Оценку центра распределения по выборке можно проводить различными способами. Не зная априорно закона распределения случайной величины, невозможно заранее указать наиболее приемлемый способ. К тому же, некоторые из этих оценок чувствительны к наличию аномальных значений в выборке (промахов). [c.59]
В настоящей главе исследуются одноэтапные задачи стохастического программирования с априорными решающими правилами. Решения в этих задачах принимаются на основе известных статистических характеристик распределения случайных значений возможных исход- [c.61]
При рассмотрении проблемы идентифицируемости мы ограничились случаем, когда имеются априорные ограничения только на структурные коэффициенты. Ясно, что ограничения на вид распределения случайных возмущений могут сузить класс М допустимых преобразований так, что неидентифицируемое без этих ограничений уравнение станет идентифицируемым. [c.411]
Одно значение этой случайной переменной соответствует величине среднего параметра налаженного процесса, остальные величинам разлаженного процесса. Авторы предполагали, что время, в течение которого процесс находится в налаженном состоянии, подчиняется экспоненциальному распределению. Модель была задумана так, чтобы определить распределение вероятностей конечных состояний среднего параметра разлаженного процесса. С помощью этой модели стало возможным приблизить почти все требующиеся априорные распределения. Ожидаемые полные затраты на единицу продукции были даны как сумма трех слагаемых [c.133]
В гл. 6 методы принятия решений, рассмотренные в предыдущих главах, обобщаются на ситуации, характеризуемые случайными величинами. При этом принимаются во внимание нормальные и -распределения случайных величин, параметры которых могут быть определены опять-таки путем элементарных экспериментов. Анализируется связь между априорным и апостериорным распределениями в процессе последовательного принятия решений. Рассматривается одна из важных проблем руководства — принимать ли решение на основе того, что уже известно, или предварительно разработать и реализовать программу сбора дополнительной информации, которая, конечно, потребует определенных затрат. [c.8]
Сосредоточим теперь внимание на смещении оценок, измеряемом с помощью математического ожидания (среднего значения) для распределения ошибок. Не имея полного представления о ситуации, руководитель стремится выразить эту неопределенность в виде вероятностей или рассматривать среднее значение или ошибку процесса оценки как непрерывную случайную переменную. Наша задача состоит в том, чтобы максимально облегчить отыскание такого априорного распределения и помочь руководителю выявить некоторые следствия найденного распределения, полезные с точки зрения выработки логически оправданного поведения. [c.104]
Чтобы проиллюстрировать вычисление ожидаемой ценности выборочной информации и ожидаемой ценности полной информации, снова обратимся к нашему простому примеру. Доход от рассматриваемого контракта можно считать нормально распределенной случайной величиной с известной дисперсией и неопределенным средним значением. Лицо, принимающее решение, выражает свою неуверенность (неопределенность) относительно среднего значения дохода, рассматривая его как случайную величину с нормальным априорным распределением. Ему нужно принять решение — заключить ли этот контракт. Он намерен заключить его только в том случае, если ожидаемый доход будет больше нуля. Ожидаемый доход, связанный с наилучшим априорным действием, равен в силу этого [c.116]
Для планирования деятельности фирмы важно оценить средний ежемесячный объем продаж данного товара. Будем считать ежемесячный объем продаж товара нормально распределенной случайной величиной с известной дисперсией и неопределенным средним. Априорное распределение для среднего ежемесячного объема продаж также нормально распределено. Должна быть дана однозначная оценка. Считается, что убытки фирмы пропорциональны квадрату разности между этой оценкой и истинным значением среднего ежемесячного объема продаж. Фирма хочет минимизировать ожидаемые убытки. [c.123]
Добавим теперь предположение о том, что дисперсия распределения спроса известна, а его математическое ожидание является неопределенным. Предположим также, что распределение /Ос) является нормальным с математическим ожиданием т и дисперсией .Неопределенность относительно m состоит в том, что т само является нормально распределенной случайной величиной с априорными параметрами трг и vpr. Тогда априорное распределение спроса является нормальным распределением со средним значением трг и дисперсией, определяемой выражением [c.149]
Оказывается, что этим требованиям очень хорошо удовлетворяет семейство (3-распределений. Априорное распределение доли дефектных образцов может быть принято за случайную переменную с -распределением вида [c.184]
Предположим, что прибыль от возможности, выявленной на гс-м этапе, рассматривается как нормально распределенная случайная величина хп со средним значением т и дисперсией и. Средние значения считаются неопределенными, и с каждым из них связывается априорное распределение PR(m). Таким образом, задано также априорное распределение для каждой из величин х . Прибыли, которые могли бы быть получены при использовании возможностей, открытых на этапах от 1 до п — 1, рассматриваются как информация, применяемая для перехода от априорного распределения величины хп к апостериорному, обозначаемому нами как [c.213]
Вначале величины хп являются случайными переменными, имеющими, например, нормальные распределения, каждое со средним значением т и дисперсией v. Предположим, что дисперсии известны, но средние значения неопределенны. Априорное распределение каждого среднего значения отражает эту неопределенность, и вполне вероятно, что дисперсии их априорного распределения увеличиваются по мере возрастания п. Допустим, что можно получить априорное распределение спроса для каждого периода, используя априорные распределения средних в этом периоде. Когда периоды оканчиваются, фактический спрос фиксируется и используется в качестве основы для пересмотра неопределенности спроса в последующие периоды. Таким образом, на каждом этапе мы имеем для оставшихся [c.219]
Однако на практике гетероскедастичность не так уж и редка. Зачастую есть основания считать, что вероятностные распределения случайных отклонений Si при различных наблюдениях будут различными. Это не означает, что случайные отклонения обязательно будут большими при определенных наблюдениях и малыми - при других, но это означает, что априорная вероятность этого велика. Поэтому важно понимать суть этого явления и его последствия. [c.210]
Последнее обстоятельство привело к появлению теории дуального управления, где, как правило, неизвестным параметрам приписываются вероятностные распределения, заданные с точностью до априорных оценок случайных величин. [c.9]
В одноэтапных задачах решение представляет собой детерминированный вектор, определенный до наблюдения случайных параметров условий на основе априорной оценки ситуации, или решающее правило, позволяющее вычислить численное значение решения в зависимости от реализованных значений случайных исходных данных. В зависимости от содержания решение стохастической задачи определяется в чистых или смешанных стратегиях. В чистых стратегиях механизм решения является детерминированным и определяет решение в виде вектора или вектор-функции, зависящей от случайных исходных данных. Смешанная стратегия использует случайный механизм решения и определяет решающие распределения. [c.54]
Таким образом, в общем случае решение задачи стохастического программирования представляет собой решающее правило или решающее распределение, зависящее, вообще говоря, от двух групп факторов. Факторы первой группы не связаны с наблюдением текущих значений параметров условий задачи. Они определяются априорной информацией— некоторыми характеристиками распределения или выборкой возможных значений случайных параметров условий. Факторы первой группы могут быть заблаговременно использованы для построения (или для последовательного совершенствования) решающего правила или решающего распределения. Факторы второй группы определяются апостериорной информацией, появляющейся в результате наблюдения за конкретной реализацией параметров условий задачи. [c.5]
В случаях, когда решение предшествует наблюдению, решающие правила и решающие распределения зависят только от детерминированных параметров и статистических характеристик случайных параметров условий задачи. В задачах, в которых решение следует за наблюдением, решающие правила (и статистические характеристики решающих распределений) представляют собой функции, таблицы или инструкции, устанавливающие зависимость решения как от априорной информации, так и от реализованных значений случайных параметров условий задачи. [c.5]
В настоящей главе под планом и оптимальным планом задачи подразумевается решающее распределение — безусловное или условное (в зависимости от постановки задачи) распределение компонент вектора х. Как и ранее, при рассмотрении решающих правил, целесообразно исследовать два крайних случая — априорные и апостериорные решающие распределения, отвечающие априорным и апостериорным решающим правилам при решении задачи в чистых стратегиях. Компоненты решения в априорных решающих распределениях, как и составляющие априорных решающих правил, не зависят от реализаций случайных значений параметров условий задачи. Составляющие апостериорных решающих распределений являются условными распределениями при фиксированных реализациях случайных исходных данных. Как и в предыдущей главе, естественно рассматривать случаи, когда функциональный вид решающего распределения задан и определению подлежат лишь параметры распределения, а также общий случай, когда вид распределения заранее не фиксирован. [c.134]
Условные экстремальные задачи, в которых смешанные стратегии имеют содержательный смысл, естественно разделить на три класса. К первому классу отнесем задачи математического программирования с детерминированными условиями, в которых оптимальный план определяется в виде решающего распределения. Функционалы, выражающие показатели качества решения и ограничения таких моделей, заменяются их математическими ожиданиями. Во второй класс включим стохастические задачи, в которых из содержательных соображений решение должно быть принято до наблюдения реализации случайных параметров условий. Решающие распределения здесь не зависят от реализации случая. По аналогии с априорными решающими правилами естественно [c.137]
В (148] и 306] условия оптимальности решения стохастических задач с фиксированным функциональным видом априорных решающих распределений использованы для построения адаптивных алгоритмов вычисления набора а искомых параметров распределения. При некоторых предположениях можно доказать, что такие итеративные алгоритмы, основанные на идеях стохастической аппроксимации, позволяют по последовательным реализациям случайных параметров условий задачи получить последовательность векторов ап, сходящуюся к оптимальному [c.144]
Рассмотрим задачу стохастического программирования, оптимальный план которой определяется в априорных решающих распределениях. Будем предполагать, что смешанные стратегии х и случайные параметры и условий задачи статистически независимы, т. е. Fm x = = FJX. [c.146]
Будем считать, что решение задачи в априорных решающих распределениях осмысленно и оправдано содержательной постановкой задачи. Предполагая составляющие х, вектора х независимыми случайными величинами, принимающими значения 0 и 1, и переходя к переменным p-j, перепишем задачу (6.13) — (6.15) в виде [c.150]
Результат однократного измерения описывается выражением (5), приведенным в разд. 3.1. Сам по себе он ни о чем еще не говорит, так как является случайным значением измеряемой величины. Необходимым условием проведения однократного измерения служит наличие априорной информации. К ней относится, например, информация о виде закона распределения вероятности показания и мере его рассеяния, которая извлекается из опыта предшествующих измерений. Если ее нет, то используется информация о том, насколько значение измеряемой величины может отличаться от результата однократного измерения. Такая информация бывает представлена классом точности средства измерений (см. разд. 2.3.3). К априорной относится информация о значении аддитивной или мультипликативной поправки (для конкретности ограничимся рассмотрением аддитивной поправки 0Л-). Если оно не известно, то это учитывается ситуационной моделью, согласно которой с одинаковом вероятностью значение поправки может быть, например, любым в пределах от min Д° тах- Без априорной информации выполнение однократного измерения бессмысленно. [c.84]
Вслед за анализом априорной информации и тщательной подготовкой к многократному измерению получают и i независимых значений отсчета. Эта основная измерительная процедура может быть организована по-разному. Если изменением измеряемой величины во времени можно пренебречь, то все значения отсчета проще всего получить путем многократного повторения операции сравнения (2) с помощью одного и того же средства измерений. Отсчет в этом случае будет описываться эмпирической плотностью распределения вероятности P(XI, х , . . , х/,. . . , хп) — см. пример 12, — где согласно основному постулату метрологии каждое значение отсчета является случайным числом, подчиняющимся этому закону распределения вероятности. Такие значения отсчета х , имеющие одинаковую дисперсию, называются равноточными. Если же из априорной информации следует, что за время измерения произойдет существенное изменение измеряемой величины, то ее измеряют одновременно несколькими средствами измерений, каждое из которых дает одно из независимых значений отсчета х,. Так как средства измерений могут отличаться по точности, то в эмпирической плотности распределения вероятности отсчета P(xl, х2,. . . , Хр. . . , хп) случайные числах,, могут иметь разную дисперсию. Такие значения отсчета х( называются неравноточными. Многократное измерение с неравноточными значениями отсчета рассматривается в следующем разделе. [c.95]
Такое положение дел усложняется лишь незначительно, если игрок 2 имеет более одной стратегии ( у > 1), но можно говорить о случайном выборе им своей стратегии, т.е. об известном игроку 1 априорном вероятностном распределении Y на у. [c.26]
Априорная информация, заданная в терминах неравенства (6.10), является более практически доступной, чем обычно используемая связанная с типом распределения регрессионных остатков. Так, если параметрическое семейство случайных величин [c.193]
При заданных априорных вероятностных распределениях для /, и С, и допуская независимость случайных величин /f и Ср мы можем написать априорное вероятностное распределение для т ( t). После получения некоторого наблюдения с (t) нам потребуется функция правдоподобия t для фиксирования значений t. [c.130]
Очевидно, что d является случайной переменной с нормальными априорным и апостериорным распределениями. Мы интересуемся априорным ожидаемым значением апостериорного среднего d, которое равно [c.131]
В качестве простого примера предположим, что неопределенность относительно затрат на выполнение контракта выражена путем представления ее в виде случайной величины, распределенной с постоянной плотностью на отрезке от v до w. Тогда априорно ожидаемые затраты на выполнение контракта будут иметь вид [c.177]
При рассмотрении выборочных данных требование постоянства дисперсии случайных отклонений может вызвать определенное недоумение в силу того, что при каждом i-м наблюдении имеется единственное значение Si. Откуда же появляется разброс Дело в том, что при рассмотрении выборочных данных мы имеем дело с конкретными реализациями зависимой переменной yj и соответственно с определенными случайными отклонениями Si, i = 1,2,. .., п. Но до осуществления выборки эти показатели априори могли принимать произвольные значения на основе некоторых вероятностных распределений. Одним из требований к этим распределениям является равенство дисперсий. Данное условие подразумевает, что несмотря на то что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим либо маленьким, положительным либо отрицательным, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую [c.209]
Подобные ситуации рассматривались в разд. 5.7 в связи с планированием невосстанавливаемого запаса. Применим тот же подход к задаче о восстанавливаемом ЗИП при априорно неизвестных интенсивности отказов Л и восстановлений ц. Как было показано выше, оптимальный запас зависит от названных параметров только через их отношение р — A//I. С помощью предварительных просчетов по аналогии или методом экспертных оценок можно установить лишь диапазон изменения 0<анедостаточности информации р приходится считать случайной величиной, распределенной на [а, 6] равновероятно. Попутно заметим, что равномерность распределения не является ограничением обсуждаемого метода. Это положение используется только при выводе формулы для расчета затрат и ее конкретизации. При наличии другого распределения оно вводится в расчетную схему аналогичным образом. [c.295]
Подгонка к историческим данным требуется при обоих подходах. Развиваемый в настоящей главе непараметрический подход является иным по самой своей сути. Он не требует априорных предположений о виде функционала процесса, формирующего структуру процентных ставок, и распределения, характеризующего динамику наблюдаемых случайных величин. Мы использовали алгоритм СОК для того, чтобы получить картину распределения структуры процентных ставок и ее изменения с течением времени (скачки процентных ставок) на материале набора исторических данных. Прибегнув затем к численному моделированию методом Монте-Карло, мы получили картину изменения структуры процентных ставок в долгосрочной перспективе. [c.65]
Предположим теперь, что входное возмущение W является случайным сигналом, априорная информация о вероятностном распределении которого исчерпывается следующим W - mi -мерная стационарная гауссовская последовательность, средняя анизотропия которой ограничена сверху известным неотрицательным параметром о. Точнее, последнее означает, что W генерируется из mi-мерного гауссовского белого шума V с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей посредством неизвестного формирующего фильтра G, лежащего я семействе [c.37]
Пусть мы хотим сделать выбор между двумя способами производства в условиях неопределенности относительно требуемого объема производства. Затраты по способу 1 даются функцией a- -bx, a по способу 2 — функцией v- -wx, где х — объем производства. Предположим, что a
Его осведомленность в отношении т (t) сводится к тому, что он считает их случайными величинами, которые независимы и нормально распределены со средними значениями rnpr(t) и дисперсиями v (t). На основе этих априорных распределений и предположения о их взаимной независимости мы можем записать априорное распределение ожидаемой, или средней, ценности проекта с точки зрения настоящего момента. Это будет нормально распределенная случайная величина со средним [c.129]
Пусть далее точное число Л/ объектов в области поиска заранее неизвестно. Предполагается известной лишь производящая функций- соответствующей случайной величины Ц, (z)= 2Lp(N= )i.. Каждый из объектов поиска характеризуется своим 1 —мерным вектором значений параметров X = (X , .,.Х . Априорная информация о, значениях параметров каждого из объектов задается t —мерной плотностью распределения . / °(л L) X Lez j 7 < R г (I - J, < ,.,. N). Пару V/o (2.) ffaj будем называть априорным состоянием природы. [c.79]
Рассмотрим теперь другую ситуацию. Пусть требуется разработать инструкцию по планированию работы группы идентичных предприятий. Предполагается, что центральный орган, ответственный за разработку инструкции, распоряжается также ресурсами, обеспечивающими производство, и распределяет их в соответствии с заявками предприятий. С точки зрения центрального органа, располагающего ограниченной информацией и не имеющего возможности учитывать детальную информацию о конкретных особенностях каждого предприятия, параметры условий задачи планирования — случайные числа с, вообще говоря, известными статистическими характеристиками. К параметрам условий относятся, в частности, элементы технологических матриц, составляющие векторов затрат, емкости хранения, ожидаемый спрос. Недостаток информации в центре заставляет подходить к разработке инструкции по планированию работы группы идентичных предприятий как к задаче стохастического программирования. Под планами и решением задачи естественно подразумевать случайные векторы объемов различных видов выпускаемой продукции и обусловленные ими заявки на ресурсы. Реализация решения определяется реализациями параметров условий задачи и априорными статистическими характеристиками распределения этих параметров. Инструкция, таким образом, представляет собой зависимость оптимального плана стохастической задачи планирования от параметров, определяющих условия работы. Инструкция позволяет предприятию учесть дополнительную информацию, которой оно располагает, и уточнить олан применительно к ОБОИМ особенностям. [c.11]
Задача стохастического управления рассматривается как одноэтап-ная задача стохастического программирования, если описываемая моделью ситуация требует выбора закона управления для всей траектории системы (/ = 0, 1,. .., s—1) в один прием и коррекции по ходу управления в процессе накопления информации не допускаются. Априорные решающие правила определяют закон управления, зависящий только от детерминированных параметров и статистических характеристик случайных параметров условий задачи. Закон управления, определяемый апостериорными решающими правилами, зависит, кроме того, от реализации случайных исходных данных. Закон управления, соответствующий решающим распределениям, представляет собой случайный механизм формирования решения со статистическими характеристиками, зависящими (при апостериорных решающих распределениях) или не зависящими (при априорных решающих распределениях) от реализации случайных параметров условий задачи. Механизм управления, отвечающий решающим распределениям, может при одних и тех же реализациях исходных данных приводить к различным траекториям управления и, [c.45]
Для оценки финансовых активов существует множество моделей. Как правило, их целью является определение реальной цены котируемых финансовых инструментов, например облигаций, либо оценка рискованности портфеля активов с помощью прогнозирования. Эти модели позволяют выработать политику управления рисками и определить коэффициенты хеджирования. Зачастую определение коэффициентов хеджирования является их основной целью, еще более важной, чем теоретическая оценка самих активов. Существует два основных подхода к моделированию структуры процентных ставок и ее динамики параметрический и непараметрический. В данной главе нами будет рассмотрен непараметрический подход, не требующий принятия никакой априорной гипотезы относительно вида функционала процесса, формирующего структуру процентных ставок, а также вида распределения, характеризующего динамику наблюдаемых случайных величин. На примере исторического набора данных Эрик де Бодт, Филипп Грегори и Мари Коттрелл используют алгоритм СОК для аппроксимации распределения структуры процентных ставок и ее изменения с течением времени (структурных потрясений). Производимое на этой основе численное моделирование методом Монте-Карло позволяет получить картину долгосрочного развития структуры процентных ставок в течение пяти лет. [c.63]