собственные числа матрицы А являются корнями характеристического [c.24]
Пусть А есть квадратная матрица порядка п. Собственные значения (называемые также собственными числами) матрицы А определяются как корни характеристического уравнения [c.34]
Если обозначить D = У- /2Х W-1/, то в формуле (3.28) т]2 является вторым по величине собственным числом матрицы DD, а в (3.29) — вторым по величине собственным числом D D. Известно [102], что отличные от нуля собственные числа матриц DD и D D совпадают. Следовательно, совпадают и значения т)2. [c.136]
Диагональные элементы Л являются собственными числами матрицы А, следовательно, неотрицательны (см. выше). Тогда можно определить [c.501]
В (6.8) диагональными элементами являются собственные числа матрицы К, которые определяются из характеристического уравнения [c.84]
Полученное уравнение — это уравнение на собственные векторы квадратной матрицы. Использование единичной матрицы Е дает уравнение на собственные числа квадратной матрицы [c.408]
А-пих - наибольшее собственное значение (число) матрицы суждений, которое чаще всего вычисляется по следующему алгоритму сначала суммируется каждый столбец матрицы суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты, рассчитанного вектора приоритетов, сумма второго столбца на вторую и т.д. затем полученные числа суммируются и получается зна- [c.254]
С помощью стандартной алгебраической процедуры [102, гл. 5] можно исключить из матрицы R = V-1/2 X W- XV-1/2 собственное число rj2 — 1. Для этого R достаточно заменить на [c.136]
Собственные векторы Ut (i = 1,р) матрицы S являются и собственными векторами матрицы S + kl с собственными числами ii — hi + k. Следовательно, матрица (S + kl)-1 = [c.269]
В самом деле, так как 1 1 симметрична, то существует ортогональная матрица S, такая что fi"1 = S AS, где Л — диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные числа AJ, г = 1,..., п, матрицы 1 1. В силу положительной определенности 1 все они положительны, поэтому можно определить диагональную матрицу Л1 2, на главной диагонали которой стоят числа А/, г = 1,..., п. Теперь достаточно взять Р = Л S. Заметим, что представление (5.5) не единственно, но для наших рассуждений это несущественно. Умножим равенство (5.3) слева на Р и обозначим у = Ру, X = РХ, Е = Ре. Таким образом, [c.156]
Матрица E(W) (размера т х т) есть взвешенное среднее идемпотентных матриц, и, следовательно, ограничена все ее элементы по абсолютной величине не превосходят 1, а все диагональные элементы и собственные числа лежат в интервале [0, 1]. На самом деле выполняется следующее неравенство [c.409]
Предложение, У положительно определенной (неотрицательно определенной) матрицы А все собственные числа положительны (неотрицательны). [c.501]
В самом деле, пусть х — собственный вектор, соответствующий собственному числу А, т.е. Ах = Ах. Так как матрица положительно определена, то х Ах > 0. Но х Ах = х Ах = Ах х > О, следовательно, А > 0 (х х > 0, как скалярный квадрат ненулевого вектора). [c.501]
Предложение. Собственные числа идемпотентной матрицы могут принимать значения только 0 или 1. [c.502]
ЛА.5. Пусть А — п х п матрица А = (1 — а)1 + агг, где г — [1. .. 1] — п х 1 вектор. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы А. [c.507]
Функция анализа устойчивости модели (е). Функция позволяет произвести анализ устойчивости построенной когнитивной модели. Для этого необходимо 1) открыть для работы файл данных когнитивной модели 2) произвести расчет собственных чисел матрицы взаимосвязей вершин когнитивной модели 3) произвести отображение найденных собственных чисел на экране дисплея 4) сохранить найденные собственные числа в текстовый файл для последующей распечатки и анализа [c.222]
Ненулевой вектор х = (х, х2,. .., х )Т называется собственным вектором квадратной матрицы А порядка пхп, если Ах = Ах, где Я - некоторое число, называемое собственным значением матрицы. При этом говорят, что х есть собственный вектор матрицы А, принадлежащий ее собственному значению Л. [c.11]
А - половина множителя Лагранжа указанного ограничения) т.е. применение МНК сводится к поиску минимального собственного числа А ковариационной матрицы М [c.14]
Показать, что МНК в ортогональной регрессии сводится к поиску собственных чисел и векторов ковариационной матрицы. Почему остаточная дисперсия равна минимальному собственному числу этой матрицы [c.17]
Наиболее общее представление о движении активов, собственного и заемного капитала дает главная бухгалтерская книга (ГБК) и шахматный бухгалтерский баланс (ШББ), построенный на ее основе. В отличие от бухгалтерского баланса (форма № 1), направляемого в налоговые органы, ШББ в виде сводной матрицы в полной мере аккумулирует и объективно отражает хозяйственные операции за отчетный период. Несомненным преимуществом ШББ является тот факт, что все хозяйственные операции сгруппированы по однотипным бухгалтерским проводкам и представлены в виде квадратной матрицы. Число строк и соответственно столбцов в этой матрице одинаково, а ее размерность зависит от количества синтетических счетов, задействованных на предприятии. При этом движение по каждому счету характеризуется остатками на начало и конец отчетного периода, а также оборотами по дебету и кредиту данного счета. [c.47]
Прежде всего еще раз заметим, что если А — квадратная матрица, а АТ — транспонированная к ней матрица, то характеристические уравнения для А и Ат совпадают. Таким образом, собственные значения матрицы Ат — те же, что и для А. В частности, числа Фробениуса матриц А и Ат тоже совпадают. [c.265]
Если Аф1, то из (1.10) сдедует, что хп+ =0, в силу чего (1.9) примет вид Ах = Ах. Следовательно, Я — собственное значение матрицы А и, по нашему предположению, А < /. Таким образом Я = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор хА = (хА, хп+1), соответствующий Я = 1. Очевидно, что хп+1 Ф 0, так как в противном случае из (1.9) следовало бы, что Ах = х А это противоречит тому, что число Фробениуса Ял < 1. Поэтому мы можем считать, что хп+1 = 1 (очевидно, что век- [c.267]
Матрица А плохо обусловлена, если малые изменения ее элементов (например, округление) приводят к существенным изменениям элементов матрицы А". Число обусловленности матрицы and(A) - мера зависимости погрешностей вычисления А"1 от погрешности элементов А. Например, можно определить число обусловленности как модуль отношения наибольшего собственного значения матрицы к ее наименьшему собственному значению. [c.90]
При решении некоторых задач в линейной алгебре возникает задача определения собственных чисел и соответствующих им собственных функций, операторов с блочно-трехдиагональной матрицей L. Сложность задачи определяется, как правило, плохой обусловленностью матрицы, когда максимальное и минимальное собственные числа отличаются на несколько порядков. Для решения этой задачи используется метод обратной итерации. [c.161]
Третья часть является прикладным ядром книги. Она содержит правила работы с дифференциалами, список дифференциалов от важных скалярных, векторных и матричных функций (включая собственные числа, собственные векторы и обратные матрицы Мура—Пенроуза). Также приведены таблицы идентификации для матриц Гессе и Якоби. [c.16]
Теорема о неявной функции (приводимая в приложении к гл. 7) предполагает наличие окрестности N(X ) С Rnxn матрицы XQ, в которой функции А и и существуют и бесконечное число раз (непрерывно) дифференцируемы при условии, что АО — простое собственное значение матрицы XQ. Если же АО — кратное собственное значение Х0, то условия теоремы о неявной функции не выполняются. Это неудобство можно проиллюстрировать на следующем примере. Рассмотрим матричную функцию размера 2x2 [c.208]
Пусть AI, А2,. . . , Ап — собственные значения матрицы ZQ G Спхп и А — простое собственное значение. Тогда существует скалярная функция Л ), определенная в окрестности N(ZQ) С Спхп матрицы Z0, такая что X (ZQ) = i и A(i)(Z) — (простое) собственное значение Z для всех Z N(ZQ). Кроме того, А( ) дифференцируема бесконечное число раз на N(ZQ), и [c.215]
При практическом применении мнк-оценок исследователь часто сталкивается с явлением мультиколлинеарности, когда объясняющие переменные сильно коррелированы, т. е. существуют выраженные, хотя и неточные, линейные связи между несколькими или всеми объясняющими переменными. В этой ситуации точность обычных мнк-оценок резко падает ошибки некоторых параметров уравнения регрессии становятся очень большими, эти ошибки сильно скоррелированы, выборочные дисперсии резко возрастают. Резко сокращаются возможности интерпретации уравнения регрессии. Степень мультиколлинеарности измеряется либо обратной величиной минимального собственного числа нормированной (корреляционной) матрицы, либо числом обусловленности, равным отношению максимального собственного числа к минимальному. Если минимальное собственное число равно нулю, то степень мультиколлинеарности и число обусловленности являются бесконечно большими, и мы имеем дело с точной мультикол-линеарностью или вырожденной системой линейных уравнений. [c.297]
Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела алгебры далее мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный резу ч ьтат алгебры матриц- для симметрических матриц (1 2.3) все и соб ственных значений являются деиствнге [ьными числами. [c.26]
Пример 15. Найти собственные числа и обсшенные векторы матрицы [c.46]
В соответствии с теоремой Фробениуса-Перрона максимальное по модулю собственное значение АА неотрицательной квадратной матрицы А > О неотрицательно, а среди собственных векторов, принадлежащих ЛА, имеется неотрицательный вектор. В случае А > О все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению ЛА. Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора у и х отличаются лишь числовым множителем, т.е. у= ах. Максимальное по модулю собственное значение ЛА неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор - вектором Фробениуса для матрицы А. [c.11]