Тот факт, что распределение изменений волатильности логарифмически нормально, не так часто принимается во внимание. Чрезвычайная чувствительность цен опционов к волатильности базового инструмента делает покупку опциона (пут-опциона или колл-опциона) еще более привлекательной в смысле математического ожидания. [c.160]
Рассмотрим ту же модель при несколько другом старте 3 проигрыша, дающие в итоге убыток 8,000, при волатильности, превышающей тестовую в два раза. Эта реальная серия проигрышей соответствует тестовому профилю по длине, но в два раза превышает его в денежном выражении. Однако заметьте, что текущая волатильность в два раза выше волатильности тестового проседания. Эта ситуация может быть вполне нормальной. Почему Потому что при повышении волатильности и выигрыши, и убытки должны возрастать пропорционально. [c.189]
Доверительный уровень того, что прогноз волатильности будет правильным для одного стандартного отклонения с каждой стороны от среднего в нормальном распределении, равен 68%. Для двух стандартных отклонений доверительный уровень составит 95%. [c.305]
Вероятности 19 Вероятность событий 265 Взвешивание 72 Взрывы 94 Визуализация 38 Вознаграждение 136, 180 Волатильность 70, 261 нормальная 74 [c.276]
Самое популярное объяснение ограниченности заключается в том, что прибыли являются возвратными к среднему. Стохастический процесс, возвратный к среднему, может произвести ограниченное множество, но не увеличивающийся коэффициент Шарпа. Возвратный к среднему процесс подразумевает игру с нулевой суммой. Исключительно высокие доходы в одном периоде нейтрализуются доходами ниже среднего в более позднем периоде. Коэффициент Шарпа остался бы постоянным, потому что прибыли также были бы ограничены. Таким образом, средняя реверсия в прибылях не является полностью удовлетворительным объяснением ограниченности изменчивости. Независимо от этого процесс, который производит наблюдаемую временную структуру волатильности, явно не гауссов, при этом он недостаточно хорошо описывается нормальным распределением. [c.38]
Чтобы исследовать, остаются ли американские акции ограниченным множеством за этот период, мы проверяем временную структуру волатильности на рисунке 2.7. Она остается ограниченной. Эти результаты включены в Таблицу 2.5. Следовательно, либо валюта имеет более длинный "ограниченный" интервал, чем акции, либо она не имеет никаких ограничений. Последнее подразумевало бы, что валютный риск растет более быстрым темпом, чем нормальное распределение, но никогда не прекращает расти. Следовательно, перед долгосрочными держателями валюты стоят постоянно возрастающие уровни риска по мере расширения их инвестиционного горизонта. В отличие от акций и облигаций валюта не предлагает [c.42]
Первоначально стандартное отклонение использовалось потому, что оно измеряло дисперсию процента изменения цен (или прибылей) распределения вероятностей. Распределение вероятностей оценивалось на основании ненормализованных эмпирических данных. Чем больше стандартное отклонение, тем выше вероятность большого изменения цены - и тем рискованнее акция. Кроме того, полагалось (по причинам, обсуждавшимся ранее), что выборка прибылей осуществлялась из нормального распределения. Вероятности могли быть оценены на основании гауссовой нормы. Также предполагалось, что дисперсия была конечна следовательно, стандартное отклонение стремилось бы к значению, которое было стандартным отклонением совокупности. Стандартное отклонение было, конечно, выше, если временной ряд цен был более изрезан, поэтому стандартное отклонение стало известным как мера волатильности акций. Тот факт, что акция, склонная к сильным колебаниям, будет более волатильной и более рискованной, чем менее волатильная акция, казался исключительно разумным. На рисунке 10.1 показано пересчитанное на год стандартное отклонение 22-дневных прибылей для индекса S P 500 со 2 января 1945 г. по 1 августа 1990 г. [c.143]
По мере того как опционные трейдеры дошли до сути формулы Блэка-Шоулса, они начали покупать и продавать волатильность, как будто она была активом. Во многих отношениях опционная премия стала способом получения прибыли от периодов высокой (или низкой) неуверенности. Волатильность, все чаще и чаще рассматриваемая в качестве товара, начала накапливать свои собственные торговые характеристики. В общем, волатильность считалась "возвратной к среднему". Подъемы волатильности, вероятнее всего, сопровождались спадами, когда волатильность возвращалась к конечному среднему значению, подразумеваемому из нормального распределения. Волатильность имела свои собственные тренды. Как ни странно, подразумеваемая волатильность была также высоко волатильной, и эта [c.144]
В Главе 2 мы рассмотрели временную структуру волатильности рынков акций, облигаций и валюты. Временная структура волатильности - стандартное отклонение прибылей на различных горизонтах времени. Если рыночные прибыли определяются нормальным распределением, то волатильность должна увеличиться с квадратным корнем из времени. То есть пятидневные прибыли должны иметь стандартное отклонение, эквивалентное стандартному отклонению ежедневных прибылей, умноженному на квадратный корень из пяти. Однако мы нашли, что акции, облигации и валюта имеют такие временные структуры волатильности, которые увеличиваются быстрее квадратного корня из времени, что согласуется со свойствами распределений бесконечной дисперсии и дробного броуновского движения (FBM). Для чистого процесса FBM такое масштабирование должно увеличиваться бесконечно. Мы нашли, что валюта, как оказалось, не имеет предела масштабирования, но [c.244]
Рассмотрим для примера два ряда возможных прибылей, обозначенных 5i и 52 в таблице 6.1. Ряд 52 не нормально распределен и имеет выраженный тренд. Ряд Si не показывает тренда и имеет накопленную прибыль 1.93%, в то время как 2 имеет 22.83%. Однако Si имеет стандартное отклонение 1.70, в то время как S имеет фактически то же самое стандартное отклонение —1.71. В этом гипотетическом примере две акции с фактическими одинаковыми волатильностя-ми имеют совершенно различные характеристики прибылей. Пуристы скажут, что оба ряда не нормально распределены, и это делает их сравнение невозможным. Это совершенно вер- [c.83]
У моего исследования была двойная цель. Во-первых, я знал рынок был менее изменчив, чем обычно, поэтому я хотел охарактеризовать это различие. Я хотел исследовать историю рынка и посмотреть, нельзя ли через волатильность охарактеризовать нормальное поведение рынка. Во-вторых, я думал, что эта информация поможет лучше торговать в будущем. [c.107]
Так как AS1 распределено нормальным образом, то средняя (математическое ожидание) равно aAt, среднее квадратическое отклонение составляет ст VZF, а дисперсия равна ст Д/. Следовательно, ст 2 становится дисперсией за единицу времени параметр ст известен как волатильность. [c.468]
В дальнейшем было внесено множество других дополнений. Сейчас на многих рынках действуют модели новых поколений . Часть из них уточняет старые модели. Другие обходят нереальные предположения, заложенные в ранних вариантах, например, учитывают, что рыночная волатильность не распределена нормально. [c.148]
Волатильность и процентные ставки изменяются с течением времени, причем зачастую достаточно хаотично, т.е. они не только не статичны, но и не распределены нормально. [c.148]
Волатильность 19,1% предполагает, что в течение одного дня отклонение рыночной цены опциона составит примерно +/-1%. Предполагая нормальное распределение базового актива, он будет колебаться в пределах +/-1% в течение 2/3 рассматриваемого периода. Другими словами, однодневное стандартное отклонение стоимости базового актива составит 1%. [c.333]
Пример 1.60. Текущая доходность 10-летних казначейских облигаций с нулевым купоном равна 8%, а годовая волатильность этой доходности равна 15%. Тогда можно предположить, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами через год будет приблизительно распределена нормально с ожидаемым значением 0,08 и стандартным отклонением 0,08-0,15 = 0,012. Отсюда, в частности, следует, что с вероятностью 95,5% доходность через год окажется между 0,08-2-0,012 = 0,056 и 0,08 + 2-0,012 = 0,104, т.е. будет принимать значение между 5,60 и 10,40%. [c.78]
Можно рассмотреть влияние глубины ретроспективы N, по которой рассчитывается волатильность, на точность дельта-нормального метода (табл. 3.28-3.30). [c.263]
Низкая точность оценки риска нелинейных инструментов, таких как опционы. Дельта-нормальный метод измеряет чувствительность инструмента к риску только посредством дельты, т. е. изменение цены инструмента рассчитывается пропорционально величине дельты и изменению цены базисного актива, тогда как для нелинейного инструмента важную роль играет выпуклость и чувствительность к другим факторам риска (например, к изменению волатильности базисного актива). Поэтому дельта-нормальный метод приемлем для оценки нелинейных инструментов только при нахождении цены базового актива в очень узком диапазоне. [c.263]
Одна вещь, которая имеет смысл при покупке стрэддла, состоит в том, что большая неизвестность рынка акций - гэпы, связанные или с полностью новой частью корпоративной фундаментальной информации или с общим рыночным изменением (читай, крахом) - являются выгодными для владельцев стрэддлов. Покупатель стрэддла любит времена когда акции двигаются на большие расстояния. Огромные подвижки, замечаемые каждый день в акциях, обычно связаны с некоторыми неожиданными событиями. Движения такого масштаба очень сильно выбиваются из стандартов нормальной волатильности и ценового движения, так что они никогда не могли бы быть предсказаны, но, по крайней мере, владелец стрэддла может извлекать выгоду из этого. Только теория Хаоса, которая заявляет, что мелкое изменение в кажущемся несоответствующим месте может позже иметь большие эффекты, (возможно, хаотические), разрешает тот тип ценовых подвижек, которые являются банальными в торговле акции. Это относится ко многим областям природы, и некоторые люди пробовали применять эту теорию к рынку акций, особенно после краха 1987 года, который не казался предсказуемым никаким стандартным разделом математики, но оказался возможным согласно теории Хаоса. Если теория Хаоса говорит, что вы не можете предсказывать рынок акций, и многое подтверждает, что так оно и есть, то, возможно, вы должны прекратить пытаться это делать и вместо этого сконцентрироваться на [c.229]
Ни один из этих сценариев не учитывает падения подразумеваемой волатильности. Но, если бы опционы XYZ вернулись к более нормальной ценовой структуре, то стратегия извлекла бы выгоду. Например, в настоящее время этот спрэд, обычно, продавался бы приблизительно за 3.5 пункта, а не 4.5. Текущий высокий уровень подразумеваемой волатильности дает увеличенную цену спрэда. Рис. 141 также показывает, где могла бы быть прибыль, если подразумеваемая волатильность понижается к 50-ому процентилю прошлых значений для XYZ (IV de reases - подразумеваемая волатилъность уменьшается, см. рисунок) [c.239]
Таким образом, в соответствии с моделью Блэка для фьючерсов справедливая стоимость колл-опциона с ценой исполнения 600, сроком исполнения 15 сентября 1991 года, при цене базового инструмента на 1 августа 1991 года 575, при вола-тильности 25%, с учетом 252-дневного года и R = 0 составляет 10,1202625. Интересно отметить связь между опционами и базовыми инструментами, используя вышеперечисленные модели ценообразования. Мы знаем, что 0 является наименьшей ценой опциона, но верхняя цена — это цена самого базового инструмента. Модели демонстрируют, что теоретическая справедливая цена опциона приближается к верхнему значению (стоимости базового инструмента U) при росте любой или всех трех переменных Т, R или V Это означает, что если мы, например, увеличим Т (время до срока истечения опциона) до бесконечно большого значения, тогда цена опциона будет равна цене базового инструмента. В этой связи мы можем сказать, что все базовые инструменты в действительности эквивалентны опционам с бесконечным Т. Таким образом, все сказанное верно не только для опционов, но и для базовых инструментов, как будто они являются опционами с бесконечным Т. Модель фондовых опционов Блэка-Шоулса и модель опционов на фьючерсы Блэка построены на определенных допущениях. Разработчики этих моделей исходили из трех утверждений. Несмотря на недостатки этих утверждений, предложенные модели все-таки довольно точны, и цены опционов будут стремиться к значениям, полученным из моделей. Первое из этих утверждений состоит в том, что опцион не может быть исполнен до истечения срока. Это приводит к недооценке опционов алгериканского типа, которые могут исполняться до истечения срока. Второе утверждение предполагает, что мы знаем будущую волатильность базового инструмента, и она будет оставаться постоянной в течение срока действия опциона. На самом деле это не так (т.е. волатильность изменится). Кроме того, распределение изменений волатильности логарифмически нормально, и эту проблему модели не учитывают1. Еще одно допущение модели состоит в том, что безрисковая процентная ставка остается постоянной в течение времени действия опциона. Это также не обязательно. Более того, краткосрочные ставки логарифмически нормально распределены. То обстоятельство, что, чем выше краткосрочные ставки, тем выше будут цены опционов, и утверждение относительно неизменности краткосрочных ставок может привести к еще большей недооценке опциона по отношению к ожидаемой цене (его правильному арифметическому математическому ожиданию). Еще одно утверждение (возможно наиболее важное), которое может привести к недооценке стоимости опциона, рассчитанной с помощью модели, по отношению к действительно ожидаемой стоимости, состоит в том, что логарифмы изменений цены распределяются нормально. Если бы опционы характеризовались не числом дней до даты истечения срока, а числом тиков вверх или вниз до истечения, а цена за один раз могла бы изменяться только на 1 тик и он был бы статистически независим от предыдущего тика, то мы могли бы допустить существование нормального распределения. В нашем случае логарифмы изменений цены не имеют таких характеристик. Тем не менее теоретические справедливые цены, полученные с помощью моделей, используются профессионалами на рынке. Даже если некоторые трейдеры применяют модели, которые отличаются от показанных здесь, большинство из них дадут похожие теоретические справедливые цены. Когда реальные цены расходятся с теоретическими до такой степени, что спекулянты могут получить прибыль, цены начинают снова сходиться к так называемой теоретической справедливой цене . Тот факт, что мы можем спрог-нозировать с [c.160]
Существуют ситуации, когда трейдер не будет следовать вышеописанному совету, а надлежащая процедура не так проста и требует некоторой субъективности. Такая ситуация возникает сразу же после чрезмерного ценового движения. Примерами этого могут послужить крах американского и английского фондовых рынков в 1987 году, крах японского рынка в 1990 году и кризис ERM 1992 года на рынках процентных ставок Великобритании. В 1987 году, во время краха фондового рынка, цены некоторых акций США упали более чем на 25%. Короткие позиции по вола-тильности по большей части были ликвидированы, и многим пришлось выкупать обратно короткие опционные позиции по любой цене. Подразумеваемая волатильность некоторых опционов на акции резко возросла. Большинство опционов колл, которые были в деньгах, в один день стали далеко без денег. Как правило опционы колл без денег демонстрируют очень низкую дельту. Однако (как отмечалось в четвертой главе) при опционах колл без денег, если в модель введено очень высокое значение во-латильности, опционы колл без денег показывают и большее значение дельты. Во многих случаях после резкого ценового движения подразумеваемая волатильность опционов увеличивается, а потом постепенно начинает спадать, возвращаясь обратно до какого-то низкого уровня. Если такое происходит, то использование дельты, полученной при введении значения высокой волатильности, становится непригодным. Торговцу необходимо произвести субъективную оценку вероятности повторного успокоения рынка. Если это реализуется, кривая цены возвращается на прежний уровень, после чего следует и уменьшение значений дельты. Во время краха фондового рынка в 1987 году волатильность по многим активам вернулась к нормальному уровню после трех или четырех недель. В 1992 году паника вокруг процентной ставки ERM продолжалась всего одну неделю, но после краха в 1990 году на японском рынке опционов, обращающихся на фондовые индексы, потребовалось два года, чтобы подразумеваемые волатильности вернулись к прежним позициям. [c.195]
Вторая модель - модель, "управляемая ценой", обсуждаемая в данной главе, также основана на взаимодействии двух разных и взаимодополняющих друг с другом групп трейдеров. Первая группа шумовых трейдеров своим коллективным поведением приводит к росту волатильность цен по ускоряющейся, но стохастической спирали, обеспечивая, тем самым, возникновение ценовых пузырей. Рациональные инвесторы, понимая, что пузырь не подкреплен фактами, оценивают существование связанного с ним риска краха или серьезной коррекции, которая может привести цену назад к фундаментальной стоимости. Это поведение, воплощенное в условии отсутствия арбитража, приводит к следующим последствиям аномально взмывающие ввысь цены подразумевают растущую угрозу краха, определяемая как реальная возможность реализации такого сценария уже на следующий день с некоторой вероятностью. Растущий риск краха -неизбежная темная сторона рыночных доходов. Повторимся еще раз, крахи - это стохастические явления, оцениваемые количественно их коэффициентом риска, который отклоняется от нормального значения по мфе роста рьшочнои стоимости. В данной модели долгосрочное стационарное поведение рынка состоит из ряда временных интервалов, описываемых случайным блужданием, перемежающихся с интфвалами пузырей, которые заканчиваются крахами, возвращающими рынок ближе к фундаментальным оценкам, подобно тому, как резвящийся щенок, бегущий на поводке со своей хозяйкой, получает тычки, которые встряхивают его каждый раз, когда он полностью натягивает поводок. Замечательным свойством данной модели является то, что крах никогда не наступает при условии, что цены остаются в разумных пределах. Это происходит в силу того факта, что коэффициент риска краха является сильно нелинейной функцией ценового уровня, которая работает подобно усилителю. Вероятность краха, таким образом, очень низка при незначительных колебаниях цены от фундаментальной стоимости, но она все больше растет по мере роста цены. Даже если рыночная цена взмывает ввфх, всегда остается возможность, что она вернется к исходному положению мягко, без краха. Данный сценарий, однако, становится все менее и менее вфоятным, по мфе роста цены. [c.155]
Данное свидетельство, вместе с тем фактом, что пузыри не должны все время проникать в динамику цены, подталкивает нас к следующему естественному расширению модели. При самом простом и экономном расширении, мы можем предположить, что могут произойти только два режима пузырь и нормальный. Режим пузыря следует за предыдущим определением модели и прерывается крахами, случающимися с коэффициентом угрозы, управляемым уровнем цены. Нормальным режимом могут быть, например, стандартные случайные блуждания в рыночной модели с постоянным маленьким дрейфом и волатильностью. Переключения между режимами предполагаются совершенно случайными. Эта динамическая и очень простая модель обретает по существу все традиционно наблюдаемые факты эмпирических цен, то есть отсутствие связи с волатильностью, длинный хвост распределений приращений, очевидную фрактальность и мульти-фрактальность, наличие резких плоских пиков в структуре просто ценовых пиков. Помимо этого, модель предсказывает то, что периоды пузырей связаны с нестационарными корреляциями растущей волатильности и мы подтверждаем это анализом эмпирических данных. Об этом мы поговорим далее, в наших эмпирических главах 7-10. Предполагается, что очевидная долгосрочная корреляция волатильности является результатом [c.172]
Все данные целиком не имеют существенной асимметрии, однако обучающее и тестовое множество в отдельности имеют значимую отрицательную и положительную асимметрию, соответственно. Ежедневные доходы имеют эксцесс, намного превышающий эксцесс нормального распределения, и это особенно сильно выражено в последние 10 лет. Обратите внимание также на высокую (но постепенно понижающуюся после 1987 г.) волатильность в тестовом множестве. Любопытно, что обучающее множество сильно положительно (соответственно, отрицательно) скоррелировано с первым (четвертым) лагом, [c.212]
На рис. 7.5 представлен график цены сырой нефти на NYMEX за один год. Представленные огибающие являются 2.5-процентной полосой торговли, центрированной относительно 14-дневного скользящего среднего. Выбранное скользящее среднее хорошо представляло краткосрочные тенденции цены на сырую нефть в том году, а значение 2.5 процента является широко используемым на рынках параметром. Выбирая параметры полосы так, чтобы она охватывала нормальную волатильность, аналитик может определить, имеет ли место ситуация перекупленно-сти/перепроданности при выходе цены за пределы канала. Анализ можно сделать более чувствительным путем уменьшения ширины полосы и менее чувствительным путем увеличения его ширины. [c.74]
Используя R/S-анализ для поддержки гипотезы фрактального рынка, я показываю модели, объясняющие полученные результаты. Часть 4 рассматривает деятельность рынка с точки зрения стохастических процессов по существу, в ней разбирается фрактальный шум. В Главе 13, на основе использования R/S-анализа, различные "цветные" шумы анализируются и сравниваются с анализом рынка. Полученные результаты удивительно похожи. Кроме того, дается значимое объяснение поведению волатильности. В Главе 14 обсуждается статистика процессов фрактального шума, которые выдвигаются в качестве альтернативы традиционному нормальному распределению (распределению Гаусса). Обсуждается влияние фрактальных распределений на модели рынка. В Главе 15 показано влияние фрактальной статистики на проблему выбора портфеля и опционное ценообразование. Рассматриваются методы адаптирования таких моделей к фрактальным распределениям. [c.7]
Другое основное предположение, которое необходимо для применения нормального распределения, затрагивает временную структуру волатильности. Как правило, мы используем стандартное отклонение для измерения волатильности и предполагаем, что она подвергается масштабированию согласно квадратному корню из времени. Например, мы "пересчитываем на год" стандартное отклонение ежемесячных прибылей посредством умножения его на квадратный корень из 12. Эта практика происходит из наблюдения Эйнштейна (Einstein, 1905), что расстояние, которое проходит частица в броуновском движении, увеличивается с квадратным корнем из времени, затраченного на его измерение. [c.37]
В Главе 10, мы обсуждали формулу Блэка-Шоулса (Bla k, S holes, 1973). Важно помнить, что основная формула предназначена для "европейских" опционов -опционов, которые могут быть исполнены только по наступлении срока. Мы обсуждали использование уравнения (10.1) для изучения волатильности, но его первоначальная цель состояла в вычислении справедливой цены опциона. Кажется, что формула работает достаточно хорошо, когда опцион имеет нулевую внутреннюю стоимость, или близкую к нулю, но большинство опционных трейдеров находит, что формула ненадежна, когда опционы находятся глубоко "без-денег" (out-of-the-money). Опционы всегда будут иметь стоимость, даже когда формула Блэка-Шоулса говорит, что они фактически должны стоить ноль. Существует много объяснений этого систематического отступления от формулы. Самое разумное - толщина отрицательного хвоста в наблюдаемом частотном распределении прибылей по акциям. Рынок знает, что вероятность большого события больше, чем говорит нам нормальное распределение, и оценивает опцион соответственно. [c.215]
Позже Тернер и Вейгель (Turner, Weigel, 1990) провели более глубокое изучение волатильности, используя дневной индекс рейтинговой компании Стандард энд Пур (S Р) с 1928 по 1990 гг. — результаты оказались похожими. В таблице 3.1 представлены эти данные. Авторы нашли, что распределения дневной прибыли по индексам Доу-Джонса и S Р имеют отрицательную асимметрию и большую плотность в окрестности среднего значения, а также в области очень больших и очень малых прибылей, — если сравнивать это распределение с нормальным . [c.46]
Придя к выводу о том, что рыночные прибыли не следуют нормальному распределению, нельзя удивляться, если волатильность окажется весьма неустойчивой. Причина в том, что дисперсия устойчива и конечна только для нормального распределения, а рынки капитала, следуя постулату Мандель-брота, подчиняются устойчивым распределениям Парето. [c.49]
Исследования волатильности имеют тенденцию фокусироваться на устойчивости во времени. Например, при нормальном распределении дисперсия 5-дневной прибыли должна быть в пять раз больше дисперсии дневной прибыли. Другой метод, использующий стандартное отклонение вместо дис-иерсии, основан на умножении дневного стандартного отклонения на корень квадратный из 5. Это скейлинговое свойство нормального распределения называется правилом Т1/2, где — временной интервал. [c.49]
Сообщество инвесторов часто аннуализирует риск, используя правило Т1/2. В отчетах обычно представляются го-Довые прибыли, но при этом волатильность оценивается по месячным прибылям. Поэтому месячное стандартное отклонение преобразуется в годовое посредством умножения его на Квадратный корень из 12, — совершенно приемлемый метод в °м случае, если распределение нормально. Однако мы ви-ДЗДи, что прибыли не следуют нормальному распределению, за этим скрывается [c.49]
Описание моделей семейства GAR H и моделей "стохастической волатильности" давалось в рамках условного подхода. При этом условное распределение Law(/in стп) было всегда нормальным, (0,0 ), где сг предсказуемым образом зависели от "прошлого" Один из естественно возникающих при таком подходе вопросов заключается в следующем каковы безусловные распределения Law(/in), Law(/ii,..., /in), n 1 [c.214]
Если бы распределение доходностей подчинялось нормальному распределению, то знание волатильности, измеренной на временном периоде т, давало бы значение волатильности на временном периоде Тсогласно известной формуле Эйнштейна [c.203]
Более того, утверждается, что дисперсия и волатильность растут с ростом масштаба быстрее, чем это предписано нормальным законом распределения, т.е. Н > 0,5. Показатель степени Н называется показателем Хёрста. Случай Н = 0,5 соответствует так называемому белому шуму или случайному блужданию, т.е. процессу, полностью лишенному памяти и описываемому нормальным распределением. [c.204]
Эти границы хорошо работают на спокойных рынках. Вблизи вершин рынка и особенно в периоды глубоких спадов работоспособность таких границ может быть поставлена под сомнение. В эти моменты волатильность резко увеличивается, что существенно раздвигает границы. Кроме того, представления (47.6) для границ доверительного интервала справедливы лишь в том случае, если доходность рассматривается, как нормально распределенная случайная величина ( белый шум ). Анализ временных рядов цен однозначно показывает, что рынки устроены гораздо сложнее. Их доходности не подчиняются нормальному распределению (см., например, гл. 19 и рис. 19.4), поэтому в ряде случаев под экспонентой формулы (47.6) выражение D JT, может быть заменено на DdT", следующее из формулы (19.8), с показателем Хёрста Н> 0,5 [c.489]
Табл. 1-1 изображает результат программы, проверявшей данные по непрерывным фьючерсам на индекс S P 500 (дневные данные от Pinna le Data orporation (800-724-4903)). Программа не обнаружила неадекватных цен или объемов в этом наборе данных не было примеров максимальной цены, меньшей, чем цена закрытия, минимальной, большей, чем цена открытия, отрицательного объема и других ложных данных. Два дня, впрочем, имели подозрительно высокие значения один — на 10/19/87 (в отчете 871019), а другой — на 10/13/89. Аномальное значение на 10/19/87 не представляет собой ошибки, а связано с волатильностью, вызванной крупным падением рынка значение на 10/13/89 также не является ошибкой, а связано с так называемым юбилейным эффектом. Поскольку эти два значения не были ошибочными, коррекции не потребовалось. При этом наличие таких значений в данных должно привлечь внимание к тому факту, что на рынке случаются события, когда изменения цены достигают экстремальных пропорций, и система должна быть способна справляться с такими случаями. Все значения в табл. 1-1 стандартизованы, т.е. вычислены путем деления ценового интервала данного дня на усредненный интервал 20 предыдущих дней. Как часто бывает с рыночными данными, распределение таких стандартизованных показателей более растянуто , чем можно было бы ожидать при нормальном распределении, но, тем не менее, статистически события 10/19/87 и 10/13/89 — исключения. Во всех остальных случаях распределение давало упорядоченную картину стандартизованные данные изменялись от 0 до 7 и лишь в отдельных случаях превышали 10. [c.26]
Если годовая волатильность доходности достаточно мала, то можно считать, что доходность финансового инструмента через год распределена приблизительно нормально с параметрами г и гстгоа. [c.78]
Предположим, трейдер имеет открытую позицию по валютным контрактам на сумму в 100 млн. долл., а волатильность евро к доллару составляет 12% за год. Фирма хочет держать достаточно капитала, чтобы покрыть 99% возможных убытков. Поскольку 1% для функции нормального распределения соответствует 2,326 стандартных отклонений от средней, наихудший ожидаемый убыток 2,326 0,12 100 = 28 млн. долл. Тогда оценка эффективности трейдера составит отношение прибыли на достаточный для покрытия рисков капитал RARO = 10/28 = 36%. [c.228]
Дельта-нормальный метод расчета показателя VaR уходит своими корнями в современную теорию портфеля финансовых активов (modem portfolio theory, MPT), в которой мерой рыночного риска выступает дисперсия (или стандартное отклонение) доходности портфеля. В этом методе волатильность доходности используется в качестве базы для получения другой, более удобной на практике меры риска — наибольшего ожидаемого убытка. [c.253]