Вторая глава — Методы приближенного решения задач оптимального управления ( 13—24). Каждый параграф этой главы [c.13]
МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ [c.108]
Первые методы приближенного решения задач оптимального управления были методами градиента в функциональном пространстве и применялись к простейшим задачам найти [c.110]
Решение этой задачи в принципе не так уж сложно — алгоритм дискретного динамического программирования, подробно описанный в 44, приводит к цели с затратой числа операций в общем случае порядка О (Nh 2n). Последовательность точек (6) и объявляется оптимальной траекторией задачи (1) — (5) разумеется, речь идет о приближенно оптимальной траектории, точность зависит от шагов сетки т и А. Если элементарная операция реализована точным решением задачи типа (1) — (5) на малом интервале [t(, tt+1], то мы имеем дело с точной траекторией управляемой системы (2), проходящей через узлы ж/, в моменты tf обычно элементарная операция реализуется не абсолютно точно, и узлы (6), соединенные, например, отрезками прямых, представляют некоторую аппроксимацию решения системы ж=/. Если нас интересует не только оптимальная траектория (6), но и реализующее ее управление и (t), то его можно восстановить по узлам (6) с помощью той же элементарной операции. Следует прежде всего подчеркнуть ту легкость, с которой данный метод справляется со всеми ограничениями на фазовую часть траектории, будь то ограничения на правом конце траектории (х (Т)=Х1) или еще более сложные ограничения типа х (t) G при всех t. В известной монографии [57] отражена история развития методов приближенного решения задач оптимального управления группой ВЦ АН СССР под руководством Н. Н. Моисеева. Работа начиналась с естественной попытки строить минимизирующие последовательности управляющих функций. После первых успехов в решении простейших неклассических задач (это — задачи, содержащие только ограничение типа u U без условий на правом конце траектории в [40] опубликовано решение задачи о максимальной дальности планирования) встретились определенные трудности, связанные с огра- [c.122]
Все эти рассуждения на первый взгляд не имеют отношения к приближенному решению задач оптимального управления. Ведь в любой реализации приближенного метода имеют дело не с измеримой функцией, а, например, с кусочно постоянной сеточной. В этом случае разница между функционалами (4) и (9) пропадает, и появляется формальная возможность и для учета (9) использовать аппроксимацию (10). Именно такая точка зрения принята в [31], [68], [75] и других работах, связанных с применением методов математического программирования (см. также 13, 25, 36). К сожалению, этот единообразный подход к объектам разной функциональной природы оплачивается существенным ростом объема вычислений и, вследствие этого, ненадежностью результатов. В данном случае он приведет к очень большому числу точек аппроксимации t в (10). - [c.78]
Возникающие в связи с подобными ситуациями сложные теоретические вопросы являются предметом изучения большого числа математических работ. Тому, кто занимается приближенным решением задач оптимального управления, нужно иметь какую-то точку зрения на эти исследования, так же как и на многие другие исследования весьма далеких и абстрактных обобщений вариационных задач. Нужно решить, с чем связано это дальнейшее развитие теории с необходимостью включить в нее какой-то новый класс прикладных задач, или с характерным для современной математики стремлением к возможно большей общности, к ослаблению предположений, при которых доказываются те или иные теоремы. В первом случае следует соответствующим образом модернизировать вычислительные методы или создать новые с тем, чтобы можно было находить приближенные решения и для нового класса задач. Во втором случае, в принципе, можно, признав эти обобщения не имеющими (в настоящее время, во всяком случае) отношения к прикладным задачам, не осложнять и без того не простую задачу приближенного решения стремлением не отстать от чисто теоретических обобщений. Ведь в конце концов в приближенном решении нуждаются прежде всего и в основном задачи, имеющие прикладное значение, и специалисту по прикладной математике естественно ограничиться (при реализации приближенных методов) тем уровнем теории, которым охватываются типичные прикладные задачи. Сразу же возникает вопрос а что такое класс прикладных задач , как его можно охарактеризовать Видимо, ответить на этот вопрос можно, только проанализировав возможно большее число вариационных задач, поставленных физиками, химиками, инженерами, специалистами по космонавтике и другими учеными, имеющими дело непосредственно с объектами реального мира. Разумеется, этот материал даст ответ, связанный с се- [c.93]
Вторая глава книги ( 13—24) содержит описание характерных подходов к построению алгоритмов приближенного решения задач оптимального управления. Здесь перед автором стояли две противоречивые задачи с одной стороны, дать читателю достаточно полное представление о возможных подходах к численному решению задач, с другой стороны, избежать чрезмерного многообразия, связанного, в частности, и с несущественными (и не всегда удачными) модификациями некоторых основных идей. Поэтому изложение некоторых методов часто дается для более общей задачи, чем это сделано в оригинальной работе. Однако такие обобщения делались автором, в основном, в тех случаях, когда это было связано лишь с чисто редакционными, не затрагивающими существа дела, коррективами. В то же время автор воздерживался от тех формально возможных обобщений класса задач (даже если они были отмечены в оригинальных работах),"которые, по его мнению, приводят к существенному усложнению технической реализации метода и снижению его эффективности. Во всяком случае, автор старался предостеречь читателя от видимой простоты и легкости подобных обобщений, указывая на возникающие при этом осложнения. Эти легкость и простота существуют лишь до тех пор, пока речь идет о возможном в принципе решении задачи. Когда же дело доходит до реализации метода на ЭВМ, обнаруживаются значительные трудности (медленная сходимость, ненадежность результатов и т. д.). Так как многие идеи построения численных алгоритмов высказывались (в несущественно разных формах) разными авторами, возник вопрос о том, какой же публикации придерживаться. В этом случае автор обычно отдавал предпочтение тем, в которых дело было доведено до фактических расчетов. Это объясняется тем, что многие общие соображения носят настолько очевидный и элементарный характер, что вопрос о приоритете представляется неуместным и часто практически неразрешимым, Типичным примером подобных идей являются метод [c.108]
Для исследования моделей комплекса Регион применяются новые алгоритмы улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления с использованием достаточных условий сильного и слабого локального минимума [Кротов и др., 1973 Гурман, 1977 Гурман и др., 1983 Модели..., 1981], в том числе и для вырожденных задач [Гурман, 1985 Новые..., 1981 Методы..., 1988] численные методы, связанные с преобразованием задач оптимального управления на основе теорем о совместной оптимальности [Москаленко, 1983 Методы..., 1988 Новые..., 1987] методы решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями [Методы..., 1988] методы качественного анализа оптимальных траекторий [Модели..., 1981]. [c.177]
Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию < >, найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например, методом градиента в функциональном пространстве) мы будем в этом случав [c.54]
Именно поэтому автор предпочитает работы, в которых общая идея доводится до вычислений, включая разработку соответствующей вычислительной технологии. В потоке работ, связанных с построением приближенных методов решения задач оптимального управления, можно выделить три главных направления. В книге этим направлениям уделено неравное внимание. [c.109]
Выбор начального приближения. Модификация метода Ньютона не снимает проблемы подбора достаточно хорошего начального приближения, хотя и заметно ослабляет остроту этого вопроса. Опыт показал, что использование каких-либо содержательных соображений в целях нахождения хорошего начального приближения 1° крайне затруднительно даже в тех задачах, где подбор разумного приближения в терминах управляющей функции и (t) сравнительно прост. Пожалуй, единственным выходом является решение задачи каким-либо иным методом, достаточно надежно дающим относительно грубое приближенное решение. Такие приближенные методы в настоящее время разработаны, отличительной их чертой является то. что они дают хорошее приближение к искомому решению с точки зрения фазовой траектории х (t) и значений функционалов задачи Ff [и ( )], однако обычно довольно грубое с точки зрения управляющей функции и (t). Фигурирующий в принципе максимума вектор g тоже, как правило, получается с хорошей точностью. Создание приближенного метода решения задач оптимального управления, соединяющего надежность и эффективность с хорошей точностью по всем компонентам задачи возможно, видимо, лишь комбинированием методов грубого поиска минимума с последующим уточнением точного вида решения, основанным на использовании характеризующих его уравнений типа принципа максимума или уравнения Эйлера. [c.120]
Во второй главе были приведены характерные подходы к построению приближенных методов решения задач оптимального управления. Однако при их реализации возникает необходимость уточнить и конкретизировать ряд деталей. Кроме того, заранее не ясно, каковы будут затраты вычислительной работы, какие результаты удастся получить. Все это выясняется в процессе систематической эксплуатации метода. При решении конкретной задачи могут возникнуть какие-то специфические трудности, и нужно уметь разбираться в причинах возможных неудач, находить пути их преодоления. Совокупность подобных деталей образует низший уровень вычислительной технологии, однако, не владея им, не стоит браться за решение сложных задач. Перед автором стояла задача познакомить читателя и с этой стороной вопроса. Сейчас не видно другого способа сделать это, отличного от того, который реализован в настоящей главе. Здесь собраны примеры фактического решения прикладных задач оптимального управления, подробно показан и прокомментирован процесс их решения, разъяснены трудности, встретившиеся в той или иной из них, те конкретные приемы, которые были использованы, и достигаемый с их помощью эффект. Основу этой главы составляют задачи, решенные автором. Это естественно, так как по этим задачам автор располагает необходимым методическим материалом. Однако, если была возможность, автор привлекал и результаты расчетов, проведенных другими. [c.210]
В этой главе излагается минимальный теоретический материал, необходимый и достаточный для понимания всего остального, составляющего основное содержание книги. Тем, кто знаком с математической теорией оптимального управления, полезно познакомиться с этой главой, чтобы привыкнуть к принятой в книге терминологии и системе обозначений. Впрочем, они не очень отличаются от тех, которые используются в ставшей уже классической монографии [65]. Читатель, не разбиравший подробно первых глав этой монографии и знакомый с теорией по упрощенным изложениям в руководствах сугубо прикладного направления (или совсем незнакомый с ней), должен основательно усвоить хотя бы содержание 1—7 без этого трудно будет понять все остальное. Заметим, что хотя данная книга имеет явно прикладной характер, в изложении теоретического материала она гораздо ближе к чисто теоретическим работам типа [65], [34]. Это связано с существом дела. Читатель убедится, что математические тонкости доказательства принципа максимума, которые мы специально выделяем и подчеркиваем в 5, 6, имеют самое прямое отношение к приближенному решению задач. Кстати, из многих известных сейчас схем доказательства принципа максимума (так же, как и других приведенных в книге теорем) автор специально отобрал не самые краткие, общие и изящные, но те, которые более или менее явно индуцируют методы приближенного решения. [c.16]
При t3 .t .T полагаем и (t) = —0,2, причем Т определяется из условия х1 (T)=R3. Таким образом, параметром tt однозначно определяются значения Z2, 3, T, F0 (== а) и оптимальная управляющая функция и (t). На рис. 47 показаны графики величин t%, t3, L, F0 в зависимости от tj ). Они построены интерполяцией по значениям для дискретного набора tr Этот график соответствует задаче с начальными данными а). Что касается оптимальных функций и (f), то они будут сравниваться с теми, которые получаются в результате приближенного решения задачи методами спуска в пространстве управлений (см. рисунки 50, 51). [c.317]
Сложность задач, возникающих в конкретных разработках при описании реального мира (системы и среды) на естественном языке, вызвала к жизни некоторые новые формальные методы и концепции для анализа процессов принятия приближенных решений, включающих теорию расплывчатых множеств. Введенное Л. Заде в 1965 г. в небольшой статье в журнале Информация и управление понятие нечеткого множества нашло применение в теории конечных автоматов, формальных грамматиках, языках, теории алгоритмов, оптимальном управлении, принятии решений, логике, распознавании образов получило отклик в таких чисто математических областях, как общая алгебра, теория групп, топология, а также оказалось очень полез-16 [c.16]
Упомянутое расширение первоначального множества дифференцируемых функций состоит в присоединении к нему и разрывных минимальность этого расширения достигается тем, что не все разрывные функции считаются допустимыми требуется выполнение определенных соотношений в точке разрыва. В теории оптимального управления, точнее, в той ее части, которая ориентирована на разработку приближенных методов решения прикладных задач, исследования подобного рода не очень интересны. Это связано с тем, что сама форма уравнений [c.89]
Анализ современных направлений развития методов оптимизации в задачах управления показывает большой интерес специалистов соответствующей области теории к процедурам приближенного решения оптимизационных задач. Этот путь позволяет существенно расширить класс объектов и постановок практических задач управления. Здесь отметим два направления переход от традиционного динамического программирования [5] к так называемому дифференциальному динамическому программированию [6] достаточные условия оптимальности в форме В.Ф. Кротова [7], получившие в дополненном и переосмысленном виде название принципа расширения [8]. [c.98]
Метод проекции градиента и скользящие режимы. Следует особо отметить те задачи, в которых конструкция (45) будет иметь значительное преимущество перед методом проекции градиента в форме (46), (43). Это — задачи, где оптимальная траектория содержит участок так называемого скользящего режима (см. 23). В этом случае могут существовать неоптимальные траектории, на которых конструкция (46) при не слишком больших s дает функцию u(t, s)=u (t) такая траектория оказывается тупиковой для методов (46), (43). В то же время конструкция (45) приводит к ненулевой вариации управления и (t, з)фи (t). Пример, рассмотренный в 23, показывает, что эта возможность действительно реализуется при численном решении подобных задач, причем множество тупиковых для локального варианта проекции градиента (46) траекторий достаточно мощно и содержит траектории, далекие от оптимальной. Тем не менее, в дальнейшем мы будем иметь дело именно с локальным вариантом. Это связано с тем, что среди известных автору прикладных задач, решавшихся приближенными методами, нет задач, содержащих скользящие режимы. Более того, в монографиях [39], 1102], посвященных преимущественно обобщению теории вариационных задач, охватывающему и скользящие режимы (что, разумеется, приводит к серьезному усложнению аналитического аппарата теории), подобных примеров тоже нет Речь, разумеется, идет о примерах задач, естественно возникших в приложениях, а не специально сконструированных с целью иллюстрации тех или иных возможных осложнений. С этой точки зрения те предостережения, которые делает инженерам и физикам автор [102] в связи с наивным использованием результатов классического вариационного исчисления, представляются преувеличенными. Разумеется, практика решения вариационных задач может расшириться, и задачи со скользящими. режимами станут обычным, инженерным явлением. В этом случае изменится и отношение к соответствующему разделу в теории, и в вычислительные методы будут внесены необходимые коррективы. [c.155]
Решая N уравнений (17) вместе с т уравнениями (15 ) относительно N -m неизвестных sa , Х1 А2,. . ., Хт при каком-то фиксированном значении Х , получим решение, удовлетворяющее всем условиям задачи, за исключением (16 ). Проделав подобные вычисления для нескольких значений Х0, подберем нужное значение )i0 из условия (16 ), которое, кстати, может быть удовлетворено с не очень высокой точностью. Однако самым неприятным моментом всего алгоритма является необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка N. Этим объясняется, видимо, тот факт, что в известных автору работах метод второго порядка использовался на сравнительно грубых сетках с небольшим значением N 10- -20. Если исходная вариационная задача содержит условие и (t) U, и в (16 ) берется первый вариант ограничений на sn, задача также оказывается вычислительно очень сложной при больших N. Таким образом, проявляется своеобразная противоречивость методов второго порядка. Имея целью в основном повысить эффективность поиска вблизи минимума и получить меньшее значение функционала, чем это удается сделать методами первого порядка, методы второго порядка, реализованные на грубых сетках невысокой размерности, теряют в точности именно из-за грубости аппроксимации, из-за сужения задачи на пространство управлений, не допускающее очень точного приближения искомого оптимального и (t). [c.209]
Сейчас создано очень много вычислительных методов, в частности, и для решения задач оптимального управления. Разумеется, они не решают проблемы полностью, но не любой формально новый метод является шагом вперед. Дальнейшее развитие вычислительных методов требует четкого представления о том, что уже сделано, а что еще не удается, ради чего предпринимаются усилия при создании нового метода. Без этого велика вероятность появления лишь формально новых методов вычислений, которые не лучше (а часто и хуже) существующих там, где они работают, и не дают ничего в тех задачах, с которыми существующие методы не справляются. Этими замечаниями в значительной мере определяется характер настоящей книги. Ее основное содержание — методы приближенного решения задач оптимального управления. Автор ставил целью не только познакомить читателя с основными идеями конструкций вычислительных алгоритмов, но и с тем, как эти идеи доводятся до конца, до фактического решения задач, какие технические трудности приходится при этом преодолевать и как это делается. Речь идет о совокупности приемов, образующих, так сказать, вычислительную технологию. Это — очень важная часть практической вычислительной работы, без грамотного оформления которой никакую идею не удастся довести до успешного расчета. К сожалению, эта совокупность знаний и навыков еще не доросла (и едва ли когда-нибудь дорастет) до уровня науки. Эта технология и есть то, что обычно называют здравым смыслом , вычислительным опытом и т. д. Автор попытался познакомить читателя и с этой стороной вычислительной математики, разумеется, лишь в той мере, в какой он сам ее понимает. Теперь несколько замечаний о содержании книги, назначении ее отдельных частей и характере изложения. Весь материал естественно разбивается на четыре главы, посвя- [c.12]
С этими же трудностями связано возвращение к методу Эйлера в его самой бесхитростной форме. Имеется в виду то направление, которое получило название метод математического программирования в теории оптимального управления . Почти всякий метод приближенного решения задач оптимального управления может быть охвачен этим термином, поэтому следует уточнить, о чем идет речь. Это — направление, в котором задачу заменяют конечно-разностной, переписывают все ограничения задачи в виде ограничений на значения сеточных функций, интегралы заменяют суммами, и, получив конечномерную задачу минимизации при наличии ограничений, ссылаются на возможность ее решения хорошо разработанными методами математического программирования. Последние представляют тему огромного числа статей и монографий, но это как раз и свидетельствует о том, что надежных методов решения общей задачи минимизации нет. [c.112]
Итак, мы имеем большое число возможных типов вариационных задач, некоторое число основных идей численного их решения и достаточно большое число возможных технологических оформлений. И каждый из элементов этих трех уровней может сочетаться если и не с каждым, то с большим числом элементов соседнего уровня. Вот эта-то комбинаторика и создает (в значительной мере) видимое разнообразие методов приближенного решения. Однако в этих комбинациях могут содержаться и очень ценные предложения, когда есть достаточно веские основания утверждать, что для данного специального класса задач следует выбрать именно данный подход и дополнить его именно одним конкретным вариантом технологии, а при других комбинациях получатся заметно менее эффективные или трудно реализуемые методы. Этой трехслойной структуре проблемы приближенного решения задач оптимального управления и соответствуют первые три главы книги. Во второй главе каждый возможный подход описан достаточно подробно, но самый низший уровень — технология вычислений — естественно, не излагается это уже материал третьей главы. Выше мы отмечали, что основных конструкций приближенных методов оказалось не так уж много. Автор надеется, что читатель, разобравшийся в этом материале, без труда убедится, например, в том, что очень большое число предложенных в разное время и в разных странах методов являются несущественными модификациями простейших вариантов метода проекции градиента. [c.14]
Обоснование метода мы начнем с обсуждения близкой, но все же существенно отличающейся от метода Н. Н. Моисеева, схемы приближенного решения задач оптимального управления. Имеется в виду популярное в теоретических исследованиях сведение к задаче математического программирования. Вводится сетка 0, ,. . ., tjf, уравнения, функционалы и ограничения заменяются соответствующими разностными аппроксимациями на сеточных функциях (х( 0, Ий-vJf ,1- Так получаем задачу найти сеточную траекторию из условий [c.123]
Паллиативы (метод проекции градиента в общем случае). Выше было показано, что проектирование градиента осуществляется достаточно просто (правда, в линеаризованной постановке, приводящей к проектированию на линейное подпространство) в двух случаях либо при отсутствии дополнительных условий (F(=ff), либо при отсутствии геометрического ограничения на значения и (t) (u( U). Однако большая часть прикладных задач оптимального управления содержит оба сорта условий, а в этом случае проектирование выполняется решением задачи квадратического программирования. К сожалению, идеи и алгоритмы, относящиеся к линейному и нелинейному программированию, мало известны среди специалистов по прикладной механике, которые особенно часто сталкиваются с необходимостью решения задач оптимального управления достаточно общего вида. Именно в этой среде были созданы многочисленные приемы, имеющие целью сформулировать общую задачу как задачу классического типа, либо как простейшую неклассическую задачу. Мы рассмотрим наиболее типичные из этих приемов. Их следует отнести к разряду паллиативов, так как они не снимают трудностей численного решения, а лишь отодвигают их, так сказать, в глубь проблемы. Создание алгоритма приближенного решения задачи оптимального управления можно условно разбить на два этапа [c.160]
Беркович Е. М. О существовании оптимальных решений для одного класса двухэтапных Стохастических экстремальных задач. В кн. Приближенные методы решения задач оптимального управления и некоторых некорректных обратных задач. Труды ВЦ МГУ. Изд. МГУ, М., 1972. [c.381]
Математическая теория оптимального управления начала особенно интенсивно развиваться после выхода в свет известной монографии Л. С. Понтрягина и его сотрудников [65]. Можно даже сказать, что эта теория стала модной. Этому, в частности, способствовал и тот факт, что задачи создания оптимальных конструкций, режимов управления и т. д. возникают в самых различных прикладных областях. Одновременно с чисто теоретическими исследованиями началась и разработка приближенных методов решения задач оптимального управления. Поток работ на эту тему велик и не ослабевает до настоящего времени. Предлагаемая читателю книга является попыткой подвести итоги этой работы, разобраться в том, что уже удалось сделать, а что — пока еще нет, каковы реальные успехи на этом пути. Следует предупредить читателя, что вычислительная математика обладает обманчивой внешней простотой, и создание вычислительных методов для решения тех или иных задач кажется зачастую очень бесхитростным занятием, а в то же время актуальность разработки эффективных методов вычислений постоянно подчеркивается. Дело в том, что понятие эффективный вычислительный метод после появления ЭВМ претерпело существенное изменение. В домашинную эру можно было говорить о создании эффективного метода решения какого-то класса задач, если была доказана теорема о том, что с любой заданной точностью задачу можно решить ценой конечного числа операций над конечным множеством чисел. Само же число операций особенно не обсуждалось в любом случае оно было очень большим. [c.11]
Хотя для решения задачи линейного программирования существуют четкие конечные методы (они описаны в 47), не прекращается работа по созданию итерационных, приближенных методов. Для этого есть по крайней мере две причины. Дело в том, что реализация симплекс-метода встречает определенные трудности в экономических задачах высокой размерности (N, т 103). В таких задачах работа с матрицей объемом 108 ячеек памяти становится очень сложной. В то же время исходная матрица задачи, будучи слабо заполненной, часто может быть размещена в оперативной памяти машины. Встречаются задачи, элементы матрицы которой можно вообще не запоминать, а вычислять по сравнительно простым формулам. В таких ситуациях итерационные методы, не преобразующие исходной формы задачи и не порождающие новых объектов типа матрицы общего положения (как, например, биорто-гональный базис ф ), несмотря на значительно меньшую надежность, могут оказаться предпочтительными и даже единственно реализуемыми. Для нас же будет важна и другая причина, заставляющая обратиться к итерационным методам. Ведь задачи линейного программирования, возникающие при решении задач оптимального управления, являются конечно-разностными аппроксимациями континуальных задач найти функцию 8u (t) из условий [c.437]
К р ы л о в И. А., Черноусько Ф. Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. — ЖВМ и МФ, 1962, 2, № 6, с. 1132—1138. [c.480]
Основу этой книги составляет прежде всего опыт приближенного решения прикладных задач оптимального управления. Эта работа была начата автором в 1962 г. и продолжалась почти 15 лет. В течение этого времени задачи постепенно усложнялись, встречались трудности при их решении, надо было разбираться в причинах и вносить соответствующие изменения в метод решения, проводить многочисленные расчеты. Все это время автор следил за журнальной литературой по данной теме, пытался на основе имеющегося у него опыта оценить некоторые идеи, проводя, в частности, и вычислительные эксперименты. Таким образом, накопился достаточно большой материал. На его основе автором читались спецкурсы для студентов МФТИ и факультета прикладной математики и механики Воронежского университета, циклы обзорных лекций в 7-й зимней математической школе (г. Дрогобыч, 1974 г.) и во 2-й летней математической школе (г. Бендеры, 1977 г.). Однако при написании этой книги возникли значительные трудности. [c.7]
Основные типы задач, подходы к их решению и результаты были получены давно они связаны с именами таких классиков естествознания, как Эйлер, Якоби, Вейерштрасс. Однако бурное развитие техники ) после второй мировой войны, характеризующееся, кроме всего прочего, четкой тенденцией к созданию оптимальных по своим качествам конструкций, привело к постановке ряда частных задач, которые были вариационными по существу дела, однако либо не укладывались в привычные рамки вариационного исчисления, либо это удавалось сделать ценой нежелательных искажений задачи. Постепенно выработались некоторые типичные формы новых вариационных задач, получившие имена пионеров этой области так появились задачи Больца, Майера и другие. Отдавая должное этим ученым, мы не будем в дальнейшем пользоваться соответствующей терминологией, так как она отражает лишь историю становления современного вариационного исчисления, но не существо дела. Эти различные по наименованиям задачи не нуждаются ни в специфических методах теоретического исследования, ни в особых подходах при разработке алгоритмов их приближенного решения. Все эти задачи естественно укладываются в сложившуюся в настоящее время форму задачи оптимального управления, теоретический анализ которой не проще и не сложнее анализа упомянутых ее частных видов. Это же отно- [c.23]
Основным инструментом теоретического анализа задач оптимального управления и конструирования методов их приближенного решения является вычисление функциональных производных от входящих в постановку задачи функционалов. В настоящее время сложилась сравнительно стандартная техника дифференцирования функционалов, определенных на траекториях управляемой системы. Изложим ее, ограничившись первыми двумя типич- [c.29]
Расширение проблематики, охватываемой теорией оптимального функционирования социалистич. экономики, обусловлено углублением социально-зкопомич. содержания, приближением к запросам практики управления нар. хозяйством. Этот процесс сопровождается использованием всё более разнообразного математич. аппарата и методов машинной имитации, информационно-поисковых систем, морфологич. анализа и т. и. О. ф. с. э. т. всё более сближается с системным анализом социалыю-экономич. процессов. Она сводится к исследованию аспектов функционирования и раз-пития нар. х-ва, построению моделей систем управления, разработке подходов к планированию п прогнозированию экономики на базе математич. моделей с преимущественной ориентацией на оптимизационные методы. Принципиально важны исследования задач, впервые отчетливо сформулированных в этой теории различные подходы к определению понятия социалыю-экономич. оптимума, анализ его роли и места в системе категорий политич. экономии социализма, его значение для принципов управления социалистич. экономикой и решения соответств. конкретных вопросов. Однако в решении подобных проблем главная роль должна принадлежать неформальным средствам исследования — как в соответствии со спецификой этой сферы, так и с учётом современного уровня развития средств формализации. [c.649]