Формально получена сложная задача, однако и здесь напрашивается итерационный метод ее решения, при котором все условия (12) берутся в линейной форме, а квадратичные члены берутся из предыдущей итерации. Таким образом, каждый шаг этой процедуры потребует решения задачи на минимум квадратичного функционала при линейных ограничениях, что уже значительно проще соответствующие алгоритмы описаны, например, в 51. Мы ограничимся этим беглым и общим описанием, потому что в такой форме методы второго порядка, учитывая всю громоздкость предварительных вычислений, в сложных задачах применять будет, видимо, очень трудно и едва ли рационально. Однако можно ввести некоторые упрощения и получить более практичные, хотя и не столь последовательные, методы. [c.206]
В случае записи целевой функции как суммы линейной и квадратичной форм [c.248]
Различается ряд видов Ц.ф. линейная, нелинейная, выпуклая, квадратичная и др. — в соответствии с формой математической зависимости, которую они отображают. Следует также выделить термин "целевой функционал" он применяется обычно, если Ц.ф. задачи является функцией от некоторых функций-ограничений. [c.385]
Пусть а есть п х 1 вектор, А есть п х п матрица и В — п х га матрица. Выражение а х называется линейной формой по ж, выражение х Ах называется квадратичной формой по ж, а выражение х By — билинейной формой по х и у. В квадратичных формах без потери общности можно считать матрицу А симметрической, поскольку в противном случае А можно заменить на (А + А /2 [c.26]
Уравнение (7) показывает, что, в то время как первый дифференциал вещественной функции ф является линейной функцией от и, второй дифференциал будет квадратичной формой по и. [c.146]
Имеется ряд необходимых и достаточных условий положительной определенности квадратичной формы при линейных ограничениях, и одно из этих уело- [c.184]
Рассмотрим несколько примеров. Два наиболее важных случая скалярных функций от вектора х — это линейная форма а х и квадратичная форма х Ах. Пусть ф(х) = а х, где а — постоянный вектор. Тогда 6ф(х) = a dx, следовательно Оф(х) = а . Далее, пусть ф(х) = х Ах, где А — постоянная квадратная матрица. Тогда [c.230]
Рассмотрим схему Гаусса-Маркова (у, Xf3, <т2/), где r(X) = k. В 3 мы получили наилучшую аффинную несмещенную оценку для /3, /3 = (Х Х) 1Х у (оценка Гаусса-Маркова), минимизируя квадратичную форму (след ковариационной матрицы оценки) при линейном ограничении (несмещенность). В 4 мы показали, что оценка Гаусса— Маркова может быть также получена минимизацией (у — Х(3) (у — Х/3) по всем /3 из R. Тот факт, что метод наименьших квадратов (который является методом аппроксимации, а не оценивания) приводит к наилучшим аффинным оценкам, является довольно неожиданным и, конечно, не тривиальным. [c.355]
Достаточные условия экстремума функции можно сформулировать и на языке квадратичной формы, изучаемой в разделе Аналитическая геометрия и линейная алгебра . Достаточные условия экстремума функции многих (и не только двух) переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определенности квадратичной формы [c.310]
Разумеется, теперь нельзя говорить о методе второго порядка, однако можно привести соображения в пользу такого непоследовательного подхода ведь в окрестности минимума вырождается (обращается в нуль) линейная часть приращения ЬР0, поэтому естественно уточнить вычисления именно в этом месте ). Учитывая в условиях Ff—0, i=l, 2,.. ., m, лишь линейные по Ьи ( ) члены, мы будем получать невязки Ft [и (-)+8м (-)] 0 ( 8м 2), и их компенсация на следующей итерации потребует малой, порядка 8м а, части вариации управления. Труднее оправдать использование простейшей формы уравнения в вариациях при преобразовании линейной по Ьх (t) части вариации функционала Р0. Видимо, решающим аргументом здесь является относительная простота преобразования исходного выражения для ЪР0 (6). Выше мы убедились в том, что, используя линейную связь между Ьх (t) и 8м ( ), нетрудно довести выкладки до конца и преобразовать первоначальное выражение F0 (в виде квадратичной формы от о г ( ) и Su ( )) в квадратичную форму только от Ъи ( ). Попытка проделать ту же операцию, используя более точную форму уравнения в вариациях, хотя и не встретила принципиальных трудностей, однако привела к существенному усложнению всей процедуры, так что ее не так просто довести до конца даже на уровне формальных выкладок. [c.207]
Очевидно, что и линейно зависит от и . Поэтому минимальное значение / функционала /(и) есть квадратичная форма по м,- [c.241]
В физически линейной теории Ф есть квадратичная форма по мерам растяжения и изгиба. Последнее слагаемое в выражении для IT 3 (1-19) приводит к таким же добавкам, как и кубические члены в Ф. Поэтому в физически линейной теории его естественно опустить. В результате система уравнений теории оболочек приобретает следующую форму [c.266]
Вторая задача соответствует некоторой плоской задаче теории упругости. Минимизирующие функции линейно зависят от 7 и 1а, поэтому минимальное значение 0i будет квадратичной формой по 7 и 2а [c.348]
В таких задачах требуется вычислить вектор х — (л ь х2,. .., хп), удовлетворяющий линейным равенствам и неравенствам и обращающий в максимум сумму квадратичной и линейной формы [c.164]
Целевая функция — в экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум целевой функции и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи. Таким образом, целевая функция выступает как критерий оптимальности решения задачи. Различается ряд видов целевых функций линейная, нелинейная, выпуклая, квадратичная и др. — в соответствии с формой математической зависимости, которую они отображают. Следует также выделить термин целевой функционал он применяется обычно, если целевая функция задачи является функцией от некоторых функций-ограничений. [c.226]
Задачи по оптимизации решаются различными математическими методами, в основе которых лежат теория вероятностей и математическая статистика, линейная алгебра, нелинейное программирование и, в частности, его простейшая форма — квадратичное программирование, а также стохастическое и динамическое программирования и, наконец, матричное исчисление. [c.18]
При применении метода исключения переменных уравнение рефессии желательно представить сразу в полной квадратичной или кубичной форме с предварительным вычислением коэффициентов регрессии и корреляции и проверкой линейности модели по / -критерию. Исключение начинают с фактора, имеющего наименьший t-критерий. На каждом этапе после исключения каждого фактора для нового уравнения регрессии вычисляется множественный коэффициент корреляции, остаточная дисперсия и F-критерий. Для прекращения исключения факторов следует следить за изменением остаточной дисперсии. Как только она начнет увеличиваться — исключение факторов следует прекратить. Используется также метод контроля значений /-критерия. Для исключения следующего фактора мы сравниваем его значение ( ) с /-критерием предыдущего исключенного фактора и, если они отличаются незначительно, то фактор исключается. Если же различия /-критериев значительны, то исключение факторов прекращают. [c.121]
Форма — однородный многочлен, т.е. многочлен, степени всех членов которого равны (линейная, квадратичная, кубичная и тому подобные формы). [c.140]
Предостережение. Опыт решения задач оптимального управления методом проекции градиента еще не очень велик, и некоторые детали не совсем ясны. Автор хотел бы предупредить читателя о"возможных осложнениях. Прежде всего, не очень ясен вопрос о назначении величины rj, задающей требуемую относительную точность решения по значению минимизируемой формы (1). В задаче линейного программирования (при S= o) форма (1) имеет простой содержательный смысл — это значение F0 [Su ( )], и назначение ] =0,1 (0,2 или 0,05, если угодно) в особых разъяснениях не нуждается. В задаче квадратичного программирования форма (1) уже не имеет такого простого значения, часто ее значение [c.458]
Отождествление сущности связи с формой (типом функции) ее описания ведет иногда к эмпиризму, подтасовке эмпирического материала к заранее разработанным теоретическим гипотезам и выдаче результатов подобного эмпирического анализа в качестве доказательства теоретических выводов. В качестве формы связи в литературе приводят статистические функции, которые наиболее точно описывают данные эмпирических наблюдений. Соответственно говорят о линейной, квадратичной,гиперболической, экспоненциальной и т. п. формах связи, хотя имеется в виду лишь форма аппроксимирующей функции. [c.118]
Проведенные графический и математический анализы на ЭВМ показателей УФ (у) и ПФ (х), оказывающих наиболее существенное влияние величину УФ, по фактическим данным группы электромашиностроительных предприятия показали, что для всех видов УФ из 5 исследованных форм связи УФ и указанными ПФ (линейной, степенной квадратичной, степенной кубической, логарифмической по десятичным логарифмам, логарифмический по натуральным логарифмам) наиболее приемлемой является связь вида [c.525]
Примеры 1—4 (продолжение). Квадратичные функционалы ( ) в примерах 1—4 могут быть получены из билинейных форм, которые, если исключено ядро, положительны. Следовательно, эти функционалы строго выпуклы. Линейный функционал L(u) выпукл. Поэтому строго выпукл функционал /(и) = Е(и) — L(u). Множество J в примерах 1—4 выпукло. [c.84]
Основная задача регрессионного анализа - установление формы корреляционной связи, т.е. вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т.д.). [c.112]
Соотношения (1.4) и (1.6) определяют знаки главных миноров матрицы Гессе для нашей функции и тем самым являются достаточным условием неположительной определенности соответствующей квадратичной формы (1.3). Поэтому для вогнутости линейно однородных функций с двумя ресурсами условие (1.4) достаточно. [c.96]
СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ [spe ifi ation of a model] — один из этапов построения экономико-математической модели, на котором на основании предварительного анализа рассматриваемого экономического объекта или процесса в математической форме выражаются обнаруженные связи и соотношения, а значит, параметры и переменные, которые на данном этапе представляются существенными для цели исследования. Иными словами, См. есть выбор формулы связи переменных. Напр., в случае регрессионного анализа выбирается формула регрессии, подходящая для обнаруженных сочетаний независимых и зависимых переменных — линейная, квадратичная или иная. [c.338]
При линейных ограничениях выбор показателя качества идентификации в виде положительно определенной квадратичной формы (6.14) вполне оправдан. Модели квадратичного стохастического программирования поддаются конструктивному анализу. Учет нелинейных ограничений вида (6.15)-—(6.17) приводит к евылуклой и несвязной области допустимых планов. Исследование задач с. такими ограничениями связано с большими вычислительными трудностями независимо от выбора целевого функционала. В таких задачах выбор критерия качества иденти- фикации определяется главным образом содержательными соображениями. Трудности, связанные с упрощением вычислительной процедуры, отходят здесь на второй план. [c.49]
Линейные колебания. Принцип Рэлея. При А- -0 амплитуда колебаний стремится к нулю. Если Un К — гладкие функции и К обращается в нуль при и"( = 0, то для бесконечно малых амплитуд U можно заменить квадратичнрй формой по ик, и",-, а К — квадратичной формой по g 2К -= ркк ид tig (линейные члены отсутствуют в силу положительности U и К). Легко проверить, что стационарные точки имеют вид ик = VK (х) os в или ик = VK(X) sin в. После интегрирования по в вариационный принцип (3.3), (3.5) - (3.7) переходит в вариационный принцип Рэлея формы собственных колебаний являются стационарными точками функционала внутренней энергии ) [c.188]
Минимизируемая функция G является квадратичной относительно неизвестных величин at. Необходимым условием ее минимума является равенство нулю всех ее частных производных по аг Частные производные квадратичной функции являются линейными функциями, и, приравнивая их всех к нулю, мы получим систему из (т+1) линейных уравнений с (/я+1) неизвестными. Такая система имеет обычно единственное решение (за исключением особого еду чая, кргда столбцы ее линейно зависимы и решения,"нет или их бесконечно много однако данные реальных статистических наблюдений к такому особому случаю, вообще говоря, никогда не приводят). Данная система называется системой нормальных уравнений. Ее решение в явном виде удобнее всего выписать в векторно-мат-ричной форме, иначе оно становится слишком громоздким. Вектор-но-матричная запись и вывод решения системы нормальных уравнений приведены в Приложении при начальном ознакомлении с проблемой оно может быть опущено. [c.309]
Метод сопряженных градиентов использовался автором не только в серийных расчетах задач оптимального управления (в качестве одного из блоков решения задачи линейного или квадратичного программирования), но и в методических расчетах в условиях сравнительно высокой размерности. В частности, в 48 представлены результаты решения задачи линейного программирования итерационным методом, включающим и метод сопряженных градиентов. Видно, что сходимость метода не соответствует теоретическим предсказаниям, что приводит к определенному (и заметному) перерасходу машинного времени. Были проведены и специальные эксперименты по минимизации формы (Вх, Вх) (G=B B) со случайной матрицей В размером 100x100. Использовалась схема типа III. Алгоритм не давал нужной точности после 300 — 400 шагов. Для уменьшения влияния ошибок округления была применена комбинация схем II и III четыре итерации проводились с вычислением В по схеме III, а каждая пятая — по более громоздкой формуле схемы II. Это привело к улучшению сходимости (выигрыш можно оценить числом л 2), но проблемы не решило. [c.477]
Одним из важнейших понятий технического анализа является понятие тренда. Слово тренд - калька с английского trend (тенденция]. Однако точного определения тренда в техническом анализе не дается. И это не случайно. Дело в том, что тренд или тенденция временного ряда - это несколько условное понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную составляющую временного ряда (обычно монотонную, т.е. либо возрастающую, либо убывающую], которая может быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд реального временного ряда часто связан с действием природных (например, физических] законов или каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или временной ряд на регулярную часть (тренд) и колебательную часть (остаток]. Поэтому обычно предполагают, что тренд - это некоторая функция или кривая достаточно простого вида (линейная, квадратичная и т.п.], описывающая среднее поведение ряда или процесса. Если оказывается, что выделение такого тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме тренда считается допустимым. В техническом анализе обычно предполагается, что тренд линеен (и его график - прямая линия] или кусочно линеен (и тогда его график - ломаная линия]. [c.29]