При колоколообразном распределении (как почти всегда бывает с распределением прибылей и убытков торговой системы) среднее абсолютное отклонение примерно равно 0,8 стандартного отклонения (в нормальном распределении оно составляет 0,7979). Поэтому мы можем сказать [c.52]
Опять мы видим, что два распределения очень похожи и не являются "нормальными". Рисунок 2.3 показывает разницу между распределением 5-дневной прибыли и нормальным распределением. Хвосты не только толще, чем при нормальном распределении, они - однородно толще. Вплоть до четырех стандартных отклонений от среднего значения мы имеем столько же наблюдений, сколько мы имели за два стандартных отклонения от среднего значения. Даже при четырех сигмах хвосты не сходятся к нулю. [c.31]
Объективный метод определения значимости отклонений может предоставить статистика. Например, если для прямых материальных затрат характерно нормальное распределение и величина нормативных затрат определяется математическим ожиданием (средним значением этого распределения), границы контроля можно установить статистически. Основываясь на предположении о нормальном распределении, можно ожидать, что приблизительно в 95% случаев выпуск продукции потребует прямых материальных затрат в пределах норматива 2а (а — среднеквадратичное отклонение от средней величины — СКО), а в 99% случаев — норматив За. Иными словами, в 95% случаев фактический расход прямых материалов окажется в границах 2 стандартных отклонения от величины норматива, а в 99% случаев отклонение расхода не превысит Зст. [c.637]
Статистический метод дает количественную оценку вероятности. охранения безубыточности, получения запланированной прибыли и т. п., когда существуют достоверные данные за несколько лет в отношении объемов реализации и других параметров, на основании которых можно сделать вывод об их нормальном распределении. Тогда для описания их поведения используют стандартное отклонение. [c.106]
Определение участков под нормальной кривой требует сложной математической формулы. Данный процесс упрощается при использовании особых таблиц. Обычно это таблицы стандартного нормального распределения , где средняя арифметическая равна 0, а среднеквадратическое отклонение — 1. Любое нормальное распределение с заданной средней арифметической (ц) и заданным среднеквадратическим отклонением (а) можно привести к этому стандартизованному распределению с помощью следующей формулы [c.79]
Мы используем в качестве характеристики распределения только математическое ожидание и стандартное отклонение. Предполагается, что крутизна распределения не имеет значения. С этим можно согласиться в том случае, когда распределение относительно симметрично или колоколообразно. Однако, если оно скошено вправо или влево, это необходимо принять во внимание. Хотя можно ввести специальную меру скошенности в наш анализ, мы не будем этого делать ввиду математических трудностей. Для простоты мы будем иметь дело только с математическим ожиданием и стандартным отклонением нормального распределения. [c.390]
Таблица 14Б.1 показывает пространство нормального распределения, т. е. А стандартных отклонения влево и вправо от среднего. Проверка предусматривается по методу "один хвост", так как мы рассматриваем либо одну, либо другую область распределения. Участок под кривой, соответствующий вероятности того, что имело место 1,5 стандартных отклонений или более вправо от средней, на рис. 14.9 изображен заштрихованной площадью. По табл. 14Б.1 находим, что данному отклонению соответствует [c.407]
Применительно к рассматриваемой концепции имеются эмпирические исследования, показывающие, что люди обычно хорошо предсказывают единичное стандартное отклонение от средней при нормальном распределении. Люди считают это размахом, и выход события за этот размах их несколько удивил бы. Нормальное распределение дает следующий набор вероятностей. [c.406]
Как мы объясняем в главе 8, дисперсия и стандартное отклонение служат верными критериями риска при нормальном распределении доходности. [c.144]
Если бы вы делали измерения для продолжительного интервала времени, вы, вероятно, столкнулись бы с искажением картины распределения. Например, вы могли бы увидеть, что нормы доходности превышают 100% и что нет ни одного случая, когда доходность была бы меньше 100%. Распределение значений доходности за период, скажем в один год, лучше всего соответствовало бы логарифмическому нормальному распределению. Логарифмическое нормальное распределение, как и нормальное, полностью определяется его средним значением и стандартным отклонением. [c.168]
Область нормального распределения, то есть стандартные отклонения z влево или вправо от среднего значения могут быть найдены по табл. 20.1. Значение z, равное -0,862, попадает в интервал между 0,1949 и 0,1922. Таким образом, с вероятностью примерно 19%, чистая текущая стоимость по проекту будет меньше или равна нулю. По-другому с вероятностью в 19% внутренняя норма доходности проекта будет меньше стоимости капитала без учета риска. [c.388]
Для нормального и прочих, похожих на него, симметричных распределений стандартное отклонение — естественная единица измерения изменчивости. (Кстати, символ <т, которым обозначается стандартное отклонение, произносится как сигма.) Термины изменчивость и стандартное отклонение часто используются как взаимозаменяемые. [c.182]
Я сам, наряду с другими, потерял довольно много денег, используя эту карту. Проблема заключается в том, что "Рыночный Профиль" основан на параметрической (линейной) статистике, а в частности, концепции кривой нормального распределения. Нормальное распределение и принципы применения стандартного отклонения просто несоответствующим образом объясняют поведения естественных систем или рынков. Мы, буквальным образом, "теряемся" на рынке. [c.164]
Счет Z затем переводится в доверительную границу, которая иногда также называется степенью достоверности. Площадь под кривой нормального распределения вероятности шириной в 1 стандартное отклонение с каждой стороны от среднего значения равна 68% всей площади под этой кривой. Преобразуем счет Z в доверительную границу. Связь счета Z и доверительной границы следующая счет Z является числом стандартных отклонений от среднего значения, а доверительная граница является долей площади под кривой, заполненной при таком числе стандартных отклонений. [c.16]
Здесь есть еще один плюс, который сразу может быть и не виден. Он состоит в том, что мы заранее знаем проигрыш худшего случая. Учитывая, насколько чувствительно уравнение оптимального f к наибольшему проигрышу, такая стратегия может приблизить нас к пику кривой f и показать, каким может быть наибольший проигрыш. Во-вторых, проблема проигрыша в 3 стандартных отклонениях (или больше) с более высокой вероятностью, чем подразумевает нормальное распределение, будет устранена. Именно гигантские проигрыши более 3 стандартных отклонений разоряют большинство трейдеров. Опционные стратегии могут полностью упразднить такие проигрыши. [c.55]
Мы можем также сказать, что при нормальном распределении стандартное отклонение равно среднему абсолютному отклонению, умноженному на 1,2533. Так как дисперсия всегда является стандартным отклонением в квадрате (а стандартное отклонение является квадратным корнем дисперсии), мы можем задать преобразование между дисперсией и средним абсолютным отклонением. [c.94]
Как и в процедуре, описанной в главе 3, по поиску оптимального f при нормальном распределении, мы должны преобразовать необработанные торговые данные в стандартные единицы. Сначала мы вычтем среднее из каждой сделки, а затем разделим полученное значение на стандартное отклонение. Далее мы будем работать с данными в стандартных единицах. После того как [c.127]
Если вы знаете, каким будет распределение ценовых исходов, то это можно использовать в сценариях. Предположим, что у вас есть основание полагать, что завтрашнее распределение цен на данный актив будет нормальным. Следовательно, вы можете описывать ваши сценарии на основе нормального распределения. Так, при нормальном распределении в 97,7% случаев прирост цены не превысит двух, а в 99,86% случаев - трех стандартных отклонений. Поэтому один из сценариев может состоять в том, что прирост цены остановится где-то между двумя и тремя стандартными отклонениями (какой бы ни была долларовая величина вашей торговой единицы в течение завтрашнего дня, принимаемого за период владения). Вероятность такого сценария равнялась бы 0,9986-0,9772 = 0,0214, или 2,14%. [c.80]
Например, мы знаем, что центрированная нормально распределенная случайная величина с вероятностью 0,9772 не превышает двух стандартных отклонений, а с вероятностью 0,9986 — трех стандартных отклонений. Если один из сценариев спектра состоит в том, что нормально распределенная случайная величина попадает в пределы от +2 до +3 стандартных отклонений, то мы знаем, что вероятность этого сценария равна 0,0214 (0,9986 -0,9772). Значит, мы можем определять совместные вероятности для непрерывных распределений. Кроме того, мы можем сделать сценарий таким маленьким, как нам нужно. В упомянутом ранее примере мы можем использовать сценарий, который состоит в том, что нормально распределенная случайная величина попадает в пределы от +2 до +2,1 стандартных отклонений, или между +2 и +2,000001 стандартных отклонений. [c.164]
Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля Л— 12 и 20% соответственно. Начальное благосостояние полагается равным 100 000, кроме того, предполагается, что оба портфеля имеют нормально распределенную доходность. [c.171]
Предположим, что прибыль фирмы имеет нормальное распределение и данное распределение не меняется во времени. Соответственно 67% фактической прибыли должно попасть в одно стандартное отклонение ожидаемой прибыли фирмы. Аналогично 67% показателей стандартной неожиданной прибыли должно быть меньше 1,0 и 95% таких показателей должно быть меньше 2,0. [c.628]
Обратите внимание на то, что E/eRT — это дисконтированная стоимость цены исполнения на базе непрерывно начисляемого процента. Величина In (PS/E) - это натуральный логарифм PS/E. Наконец, N(dt) и N(d обозначают вероятности того, что при нормальном распределении со средней, равной 0, и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d, и d2. [c.660]
Из следующих k равномерно распределенных величин получается вторая нормальная величина, и т.д. При увеличении k эта формула все лучше аппроксимирует нормальное распределение. В пределе k -> оо распределение величины п стремится к нормальному распределению с нулевым средним и стандартным отклонением, равным единице. Затем мы преобразуем п в тестовое число по формуле [c.95]
N(dj) — вероятность того, что отклонение будет меньше dj в условиях стандартного нормального распределения, и, таким образом, N(dj) и N(d2) ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения [c.82]
Эта формула эффективна тогда, когда товарный запас может пополняться немедленно, однако в большинстве случаев данное допущение не соответствует действительности. Обычно практикуется следующий метод расчета времени выполнения заказа и прогнозирования спроса на протяжении периода производства и доставки. Предположим, что компании для сохранения конкурентоспособности необходимо 98-процентное наличие товара на складе. При нормальном распределении товара 2-процентная вероятность отсутствия товара на складе выражается в 2,05 единицы стандартного отклонения спроса. Учитывая, что показатель стандартного отклонения спроса в период выполнения заказа составляет 20 единиц, необходимый объем дополнительного товарного запаса определяется как 20 х 2,05 = = 41 ТЕ (рис. 11.12). [c.419]
Так как стандартное отклонение в стандартной нормальной кривой равно 1, мы можем сказать, что среднее абсолютное отклонение в стандартной нормальной кривой равно 0,7979. Более того, в колоколообразной кривой, подобной нормальной, семи-интер-квартильная широта равна приблизительно 2/3 стандартного отклонения, и поэтому стандартное отклонение примерно в 1,5 раза больше семи-интерквартильной широты. Это справедливо для большинства колоколообразных распределений, а не только для нормальных, как и в случае с преобразованием среднего абсолютного отклонения в стандартное отклонение. [c.94]
Математическое ожидание и стандартное отклонение вероятностного распределения возможных чистых текущих стоимостей, определенные при помощи дерева вероятностей или другими методами, дают нам значительный объем информации, необходимой для оценки риска инвестиционного проекта. Если вероятностное распределение — приблизительно нормальное, мы можем рассчитать вероятность предложения при условии, что чистая текущая стоимость более или менее точно определена. Вероятность находится путем определения площади, лежащей под кривой влево или вправо от определенной точки процента. Продолжая нашу предыдущую иллюстрацию, предположим, будто мы хотим определить вероятность того, что чистая текущая стоимость будет равна нулю или нуля, чтобы найти данную вероятность, мы сначала вычислим разницу между 0 и математическим ожиданием чистой текущей стоимости проекта. В нашем примере эта разница равна-116 дол. Затем пронормируем эту разницу путем ее деления на стандартное отклонение возможных чистых текущих стоимостей [c.396]
Для определения вероятности того, что чистая текущая стоимость проекта будет меньше нуля, мы должны обратиться к таблице нормального распределения (см. приложение Б в конце данной главы). Видим, что с вероятностью 0,4013 результат наблюдения будет находиться менее чем на -0,25 стандартного отклонения от математического ожидания данного распределения с вероятностью 0,3821 — менее, чем на -0,30 стандартного отклонения от математического ожидания. Интерполируя, мы найдем, что существует приблизительно 40-процентная вероятность того, что чистая текущая стоимость будет меньше нуля. Отсюда с вероятностью 60% чистая текущая стоимость проекта будет больше нуля. При нормальном распределении 68% распределения попадают в область, ограниченную одним стандартным отклонением в ту и другую сторону от математического ожидания. То есть мы знаем, что с вероятностью 2/3 чистая текущая стоимость предложения будет находиться в пределах 116 дол. - 444 дол. = -328 дол. и 116 дол. + 444 дол. = 560 дол. Выражая отклонение от математического ожидания в стандартных отклонениях, мы можем определить вероятность того, что чистая текущая стоимость инвестиционного предложения будет больше или меньше определенной величины. [c.397]
Нормальное распределение охватывает неограниченное количество значений доходности, от "минус бесконечность" до "плюс бесконечность". Для интерпретации различных значений стандартного отклонения обычно используется доверительный интервал ( onfiden e interval) — статистический термин, которым обозначается определенный диапазон значений (это и есть "интервал"), в пределах которого фактическая доходность акции попадает с заданной вероятностью. Таким образом, при нормальном распределении доходность акции, которая находится в пределах доверительного интервала, включающего все значения доходности, находящиеся в рамках одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего значения, имеет [c.182]
Рассмотрим, например, акции с ожидаемой доходностью в 10% и стандартным отклонением в 20%. При нормальном распределении существует вероятность, равная примерно 0,95, что фактическая доходность попадет в интервал, ограниченный с од ной стороны ожидаемой доходностью и двумя стандартными отклонениями (10% х 20% = 50%), а с другой стороны — ожидаемой доходностью минус два стандартных отклонения (10% - 2 х 20% = -30%). Диапазон доходностей, который ограничен ми нимальным значением -30% и максимальным значением 50%, с вероятностью О, представляет собой доверительный интервал для доходности данных акций. [c.183]
Если мы вычтем среднее из точек данных, а затем разделим полученные значения на стандартное отклонение точек данных, то преобразуем распределение в нормированное нормальное (standardized normal). Это нормальное распределение со средним, равным 0, и дисперсией, равной 1. Теперь N (Z) даст нам значение на оси Y (высота кривой) для любого значения Z [c.92]
Сейчас мы разработаем метод поиска оптимального f по нормально распределенным данным. Как и формула Келли, это способ относится к параметрическим методам. Однако он намного мощнее, так как формула Келли отражает только два возможных результата события, а этот метод позволяет получить полный спектр результатов (при условии, что результаты нормально распределены). Удобство нормально распределенных результатов (кроме того факта, что в реальности они часто являются пределом многих других распределений) состоит в том, что их можно описать двумя параметрами. Формулы Келли дадут вам оптимальное f для бернуллиевых результатов, если известны два параметра отношение выигрыша к проигрышу и вероятность выигрыша. Метод расчета оптимального f, о котором мы сейчас расскажем, также требует только два параметра — среднее значение и стандартное отклонение результатов. Вспомним, что нормальное распределение является непрерывным распределением. Для того, чтобы использовать этот метод, необходимо дискретное распределение. Далее вспомним, что нормальное распределение является неограниченным распределением. Первые два шага, которые мы должны сделать для нахождения оптимального f по нормально распределенным данным, — это определить, (1) на сколько сигма от среднего значения мы усекаем распределение и (2) на сколько равноотстоящих точек данных мы разделим интервал между двумя крайними точками, найденными в (1). Например, мы знаем, что 99,73% всех точек данных находятся между плюс и [c.107]
В итоге мы получим взвешенное по вероятности HPR для каждого исхода. Возможен широкий диапазон результатов, но, к сожалению, эти результаты не непрерывны. Например, время до истечения срока не задается непрерывной функцией. До истечения срока всегда остается целое число то же верно и для цены базового инструмента. Если цена акции равна, например, 35, а минимальное изменение цены равно 1/8, то между 30 и 40 находится 81 возможное значение. Зная время, через которое мы собираемся продать опцион, можно рассчитать взвешенные по вероятности HPR для всех возможных цен на этот рыночный день. В нормальном распределении вероятности 99,73% всех результатов попадают в интервал трех стандартных отклонений от среднего, которое в нашем случае является текущей ценой базового инструмента. Поэтому нам необходимо рассчи- [c.166]
Аномальность - относительное понятие, являющееся противоположностью тому, что считается "нормальным". Позвольте пример. В финансовом мире Башелье-Самуельсона, в котором приращения распределены согласно гауссовскому колоколообразному распределению, все события масштабированы по фундаментальной "линейке", называемой стандартным отклонением. Рассмотрим дневной временной масштаб и соответствующий ему временной ряд приращений (значений) индекса Доу-Джонса, показанный на Рис. 14. Как мы указали в главе 2, стандартное отклонение близко к 1%. В этом гауссовском мире, легко количественно определить вероятность наблюдения данной величины приращения, как показано в Табл. 2. Мы видим, что дневная величина приращения, большего, чем 3% должна, в общем, наблюдаться лишь однажды за 1.5 года. Дневная величина приращения больше 4% должна наблюдаться только однажды за 63 года, в то время как величина приращения больше 5% никогда не должна быть отмечаема в нашей "короткой" истории. [c.61]
Однако что будет, если доходность инвестиций не является нормально распределенной Для примера мы может рассмотреть ситуацию, когда доходность обыкновенных акций не удоволетворяет данному предположению. Допустим, что инвестор на рынке обыкновенных акций столкнулся е ограниченной ответственностью (см. гл, 17). Самое большое, что он может потерять в данном случае, это первоначальные инвестиции. При этом потенциальный выигрыш от повышения ие ограничен. Наконец, ожидается падение большинства доходноетей по обыкновен-ным акциям до среднего рыночного значения. То, что мы только что описали, носит название распределения, смешенного вправо по отношению к нормальному. Стандартное отклонение недостаточно характеризует риск смещенной вправо ценной бумаги, так как при этом игнорируется тот факт, что большая часть изменчивости ценной бумаги приходится на хорошую сторону ожидаемой доходности ценной бумаги. [c.180]
Применительно к ценным бумагам, доходность по которым имеет распределение, отличающееся от нормального (и логнор-мального ), эти измерители риска не только более приемлемы интуитивно, но и более гибки, чем традиционные измерители ряска. Стандартное отклонение измеряется на основе средней величины распределения доходности. Однако инвестор может захотеть оценить инвестиции, используя какую-либо величину как цель, например доходность на индекс рынка, или просто число, такое, как 0%. Измеритель риска понесения убытков может учитывать все эти предпочтения. [c.181]
Запоздание ввода новых агрегатов учитывается непосредственно по их мощности. Для учета других причин неточности оценки используется теория вероятности и основные оценки принимаются как средние значения нормального распределения. При максимальной нагрузке требуются два нормальных распределения, а именно ошибки в предсказании нагрузок для периодов среднехолодной погоды и изменения, обусловленные отклонениями погоды от условий периода среднехолодной погоды. Для определения готовности к работе генераторов необходимо только одно распределение, представляющее ошибку оценки. Стандартные отклонения этих распределений были оценены на основе накопленного опыта и были использованы для определения суммарного процента резерва, что обеспечивает желаемую норму надежности. [c.17]