Точное решение задачи можно найти, зная структуру (13). Оно определяется двумя параметрами tlf t2, вычисление которых требует решения некоторой нелинейной системы уравнений. Мы ограничимся здесь только общими указаниями, не доводя дела до окончательных формул. Итак, пусть заданы числа ti, t2. [c.300]
Перечислив те особенности, которыми обладают нелинейные задачи по сравнению с линейными, укажем теперь некоторые возможные пути их решения. Начнем с рассмотрения нелинейных задач специального вида. Такой характер имеет в ряде случаев и упоминавшаяся выше задача размещения. [c.73]
Перечислив основные отличия нелинейных задач по сравнению с линейными, укажем некоторые возможные пути их решения. [c.99]
При решении нелинейной задачи математического программирования (как многомерной, так и одномерной, и даже линейной) представляются возможными два направления. Первое из них — прямые методы нахождение экстремума, связанные с последовательным вычислением функции в некоторых точках области ее задания. Другое направление — это нахождение необходимых (или необходимых и достаточных) условий, которым должны удовлетворять координаты точки, доставляющей экстремум. Однако указанные направления не исключают друг друга и совместное использование методов того и другого типа весьма эффективно. [c.100]
Методы, рассмотренные в предыдущих главах, носили универсальный характер и были предназначены для решения очень широкого круга линейных и нелинейных задач. Платой за такую универсальность зачастую является снижение их эффективности, выражающееся в медленной сходимости, высоком объеме вычислений и т. п. В то же время существуют такие классы задач, для которых в силу их специфики разработаны более простые методы решения. Некоторых из них мы коснемся в этой главе. [c.109]
Из теоремы 1.1 следует, что любая обобщенная (и, в частности, нелинейная) задача о дополнительности есть задача решения некоторого вариационного неравенства. [c.32]
Если целевая функция является некоторой функцией найденных значений переменных, то для решения задачи применяют методы нелинейного программирования, в частности, его простейшую форму — квадратичное программирование. [c.153]
Зависимость отдельных составляющих целевой функции от числа пунктов разгрузки, включенных в какой-либо вариант внешнего транспортного обеспечения и условно рассматриваемых как непрерывные функции в области целочисленных величин числа пунктов разгрузки пгв, представлена на рис. 27. Как видно из рисунка, с увеличением числа пунктов разгрузки возрастают суммарные затраты на их организацию и уменьшаются транспортные расходы по доставке труб к месту работ. Следовательно, целевая функция как сумма указанных составляющих имеет экстремум при некотором значении числа пунктов разгрузки. Учитывая нелинейную зависимость функционала и его отдельных составляющих от числа вводимых пунктов разгрузки и искомых переменных, для решения поставленной задачи не могут быть применены классические методы математического программирования (например,. линейного). Как известно из курса высшей математики, математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Само название программирование взято из линейного программирования, где оно обычно обозначает распределение наилучшим образом ограниченных ресурсов для достижения поставленных целей. Следовательно, термин программирование здесь можно заменить термином планирование . [c.145]
Если ввести новые переменные vh = q>h(x), то для нахождения параметров понадобится решать ту же самую задачу, что и для (5.2). В некоторых случаях к виду (5.2) удается свести функции, нелинейные относительно параметров. Например, степенная производственная функция (3.1) сводится логарифмированием к линейной относительно параметров [c.111]
Определение нелинейной корреляционной зависимости. Одним из способов нахождения зависимости является метод замены переменной. Этот метод довольно часто используется при решении различных математических задач. Он заключается в том, что независимый фактор заменяется некоторой функцией этого фактора, которая переводит нелинейную зависимость в разряд линейных. [c.57]
Вопрос о том, в каких случаях необходимо учитывать нелинейные факторы и когда ими можно пренебречь, должен решаться особо в конкретных ситуациях. При этом следует иметь в виду, что, с одной стороны, неправомерное пренебрежение фактом нелинейности некоторых зависимостей приводит к неадекватному отражению реальных условий в модели, с другой — чрезмерная детализация характера зависимостей приводит к усложнению задачи и ее возможной неразрешимости существующими средствами. Если нелинейный фактор учитывается, необходимо использовать приближенные методы решения соответствующих моделей. [c.115]
Следует с самого начала предупредить предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п., оказываются весьма несовершенными. [c.171]
На рис. О.З а, б показаны некоторые важнейшие типы О.м., определяющих область допустимых решений в задачах математического программирования. (Для наглядности — в двумерном пространстве, в его первом квадранте.) Ограничения I, II, V—линейные, III, IV, VI — нелинейные. Линейными ограничениями являются на рис. О.З а также оси координат иначе говоря, в область допустимых решений здесь входят все точки, удовлетворяющие I и II, но кроме того отвечающие условию х1 > О, х2 > О (см. Неотрицательность значений). Кривая IV — ограничение переменной х2 сверху, VI — ограничение той же переменной снизу. Запись типа а < х < Ъ называется двусторонним ограничением. Все показанные ограничения относятся к типу ограничений-неравенств. Что касается ограничений-равенств, то они определяют область допустимых решений как точку (в одномерном пространстве), как линию (в двумерном пространстве), как гиперповерхность (в многомерном пространстве). [c.237]
Различается ряд видов Ц.ф. линейная, нелинейная, выпуклая, квадратичная и др. — в соответствии с формой математической зависимости, которую они отображают. Следует также выделить термин "целевой функционал" он применяется обычно, если Ц.ф. задачи является функцией от некоторых функций-ограничений. [c.385]
Обсудим некоторые особенности применения указанного метода для решения поставленной задачи. Задача в рассмотренной постановке является нелинейной и для большого количества переменных (неизвестных номеров событий) не всегда будет эффективно решаться с помощью процедуры Поиска решения. В таких случаях имеет смысл вначале ослабить требование единственности номера каждого события и заменить его требованием минимизации суммы квадратов отклонений количеств одинаковых номеров от единицы. Затем полученное решение можно использовать как начальное приближение в рассмотренном выше алгоритме. Следует также добавить, что нумерация одного и того же сетевого графика может быть неоднозначной, а, следовательно, существенно зависеть от начального приближения. [c.304]
Обсудим некоторые особенности применения указанного метода для решения поставленной задачи. Задача в рассмотренной постановке является нелинейной и для большого количества переменных (неизвестных номеров событий) не всегда будет эффективно решаться с помощью процедуры поиска решения. В таких случаях имеет смысл вначале ослабить требование единственности номера каждого события [c.187]
Функция достижимости. При исследовании экстремальных задач часто требуется найти зависимости их оптимального решения или их значения от некоторого параметра, входящего в условия задачи. Зависимость значения задачи от параметра называют функцией цены, функцией невязок и пр. Ниже мы будем использовать зависимость значения задачи нелинейного программирования от правых частей уравнений f(x) = 0, эту зависимость будем называть функцией достижимости [75]. [c.338]
Усредненные задачи с двумя типами переменных. Расширение задачи нелинейного программирования может быть проведено не по всем, а лишь по некоторым составляющим искомого решения. При технической реализации это соответствует ситуации, когда некоторые составляющие (обозначим их через х] можно при многократном повторении задачи менять от решения к решению, другие составляющие, будучи раз выбраны, остаются неизменными. Эту группу переменных обозначим через у. Например, х — режимные параметры процесса (расход, давление, температура и пр.), а у — конструктивные параметры аппарата. [c.374]
Модель (4.51)—(4.56) является хотя и нелинейной и целочисленной, но безвариантной, ибо мощность и специализация каждого из предприятий формируется в процессе решения из некоторого числа единиц основного технологического оборудования (как из детских кубиков). Никаких заранее, до решения задачи, заданных вариантов, типовых проектов и т. п. при такой постановке не существует (не требуется). Здесь происходит не выбор вариантов из ряда заранее заданных, а непосредственное их формирование в процессе решения задачи. Безвариантный подход в известной степени более гибок, однако вариантная постановка задачи развития и размещения производства имеет свои значительные преимущества. Запишем ее модель, для чего дополнительно введем следующие обозначения [c.161]
Во введении ( 1) рассмотрены постановка и содержательная интерпретация задачи. В 2 изучается область определения планов первого этапа. Параграф 3 посвящен условиям разрешимости задачи второго этапа. В 4 построена и исследуется детерминированная задача, решением которой является план первого этапа двухэтапной задачи. В 5 формулируются некоторые условия оптимальности плана первого этапа. В 6 и 7 излагаются обобщения двухэтапной задачи. В 6 построен и охарактеризован нелинейный аналог, а в 7 — бесконечно мерный аналог двухэтапной задачи стохастического программирования. [c.152]
Эта структура содержит два параметра ix, t2, для функции и (t) можно написать некоторое уравнение (аналог уравнения Эйлера), допускающее численное интегрирование tlt tz подбираются из условия х2 (Т1) =0,2 и условия шах х2 (Т) или из соответствующего условия трансверсальности. Мы используем эту задачу в качестве теста и" проиллюстрируем характерные трудности, возникающие при решении нелинейных П-систем. [c.234]
Разумеется, и здесь можно применить метод проекции градиента, но мы считаем (и это соответствует положению дел в прикладных задачах такого сорта), что проектирование на множество X, определяемое системой нелинейных уравнений / (z)=0, i=l, 2,.. . . . ., т, является слишком сложной операцией. Алгоритм поиска условного минимума состоит в том, что для каждой точки х нужно уметь строить улучшающую вариацию аргумента ох. При этом приходится иметь в виду не только понижение f (х), но и восстановление условий / (ж)=0, если они оказываются нарушенными. Итак, пусть есть некоторая точка xk, причем условия / (xk)=0 могут и не выполняться. Считая искомую вариацию Ьх малой и ограниченной условием Ьх S, где S — шаг процесса, поставим следующую естественную задачу для определения Ьх [c.400]
В задаче минимизации функции J (в) первостепенное значение имеет удачный выбор начального приближения 60. Разумеется, невозможно придумать общего правила, которое было бы удовлетворительно для всех случаев, т. е. для всех возможных нелинейных функций /J. Каждый раз приходится искать свое решение. Ниже предлагается набор некоторых способов нахождения грубых начальных приближений, который на практике может служить отправной точкой поиска удовлетворительных приближений в конкретной задаче. 9.6.1. Поиск на сетке. Особенно эффективен этот метод при небольшом числе собственно нелинейных параметров. Часто функции fi устроены так, что при фиксации значений одних параметров (которые и называем собственно нелинейными) [c.313]
Сложность и высокая размерность указанной нелинейной системы заставляют принять некоторые упрощающие допущения, не лишающие тем не менее поставленную задачу практического смысла. [c.171]
В практике хозяйственной деятельности встречаются производственные ситуации и организационные задачи, детальный анализ которых обнаруживает нелинейную зависимость их переменных. Например, стоимость строительства предприятий блока вспомогательного производства нелинейно зависит от их мощности с повышением производительности труда нелинейно снижается себестоимость строительно-монтажных работ и т.д. Если целевая функция или некоторые ограничения нелинейны, то приходится использовать модели нелинейного программирования. [c.247]
Другой тип модели экономического роста представляет модель, предложенная лауреатом Нобелевской премии Р. Солоу. По сравнению с уже рассмотренной моделью роста модель Солоу позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов. Во-первых, производственная функция в этой модели нелинейна и обладает свойством убывания предельной производительности. Во-вторых, модель учитывает выбытие основного капитала. В-третьих, в модель Солоу включается описание динамики трудовых ресурсов и технического прогресса и их влияние на экономический рост. В-четвертых, здесь ставится и решается задача максимизации уровня потребления на некотором множестве устойчивых траекторий. Все это, конечно, усложняет структуру модели, и получение точных формул для траекторий изменения основных ее показателей становится существенно более сложной задачей. Поэтому некоторые другие аспекты описываются в базовой модели Солоу упрощенно например, считаются постоянными норма сбережений и норма выбытия капитала, инвестиционные лаги отсутствуют, а производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба. Кроме того, на начальном уровне анализа модели ищутся не траектории изменения всех ее показателей (как в модели Харрода-Домара), а характеристики состояний устойчивого равновесия, к которым система выходит в долгосрочном периоде. С формальной точки зрения это представляет собой существенно более простую задачу. [c.209]
Иоффе А. Д., Юдин Д. Б. О некоторых нелинейных задачах стохастического программирования. — Журнал зыч. мат. и мат. физ. , 1970, т. 10, № 1. [c.386]
Некоторые нелинейные задачи. В проблеме осреднения нелинейных структур ситуация значительно осложняется. Одна из причин заключается в том, что макроскопические свойства в нелинейных задачах характеризуются не только тензором второго ранга и" 3, но и, вообще говоря, тензорами более высоких рангов — осредненный лагранжиан может содержать, например, слагаемое a0 3"16 vavpvyvs Мотивов геометрического характера уже недостаточно, чтобы существенно уменьшить число эффективных характеристик например, имеются тензоры, инвариантные относительно поворотов на угол тг/2 и не выражающиеся через метрический тензор. Таков, в частности, тензор, а01 6 = efe1 е е + е% е, где е°( и е% - единичные векторы, направленные по осям квадратной решетки при поворотах на угол тг/2 тензор аа у6 не изменяется, так как е°( е", е% - -е°(. Поэтому из одних геометрических соображений, нельзя вывести, скажем, свойство изотропности нелинейной шахматной структуры. [c.392]
Среди вычислительных алгоритмов Н.п. большое место занимают градиентные методы. Универсального же метода для нелинейных задач нет и, по-видимому, может не быть, поскольку они чрезвычайно разнообразны. Особенно трудно решаются многоэкстремалъпые задачи. Для некоторых типов задач выпуклого программирования (вид нелинейного) разработаны эффективные численные методы оптимизации. [c.222]
Термин метод Ньютона связан с тем, что для решения этих задач используется фундаментальная для вычислительной математики конструкция нелинейная задача линеаризуется в окрестности некоторой точки х, и решением возникшей линеаризованной задачи определяются вариация аргумента Ъх и переход к следующему приближению х- - Ъх. Заметим лишь, что ограничения типа s s s+ обеспечивают не только выполнение исходных ограничений х х а "1", но достаточную малость Ъх, требуемую возможностью использовать линейную аппроксимацию задачи. Встречается в приложениях. [c.435]
Многие нелинейные задачи связаны с исследованием некоторых многошаговых процессов организации, особенно многошаговых стохастических процессов, возникающих в условиях неопределенности информационной ситуации. К таким задачам относятся многочис- [c.248]
Между решением общей задачи нелинейного программирования и седловой точкой функции Лаг-ранжа существует тесная связь. Для известного оптимального вектора можно при некоторых естественных предположениях подобрать такой вектор А, чтобы пара векторов (г, А) являлась седловой точкой функции L (х, К). Этот факт утверждается известной теоремой Куна и Таккера вектор я является оптимальным вектором нелинейной задачи - тогда и только тогда, когда существует такой вектор А > О, что пара (я, А) есть седловая точка функции L (х, А). Значит, вместо того, чтобы специально решать задачу нелинейного программирования, можно (что зачастую проще) искать седловую точку функции, Лагранжа L (х, А). Зная ее, мы будем знать и решение задачи 1. Не будем утомлять читателей-экономистов доказатель- [c.106]
Доказательство следует непосредственно из классической теоремы о неявной функции, так как в условиях невырожденности нелинейная задача о дополнительности сводится к системе нелинейных уравнений в некоторой окрестности решения. [c.45]
Заметим, что на сети, изображенной на рис. 16, груз из пункта / может быть перевезен в пункт IX по разным дорогам. Если бы мы захотели перейти к матричной форме транспортной задачи, то нам надо было бы заранее решить, по какому из маршрутов мы повезем груз. Если пропускная способность каждой из дорог не ограничена, то переход к матричной форме не вызовет затруднений при относительно простой сети. В более сложных сетях этот вопрос можно решить с помощью специально предназначенных для этого алгоритмов. Если же пропускная способность некоторых участков сети дорог ограничена, то возникают осложнения следующего рода. Пусть по участку дороги от пункта IV до пункта V можно провезти не более 30 единиц груза. Но по этой дороге мы можем везти груз и из пункта / в пункты V, VIII и IX, и из пункта /// в пункт VI. Спрашивается, на какие из перевозок мы должны наложить ограничения при переходе к матричной постановке По-видимому, на все вместе. Но, с другой стороны, если возможности дороги между пунктами IV и V будут исчерпаны, часть грузов можно будет перевозить по другим дорогам. Однако при этом изменится величина затрат на перевозки единицы груза, так что в матричной постановке величина сц оказывается зависимой от ху, и задача становится нелинейной. Хотя все эти трудности перехода к матричной постановке задачи перевозки грузов все-таки можно преодолеть при помощи разнообразных искусственных приемов, многие предпочитают решать задачи в сетевой постановке, не переходя к матричной. Алгоритмы решения транспортной задачи были преобразованы к форме, пригодной для решения задач сразу на сети. К сожалению, эти алгоритмы более громоздки, чем алгоритмы решения транспортной задачи в матричной постановке. Есть и другие недостатки сетевой постановки задачи, есть и ряд дополнительных преимуществ, [c.160]
Но одно, а, может быть, во многих случаях и решающее обстоятельство позволяет думать, что применение нелинейных целочисленных моделей, с точки зрения приближенных методов их решения, предпочтительней, чем применение линейных моделей. Дело в том, что во второй линейной модели двухэтап-ная задача по выбору вариантов переводится в одноэтапную, так как вводится один массив булевых переменных. Этим самым подрывается возможность применения для ускорения сходимости приближенных методов различных эвристических приемов. В первой линейной модели, хотя и вводятся массивы булевых переменных для обоих этапов технической подготовки изводства, из-за промежуточного массива булевых переменных Zji, имеющих тот же смысл, что и во второй линейной модели, применение эвристических приемов затруднено. Ибо если для переменных у и уц можно сформулировать некоторые эвристические правила, то для переменных гц, служащих для связи переменных у и у — вряд ли. Бесспорно также, что. и размерность первой линейной модели значительно превосходит размерность нелинейной модели. [c.130]
Для некоторых конфигураций количество весов явно превосходило число входных данных (наблюдений). Хотя недостаток степеней свободы делает оценку сомнительной, мы приводим здесь результаты работы 13-27-1 модели, чтобы проиллюстрировать доказанную Колмогоровым в 1957 г. и популяризованную Хехт-Нильсеном [137] теорему о существовании отображения. Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция может быть реализована трехслойной нейронной сетью, имеющей во входном слое т (в нашем случае 13) элементов, промасштабированных на [0,1], (2т-1-1) элементов-процессоров в единственном скрытом слое и п элементов в выходном слое. Таким образом, гарантируется, что иерархическая многослойная нейронная сеть может решить любую нелинейно отделимую задачу и может точно реализовать любое отображение га-мерных входных векторов в и-мерные выходные. При этом теорема ничего не говорит нам ни о возможности реализовать отображение посредством сети меньших размеров, ни о том, что для этого подойдут обычно используемые сигмоидные преобразования. [c.100]
Первый момент — эконометрика как система специфических методов начала развиваться с осознания своих задач — отражения особенностей экономических переменных и связей между ними. В уравнения регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени — с целью отразить свойство оптимальности экономических переменных наличия значений, при которых достигается мини-максное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесения удобрений на урожайность до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности и даже может вызвать ее снижение. То же можно сказать о воздействии многих социально-экономических переменных (скажем, возраста рабочего на уровень производительности труда или влияния дохода на потребление некоторых продуктов питания и т. д.). В конкретных условиях нелинейность влияния переменных может не подтвердиться, если данные варьируют в узких пределах, т.е. являются однородными. [c.15]
Иоффе А. Д., Юдин Д. Б. О некоторых задачах нелинейного стохастического программирования. ДАН СССР, 1969, т. 186, № 1, с. 16—18. [c.386]
Обобщение результатов работ [38, 47, 56, 62] позволило нам разработать укрупненную схему, отражающую научную базу в виде моделей и методов теории логистики, приведенную на рис. 3.2. Понятие укрупненная использовано в том смысле, что названия некоторых методов являются общими для целой гаммы дисциплин. Например, блок оптимальное программирование включает линейное, целочисленное, нелинейное (выпуклое), динамическое программирование. А блок теория принятия решений объединяет многообразие задач выбора разовый, повторный, индивидуальный, групповой, однокритериаль-ный, многокритериальный, в условиях определенности, неопределенности и др. [c.44]
Смотреть страницы где упоминается термин Некоторые нелинейные задачи
: [c.222] [c.234] [c.236] [c.300] [c.17] [c.17] [c.101] [c.351] [c.375] [c.437]Смотреть главы в:
Вариационные принципы механики сплошной среды -> Некоторые нелинейные задачи