Наконец, если АО есть простое собственное значение вещественной симметрической матрицы XQ порядка n, a UQ — соответствующий собственный вектор, то существует дважды дифференцируемая собственная функция Л такая, что X(XQ) = АО (см. теорему 8.7). Дифференциал второго порядка в точке XQ находится по теореме 8.10, а именно [c.250]
Результаты, полученные в [9], позволяют при некоторых предположениях построить схему стохастической аппроксимации для решения более общей задачи — для вычисления безусловного минимума функции R(f(x)). Здесь f(x)= fi(x) , i = l,. .., г, по-прежнему вектор-функция векторного аргумента х, осуществляющая непрерывно-дифференцируемое отображение Rr на себя R(f) — скалярная функция. В задаче требуется вычислить вектор х, на котором достигается минимум R(f(x)) по наблюдениям систем случайных величин y(x)=f(x) + [c.375]
Здесь Я>( ) и У( )— вектор-функции размерности г и /г соответственно, определенные, вообще говоря, на невозмущенной траектории. Произведение г 8и есть, разумеется, скалярное произведение этой формой его записи мы будем пользоваться наряду с общепринятой (w, 8ц). Если для главной части приращения функционала может быть получена формула (6), он оказывается дифференцируемым. Правда, следует оговорить свойства функций Й( ), Y(t). [c.31]
Функция спроса. Будем считать, что потребитель выбирает набор, включающий п различных благ. Для набора благ будем использовать векторное обозначение X = (х x2,..., хп). Система предпочтений потребителя описывается функцией полезности и(Х), которую будем считать непрерывно дифференцируемой. Вектор Р = (р15 р2,..., рп) характеризует цены на рынках благ. Возможности выбора для потребителя ограничены величиной его дохода /. Таким образом, потребительский выбор может быть описан оптимизационной задачей [c.26]
Пусть /(ж) дифференцируемая вогнутая функция от n-мерного вектора ж, а д(х) дифференцируемая вогнутая вектор-функция, обе определенные при ж>0. Пусть нашлись такие вектора ж и X, что выполнены следующие условия Куна-Таккера [c.61]
Рассмотрим вектор-функцию f(t) = x(tp, tR), в силу дифференцируемости функции спроса по ценам и доходу для любого t>0 имеем, что [c.96]
Вектор-функция (9.78) называется дифференцируемой, непрерывной или кусочно-непрерывной на отрезке (70, Т , если все функции xf(f) соответственно дифференцируемы, непрерывны или кусочно-непрерывны на этом отрезке. Если вектор-функция x(t дифференцируема на [ 0, Т], то [c.238]
V — множество пар вектор -функций x(t), u(t), ж-де функция " (0 = 1 (t) х2 (/) . . . х (t) дифференцируема, а функция u(t) = iii(t) а(0 ил(1) кусочно- непрерывна на отрезке [/ , Т] (t0, Т фиксированы) [c.241]
Необходимое условие оптимальности для задачи оптимального управления (принцип максимума Понтрягина). Пусть функции F(x, й, t), /y (х, и , t), / = 1, 2. .... п непрерывно дифференцируемы. Если (х (t), и (t)] — оптимальное решение задачи минимизации (9.87) — (9.90), то существует непрерывная вектор-функция ty (Q = tyi(t) tyl(t) . .. i (/) такая, что функции x (t), u (t), ty (t) удовлетворяют следующим условиям <% дН [c.243]
Для дифференцируемой функции это требование эквивалентно следующему условию. Положим х — х + t , где = (I1, , I") ig 0 — вектор, характеризующий пропорции между дополнительно вовлеченными в производство ресурсами, a t > 0 — скалярная переменная, определяющая их объем. Вычисляя по формуле Тейлора разность [c.92]
Здесь а — вектор параметров, постоянных на [О, Т], функции fji и fj2 (j = 0,..., m) непрерывно дифференцируемы по х, а и t и непрерывны по и. [c.324]
Пусть / S —> Rm — векторная функция, определенная на множестве S С Нп, дифференцируемая во внутренней точке с S. Пусть и — п х 1 вектор. Тогда [c.125]
Пусть S — открытое подмножество Rn, а функция f S —> Rm дифференцируема в каждой точке S. Пусть с — точка , а и — точка Rn, такая что с + tu G S для всех t G [0,1]. Тогда для любого вектора a G Rm [c.138]
Рассмотрим вещественную функцию ф S —> R, которая дифференцируема в точке с из S С Rn, т.е. существует вектор а, зависящий от с, но не от и, такой что [c.142]
Пусть ф S — > R есть вещественная функция, определенная на множестве S из Rn, дважды дифференцируемая во внутренней точке с из S. Пусть и есть n x 1 вектор. Тогда [c.149]
Пусть вещественная функция ф S —> R определена и дифференцируема на выпуклом множестве S С Rn, a g S —> ]R,m(m < n) — векторная функция, определенная и дифференцируемая на S. Пусть с — точка 5, а / — вектор из Rm. Определим функцию Лагранжа ф S —> R как [c.189]
Введем дважды непрерывно дифференцируемую функцию u(x) Q f-мерного вектора аргумента х и функции v(x) к wn(x), определенные равенствами [c.356]
Во-первых, неясно, как при таком исключении сохранить условие и f U, не имеющее аналога в классической задаче во-вторых, как правило, размерность вектора и меньше размерности вектора х. В задачу оптимального управления и(-) ях(-) входят существенно неравноправно если более или менее любой функции и(-) соответствует некоторая траектория x (t), то почти любой дифференцируемой функции x (t) никакого и (t), удовлетворяющего уравнению x=f (x, и), не соответствует. Этот факт определяет выбор и ( ) в качестве независимого аргумента задачи и сказывается самым серьезным образом при конструировании вычис- [c.28]
При этом обычно / (х) — достаточно гладкие. Однако F (х) уже не являются всюду дифференцируемыми, хотя они и не совсем уж скверные. Функции F (х) (1), (2) принадлежат к важному в приложениях классу функций, которые в каждой точке х дифференцируемы по направлениям. Это означает, что для любого вектора у (той же размерности, что и х) существует [c.407]
Состояние i-ro элемента в рассматриваемой модели будем задавать вектором затрат vt = (ум, yi2,. . ., vim) и уровнем выпуска и (скаляр). Технологические ограничения на выбор вектора затраты — выпуск элемента примем в виде Yt (rt) — yt [ О
На практике часто встречается ситуация, когда априорно известен нелинейный характер зависимости между объясняемыми и объясняющими переменными. В этом случае функция/в уравнении y=f(a,x) нелинейна (а - вектор параметров функции, которые нам нужно оценить). Например, вид зависимости между ценой и количеством товара в той же модели спроса и предложения она не всегда предполагается линейной, как в нашем примере. Нелинейную функцию можно преобразовать в линейную, как это было сделано, например, логарифмированием с функцией Кобба-Дугласа. Однако не все функции поддаются такой непосредственной линеаризации. Любую дифференцируемую нужное число раз функцию можно разложить в функциональный ряд и затем оценить регрессию объясняемой переменной с членами этого ряда. Тем не менее такое разложение всегда осуществляется в окрестности определенной точки, и лишь в этой окрестности достаточно точно аппроксимирует оцениваемую функцию. В то же время оценить зависимость требуется обычно на более или менее значительном интервале, а не только в окрестности некоторой точки. При линеаризации функции или разложении её в ряд с целью оценки регрессии возникают и другие проблемы искажение отклонений е и нарушение их первоначальных свойств, статистическая зависимость членов ряда между собой. Например, если оценивается формула [c.359]
Если (D> /) является задачей выпуклого программирования с решением х, ее целевая функция f(x) и функции ограничений g x) — дифференцируемы, нелинейные ограничения в форме неравенств удовлетворяют условию регулярности Слейтера, то существует такой вектор и > 0, что (х,и) — седловая точка функции Лагранжа Ф(х,и). [c.105]
Когда максимум в (10.5) достигается во внутренней точке пространства параметров G, a Ln(d) является дифференцируемой (по в) функцией, то вектор частных производных д пЬп(в)/дв [c.246]
Предположим, что все q компонент вектора д(/3) являются непрерывными дважды дифференцируемыми функциями. Обозначим через G(f3) q x k матрицу первых производных и предположим, что она имеет полный ранг в некоторой окрестности истинного значения /3. [c.258]
Для задачи (9.82) — (9.85) имеет место следующее необходимое условие оптимальности. Пусть функция F(x, и, t) непрерывно диф ференцируема, как функция своих аргументов. Если непрерывно дифференцируемая вектор-, функция х (t) является оптимальным решением задачи (9.82) — (9.85), то существует непрерывная вектор-функция ty (t) = i (/) фг (0 . .. ty n(t) такая, что пара x (t), ty (t) удовлетворяет следующим условиям [c.240]
В различных экономических приложениях применяются (и рассматриваются в словаре) следующие функции Взвешивающие, Дифференцируемые, Гладкие, Кусочно-линейные, Кусочно-непрерывные, Линейные, Нелинейные, Непрерывные, Се-парабелъные, Экспоненты и др. См. также Вектор-функция, Гессиан, Интеграл, Мультипликативная форма представления функции, Производная, Рекурсия, Частная производная, Эластичность функции. [c.379]
Предполагается, что <р(со, z) и ч 3г(о), х) дифференцируемы почти при каждом о, функция F(x) выпукла вниз, множество X выпукло и замкнуто, вектор-функция g(x) удовлетворяет в области X равномерному условию Липшица. [c.361]
Пусть /(ж) дифференцируемая квазивогнутая функция от n-мерного вектора ж, а д(х) дифференцируемая квазивогнутая вектор-функция, обе определенные при ж О. Пусть ж и А, удовлетворяют условиям Куна-Таккера [c.61]
Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица Н не вырожденная. Предположим противное. Тогда существует такой вектор у и число z, такие, что Ну + Уи(ж)т z = О и Уи(ж)т/=0, где (у, г) 0. Пусть т/=0, а г О, то Уы(ж) = 0. Это противоречит доказанному ранее свойству существования такого блага г, что ы/(ж(р,Д)) > 0. Пусть теперь т/ 0, тогда у Ну + 7/тУи(ж)Т г = у Ну = 0 и Уи(ж)т/=0, что противоречит свойству сильной квазивогнутости. Таким образом, мы доказали, что матрица Н не вырождена. И, тем самым, функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа X являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу. В силу определения непрямой функции полезности v(p, К)= и(х(р, Д)) и непрерывной дифференцируемости функции полезности и функции спроса имеем непрерывную дифференцируемость непрямой функции полезности по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p, e(p, ж)) = и(х). С учетом монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов по ценам. Наконец, в силу соотношения ж(р, е(р1 ж)) = /г(р, ж), непрерывной дифференцируемости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам. [c.81]
Обычно относительно производственной функции (2.8) делают предположение, очень удобное с математической точки зрения,— предположение о непрерывном изменении переменных х и достаточно плавном изменении выпуска при изменении затрат ресурсов. В математической форме эти предположения имеют следующий вид функция (2.8) задана при всех неотрицательных значениях составляющих вектора х (как принято говорить, на неотрицательном ортанте) и является непрерывной (или нужное число раз дифференцируемой) функцией своих аргументов. На практике ресурсы и продукция зачастую не могут меняться непрерывно — их количество дискретно и измеряется, например, в штуках. Описание с помощью переменных, принимающих любые вещественные значения, и непрерывных функций означает в таких-случаях, что число выпускаемых и потребляемых единиц достаточно велико, чтобы дискретностью МОЖНО было пренебречь. [c.70]
Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема, условие вогнутости эквивалентно требованию неположительной определенности матрицы вторых производных функции f(x] при всех положительных значениях вектора ресурсов х, т. е. эквива-лентио требованию [c.74]
В том случае, когда неусредненная задача (8.1), (8.2) выпукла, а функция R — непрерывно дифференцируема, найдется единственное значение вектора цен Р, удовлетворяющее условиям [c.287]
Условия (9.127) при соответствующем выборе вектора А могут быть выполнены для произвольной дважды дифференцируемой в нуле функции /о, при этом второе условие для функций /Q с ограниченными вторыми производными может быть выполнено для всех значений С. Таким образом, можно расчитывать, что для широкого класса задач решения уравнений (9.122) существуют. [c.358]
Если супремум в (3) достигается во внутренней точке множества Г и Ьп(т) дифференцируемая по 7 функция, то вектор производных [c.392]
Случайный вектор уп, удовлетворяющий условию (4.5), называется стохастическим квазиградиентом функции f(x) в точке хп. Если а 1, bn=szQ, то уп называется стохастическим обобщенным градиентом, а если f(x) непрерывно дифференцируема — стохастическим градиентом. [c.359]
Утверждение верно и при более слабых условиях (в частности можно выводить условие ненасыщаемости из условия внутренности, не требовать дифференцируемости см. в Главе 2 доказательство ТБ1 и ТБ2). Можно также проводить доказательство утверждения сводя его к ТБ1 и ТБ2) то есть рассматривать экономику с общественным благом как классическую экономику, считая, что производителем выпускается не одно общественное благо, а соответствующий вектор частных благ (ж ,. ..,ж ) — по одному на каждого потребителя, в целевую функцию которого он входит. [c.33]