В математике функция (6.9) носит название функции Лагранжа. Известно, что при некоторых предположениях о функции f существуют такие множители Лагранжа щ, что точка максимума функции (6.8) при ограничениях (6.7) является стационарной точкой функции Лагранжа, т. е. [c.124]
Сформулированные условия (4.15) могут быть перенесены па любое число переменных и ограничений. При этом число множителей Лагранжа равно числу ограничений модели. Пусть поставлена следующая задача [c.47]
В последние несколько десятилетий основные идеи метода множителей Лагранжа удалось перенести и на задачи с ограничениями типа неравенств, которые, как мы увидим в дальнейшем, более естественны для экономико-математических моделей. Сформулируем необходимое условие максимума функции U(x), где х е= Еп, при наличии ограничений [c.48]
Как видно, описанный здесь метод решения, основанный на полном переборе вершин, является значительно более простым л эффективным, нежели непосредственное использование метода множителей Лагранжа. В то же время не следует считать, что решение задач линейного программирования является простым делом, состоящим просто в полном переборе вершин множества допустимых значений переменных. Для того чтобы понять это, достаточно заметить, что вершина множества допустимых точек (в том случае, когда это множество имеет внутренние точки) в задаче (4.22) — (4.24) связана с обращением в равенства п ограничений из их совокупности (4.23), (4.24). Таким образом, вообще говоря, число вершин множества (4.23), (4.24) может равняться числу различных сочетаний по п ограничений из общего числа т + п. Число различных сочетания [c.51]
Можно доказать и более общее утверждение о свойствах двойственных переменных. При описании метода множителей Лагранжа для задач с ограничениями типа равенств мы показали, что множитель Лагранжа равен производной критерия по правой части равенства. Этим же свойством множители Лагранжа обладают и в задачах линейного программирования [c.56]
Необходимым условием максимума функции и(у) в точке у при выполнении ограничений задачи (6.9) является существование такого множителя Лагранжа К, что при у = у и К — Я выполняются условия [c.119]
Таким образом, целевая функция компании является приближенным аналогом функции Лагранжа с ограничением и может быть выражена системой из двух уравнений [c.37]
Метод Лагранжа — метод дифференциального исчисления, применяемый при наличии ограничивающих условий. Этот метод позволяет перейти от оптимизационной задачи с ограничениями к альтернативной оптимизационной задаче без ограничений, у которых совпадают решения. Фактически математическая задача на условный экстремум заменяется задачей на безусловный экстремум, но с увеличением числа неизвестных. [c.119]
Коэффициент k называется множителем Лагранжа. Если в исходной задаче имеется набор ограничений, то в альтернативной задаче во втором слагаемом появляется сумма слагаемых с коэффициентами k(i). Если ограничения по г-му ресурсу в точке экстремума обращаются в равенство, то множитель Лагранжа для них не равен нулю. Если ограничения в точке экстремума не оказывают влияние на решение, то множитель Лагранжа для них равен нулю. [c.120]
Тем самым приходим к задаче нелинейного программирования с линейными ограничениями (4.2), (4.3) и вогнутой целевой функцией. Воспользуемся методом Лагранжа, причем так, как это было сделано в [58]. Построим функцию [c.104]
В связи с применением критерия (5.51) отметим следующее. На этом этапе при определении корреляционных связей чаще всего применяют метод наименьших квадратов. Однако необходимо напомнить, что метод наименьших квадратов не гарантирует неотрицательности искомых значений, а критерий (5.51) гарантирует. В работе [58] вывод об этом сделан только после проведения соответствующих выкладок с применением лагранжиана. В данном случае необходимости в этом нет. Дело здесь в том, что квадратическая функция определена на всей области R", а логарифмическая - только на R"+, т. е. только при положительных значениях переменных. Поэтому в первом случае следует ожидать оптимального решения любого знака и к ограничениям типа (5.52) добавлять ограничения на неотрицательность искомых значений переменных, а во втором в этом необходимости нет. Следовательно, критерий (5.51) надо признать технологически оправданным, тем более, что основное требование для функций, применяемых для этих целей, - обладание острым экстремумом — выполняется. [c.168]
Задача А является задачей нелинейного программирования с одним нетривиальным ограничением (неравенство (55)). Функция Лагранжа для задачи имеет вид [c.74]
Представляет интерес интерпретация множителей Лагранжа в этой задаче. Известно, что множители Лагранжа имеют смысл теневой цены они отражают изменения в оптимальном значении целевой функции, соответствующие малому изменению в ограничении. В нашей задаче речь идет о предельном увеличении (уменьшении) народнохозяйственной прибыли за счет увеличения (уменьшения) запасов на 1 т. Но именно это содержание вкладывается в понятие потребительной стоимости (затрат обратной связи) X. С учетом условия первого порядка величина X действительно равна разности между ценой и приростными затратами текущего периода, или их дисконтированной оценке в следующем периоде. [c.121]
Нашей целью является поиск значений X (причем их сумма равна единице), которые дают наименьшее значение V для определенного значения Е. Максимизировать (или минимизировать) функцию Н(Х, Y) при наличии условия или ограничения G(X, Y) можно с помощью метода Лагранжа. Для этого зададим функцию Лагранжа F(X, Y, L) [c.187]
Минимизация ограниченной функции многих переменных может быть проведена путем введения множителей Лагранжа и частного дифференцирования по каждой переменной. Поэтому мы сформулируем поставленную задачу в терминах функции Лагранжа, которую назовем Т [c.188]
Таким образом, мы можем утверждать, что геометрический оптимальный портфель — это портфель, в котором второй множитель Лагранжа равен 0, когда сумма весов ограничена единицей, а в том случае, когда сумма весов не ограничена, первый множитель Лагранжа равен - 2. Такой портфель, при снятии ограничений на сумму весов, также будет иметь второй множитель Лагранжа, равный 0. [c.218]
Метод множителей Лагранжа используется, когда целевая функция находится при функциональных ограничениях. Задача решается следующим образом. [c.194]
Это задача нелинейного программирования с одним линейным ограничением и условием неотрицательности переменных. Сначала строим функцию Лагранжа [c.228]
Основные теоремы Э.б. утверждают, что при определенных условиях конкурентное равновесие оптимально по Парето и любое оптимальное по Паре-то распределение ресурсов может быть достигнуто в конкурентной экономике. Впрочем, некоторые теоретики полагают, что оптимум в принципе может быть достигнут и без конкуренции, напр. в плановой экономике, если устанавливаемые "сверху" цены соответствуют оптимальным оценкам (множителям Лагранжа), полученным при решении задачи максимизации благосостояния при ресурсных ограничениях. Однако в реальной практике эта гипотеза пока не получила подтверждения, да и вряд ли получит жизнь всегда сложнее любой самой изощренной математической схемы. [c.401]
Максимизация L относительно Х ,Хгп X даст значения Х1 и Хг, при которых достигается максимальное значение Y учетом ограничений, называется множителем Лагранжа. [c.279]
Условие (9.59) следует из (9.63) с учетом отсутствия ограничений на х, условия же (9.58) вытекают из того, что по отношению к вектору параметров а задача (9.50), (9.28) является задачей нелинейного программирования, a S — ее функцией Лагранжа. [c.328]
Алгоритм получения условий оптимальности в форме принципа максимума. Для получения необходимых условий оптимальности в задаче с функционалом конкретного вида и конкретным набором связей можно воспользоваться условиями (9.58)-(9.60), если удастся записать функционал в форме (9.50), а каждое из условий в форме (9.51). Практически удобно наиболее распространенные типы критериев и ограничений переписать в канонической форме и сопоставить им слагаемые RQ и R Q в функции Лагранжа [c.382]
Здесь АО = 1 для невырожденного и АО = 0 для вырожденного решения. Так как параметр а не входит ни в какие другие слагаемые и, кроме и, и на этот параметр не наложено ограничений, то из условия стационарности по а функционала Лагранжа L следует [c.388]
Теорема Лагранжа устанавливает метод (известный как метод множителей Лагранжа ) нахождения необходимых условий экстремума при наличии ограничений типа равенств. Определим сначала функцию Лагранжа ф [c.179]
Теорема Лагранжа (теорема 10) устанавливает необходимые условия локального (а значит, и абсолютного) условного экстремума. В теореме 11 были получены достаточные условия локального условного минимума. Чтобы найти достаточные условия абсолютного условного минимума, поступим так же, как в случае безусловного минимума ( 9), добавив дополнительные ограничения типа выпуклости (вогнутости). [c.189]
Безусловно, эта задача математически эквивалентна случаю, когда X и G — векторы, а не матрицы, так что все теоремы остаются справедливыми. Введем тр множителей А (по одному на каждое ограничение gij(X) = 0, г = 1,. . . , m j = 1,.. . , р), и определим т х р матрицу множителей Лагранжа L = ( ij). Тогда функция Лагранжа имеет удобный вид [c.190]
Таким образом, множитель Лагранжа AQJ показывает, как меняется значение целевой функции в точке оптимума при малых изменениях в правой части j-ro ограничения. Предположим, например, что мы максимизируем прибыль фирмы при условиях ограничений на ресурсы. Тогда множитель Лагранжа АО — это дополнительная прибыль, которую фирма могла бы заработать при увеличении запаса данного ресурса на единицу, что, по сути, является максимальной ценой, которую фирма готова платить за эту дополнительную единицу ресурса. По этой причине множитель АО часто называется теневой ценой 1. [c.192]
Обратим внимание на одну особенность множителя Лаграпжа v, которая оказывается весьма полезной в экономических приложениях. Пусть величина b в ограничении g(xi, х2) = b является переменной. Тогда оптимальные решения и множитель Лагранжа становятся функциями Ь, т. е. имеем xl (b), xz (b) и v (b). Получаем [c.47]
Как известно, задача может быть решена с помощью функций Лагранжа. В более простых случаях задача сводится к нахождению либо максимума прибыли, либо минимума затрат. В этих случаях можно обойтись дифференциальными уравнениями. Но вернемся к вопросу о характере ограничений — о свойствах изокосты. [c.105]
Таким образом, мы можем утверждать, что эффективные границы портфелей с неограниченной суммой весов содержат одинаковые портфели с разным уровнем заемных средств (с разным плечом). Портфель, в котором меняется величина плеча для получения заданного уровня прибыли Е, когда снято ограничение суммы весов, будет иметь второй множитель Лагранжа, равный нулю, при сумме весов, равной 1. Теперь мы можем достаточно просто определить, каким будет наш неограниченный геометрический оптимальный портфель. Сначала найдем портфель, который имеет нулевое значение для второго множителя Лагранжа, когда сумма весов ограничена 1,00. Одним из способов поиска такого портфеля является процесс итераций. Получившийся в результате портфель поднимается (или опускается) рычагом в зависимости от выбранного Е для неограниченного портфеля. Значение Е, удовлетворяющее любому уравнению с (7.Оба) по (7.06г), и будет тем значением, которое соответствует неограниченному геометрическому оптимальному портфелю. Для выбора геометрического оптимального портфеля на эффективной границе AHPR для портфелей с неограниченными весами, можно использовать первый множитель Лагранжа, который определяет положение портфеля на эффективной границе. Вспомните (см. главу 6), что одним из побочных продуктов при определении состава портфеля методом элементарных построчных преобразований является первый множитель Лагранжа. Он выражает мгновенную скорость изменения дисперсии по отношению к ожидаемой прибыли (с обратным знаком). Первый множитель Лагранжа, равный - 2, означает, что в этой точке дисперсия изменяется по отношению к ожидаемой прибыли со скоростью 2. В результате, мы получим портфель, который геометрически оптимален. (7.06д) L1 = - 2, [c.218]
Lagrangian] — вспомогательная функция, применяемая при решении задач математического программирования, в частности линейного программирования. Образуется путем прибавления к целевой функции скалярного произведения двух векторов вектора разностей между константами ограничений и функциями ограничений и вектора (неизвестных) множителей, называемых множителями Лагранжа [c.166]
См. также Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткостъ, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна— Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Оптимальное распределение ресурсов, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача. [c.173]
Из этих условий вытекает, что множители Лагранжа при ограничениях, которые с введением вспомогательных неотрицательных переменных были преобразованы в равенства, должны быть равны нулю, если на оптимальном решении вспомогательная переменная положительна, и должны быть неотрицательны, если оптимальное значение этой переменной равно нулю (условия дополняющей нежесткости). [c.334]
Таким образом, если решение х задачи (9.89) невырожденное (До = 1), то антиградиент функции достижимости в точке С° равен вектору множителей Лагранжа А задачи (9.89) при d = f. В частности, при f = 0 в невырожденной задаче НП (До = 1) множители Лагранжа характеризуют чувствительность значения задачи к изменению ограничений. Если некоторое ограничение несущественно и его малое изменение никак не повлияет на значение целевой функции в точке х, то соответствующий множитель Лагранжа равен нулю. [c.340]
ПРОГРАММИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ (mathemati al programming) — раздел прикладной математики, включающий теорию и вычислительные проблемы оптимизации методов В общем виде эти проблемы формулируются как задачи максимизации целевой функции f на ограниченном мн-ве S max f(x), х e S e Rn, где Rn — пространство действительных n-компонентных векторов Если S состоит только из векторных величин, элементы которых целочисленны, то получается задача программирования целочисленного Когда f является линейной ф-цией, a S определяется линейными ограничениями, то возникает задача программирования ш-нейного Теоретические основы П м заложены Ж -Л Лагранжем (1736—1813), особенно быстро это направление прикладной математики развивается с 1960-х гг [c.203]