Математическое описание Д.м.э. производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений. [c.85]
То есть технически, марковскую модель с непрерывным временем построить проще, чем модель с дискретным временем, хотя проблема подчинения пуассоновскому закону распределения всех потоков событий, переводящих элементы системы из состояния в состояние, остается. [c.341]
Напомним, что вторая фундаментальная теорема ( 4а, f, гл. V) утверждает, что в безарбитражных моделях с дискретным временем (п N < оо) и конечным числом активов (d < оо) полнота имеет место тогда и только тогда, когда множество мартингальных мер состоит в точности из одной меры (Р), эквивалентной мере Р. [c.328]
Вопросу существования мер с таким свойством было уделено много внимания в моделях с дискретным временем ( 3a-3f, гл. V). [c.368]
Теории расчетов в стохастических финансовых моделях с дискретным временем, основанной на первой и второй фундаментальных теоремах, посвящается шестая глава. Основным здесь является понятие хеджирования как метода динамического управления портфелем пенных бумаг. Выведенные формулы для цены (стоимости) хеджирования и изложенные методы отыскания оптимальных хеджирующих стратегий на полных и неполных рынках применяются к расчетам опционов Европейского и Американского типов. [c.541]
Мы будем рассматривать модели с дискретным временем. Пусть Pt — цена актива (акции, облигации) в момент t. Доходностью актива за один период времени (день, неделю, месяц, год) называется отношение дохода от владения активом Pt+i — Pt к его начальной стоимости [c.436]
Как выглядит формула (13.1) в общей экспоненциальной модели с дискретным временем [c.108]
Основная единица времени в экономических расчетах — год, но бывают модели с квартальным, месячным, суточным шагом. Это относится главным образом к моделям, которые предназначены для решения практических задач их называют моделями с дискретным (прерывным) временем. В теоретических же исследованиях часто используются модели с непрерывным временем (их переменные изменяются непрерывно, без "скачков" от года к году или деления на другие периоды). [c.54]
Для экономико-математического моделирования важно, что Н. в каком-то смысле противоположна дискретности. Экономико-математические модели с непрерывным временем — это те, переменные которых "пробегают" все возможные значения на временном интервале, в отличие от моделей с дискретным ере- [c.225]
Приведенные формулы применяются в статистике и потому носят дискретный характер. В случае же моделей с непрерывным временем темп роста может быть вычислен по формуле [c.354]
Модели с "бесконечным временем" 203 Модели с дискретным (прерывным) [c.474]
Статистическое исследование волатильности с помощью излагаемого далее 72/5-анализа (см. раздел 4) позволяет выявить ряд замечательных и неожиданных свойств, которые дают возможность проверки тех или иных гипотез относительно пространственно-временной структуры процессов Н = (Ht)t- o (в случае моделей с непрерывным временем) и Н — (Нп)п- о (в случае дискретного времени). Например, для многих финансовых индексов довольно определенно надо отвергнуть гипотезу о независимости величин /г , п 1, образующих последовательность Н = (Нп)п о-(В случае непрерывного времени этому соответствует отклонение гипотезы о том, что Н = (Ht)t- Q является процессом с независимыми приращениями. ) [c.420]
В соответствии с известным из теории предельных теорем (см., например, [39] и [250]) принципом инвариантности, винеровский процесс может возникать в результате предельных переходов в самых разнообразных схемах случайных блужданий. Поэтому нет ничего удивительного в том, что, скажем, для биномиальных моделей (Бп,5")-рынков (с дискретным временным интервалом Д = 1/ ), заданных на некоторых вероятностных пространствах ( ", ", Р"), будет иметь место сходимость к (В, 5)-модели Блэка-Мертона-Шоулса в том смысле, что при п — оо имеет место сходимость (1), где Р - вероятностная мера, относительно которой процесс W = (Wt)t o является винеровским. [c.232]
В чем различие содержания решаемых задач, математического аппарата и получаемых результатов для экономических моделей с дискретным и непрерывным временем [c.215]
Рассмотрим модель с дискретным изменением времени. [c.327]
Задачи стохастического программирования возникают при использовании процессов с дискретным временем для описания изменений финансовых переменных в динамике. Ключевая идея состоит в генерировании множества сценариев реализации случайных параметров в виде дерева и выборе управлений в вершинах дерева. Этому подходу будет уделено основное внимание в настоящей работе. Практическое использование подхода стохастического программирования позволяет учитывать в моделях разнообразные обстоятельства. [c.19]
Настоящая книга является дополнением к ранее изданным публикациям автора "Эконометрика для начинающих Основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов" (2000), "Эконометрика Основные понятия и введение в регрессионный анализ временных рядов" (2004). В ней рассматриваются методы статистического анализа моделей с дискретными объясняющими переменными, систем одновременных уравнений, панельных данных, а также структурные и приведенные формы векторных авторегрессий и моделей коррекции ошибок. [c.7]
Динамические модели описывают развитие народного хозяйства с течением времени. В большинстве многоотраслевых моде-у лей время считается дискретным, причем за единицу времени [c.270]
Для того чтобы обеспечить в модели учет фактора времени, следует задать некоторое множество Т, элементы которого ttT будем называть моментами времени. Особо подчеркнем высокий уровень абстракции такого способа ввода понятия время , относительно которого существует и развивается моделируемая система. Очевидно, что данное определение охватывает в качестве частных случаев как непрерывное, так и дискретное время. Традиционно в качестве модели непрерывного физического времени используется множество точек бесконечной одномерной действительной числовой оси Я1 с фиксированным началом отсчета, а множество всех учитываемых моментов времени Т в этом случае представляет собой некоторый отрезок на этой оси (замкнутый или отрытый)1 [c.146]
Объяснение имитационной стратегии. Рассмотрим N трейдеров, объединенных одной сетью, чьи взаимосвязи представляют собой коммуникационные каналы, через которые эти трейдеры обмениваются информацией. На схеме представлена цепочка промежуточных знакомых между любыми двумя людьми на земном шаре. Обозначим число трейдеров, связанных на схеме непосредственно с определенным трейдером i, как N (i). Трейдеры покупают или продают один и тот же актив, по цене p(f), которая является функцией времени, с дискретным шагом изменения At. В самой простой версии модели, каждый агент может или покупать, или продавать только одну единицу актива. Это количественно определяется состоянием покупки. ,=+ или состоянием продажи sp-l. Каждый агент может торговать во время t-1 по цене p(t-l), основываясь на всей предыдущей информации, включенной в момент t-1. Изменение цены актива записывается простой [c.111]
Модель Блэка-Шоулза требует, чтобы в исходных данных корректно учитывался фактор времени. Данный фактор влияет на оценки двояким образом. Во-первых, факт непрерывности, а не дискретности, времени приводит к тому, что мы используем вариант приведенной стоимости с непрерывным временем (e""rt), а не дискретный вариант (1 + г)". К тому же это означает, что входные данные, такие как безрисковая ставка, должны быть модифицированы для соответствия непрерывному времени. Например, если ставка по одногодичной казначейской облигации равна 6,2%, то безрисковая ставка, используемая в модели Блэка-Шоулза, составит [c.128]
В финансах нас особенно интересуют две большие группы стохастических процессов. Процессы дискретного времени/дискретной переменной позволяют дискретным переменным изменяться в дискретные промежутки времени. Мы уже встречались с этими стохастическими процессами в форме биномиальных и триномиальных моделей в гл. 8. [c.461]
Усложнение стандартной диффузионной (5,5)-модели (4) и (7) в идейном плане весьма схоже с тем, как усложнялись простейшие модели в случае дискретного времени. [c.348]
Седьмая и восьмая главы относятся к случаю непрерывного времени. Излагаются результаты теории арбитража в стохастических финансовых моделях, описываемых с привлечением понятий семимартингалов и случайных мер, и приводятся различные версии аналогов первой и второй фундаментальных теорем. Следует при этом подчеркнуть, что соответствующее изложение (седьмая глава) является более сложным, по сравнению со случаем дискретного времени (пятая глава), и опирается на многие весьма глубокие результаты стохастического исчисления. [c.541]
Как это не кажется на первый взгляд парадоксальным, оказывается, что математические модели инструментов финансового рынка (мировых валют и ценных бумаг) с одной стороны, и математические модели всевозможных подвижных объектов (ракет, самолетов и т. д.) с другой стороны, могут быть описаны одними и теми же дифференциальными (для дискретного времени - разностными) уравнениями. Указанный факт является ещё одной наглядной иллюстрацией известного философского принципа марксизма-ленинизма ...единство материи проявляется через общность дифференциальных уравнений, описывающих природу явлений... . [c.9]
С учётом того, что поведение финансового рынка в динамике может быть описано с помощью дифференциальных (для дискретного времени - разностных) уравнений формирующих фильтров, возбуждаемых в правой части случайными процессами липа белого шума, приходим к тому, что модель финансового рынка в точности соответствует понятию стохастической дифференциальной системы[4]. [c.168]
Структурная схема математической модели финансового рынка в дискретном времени, с учётом разностного уравнения (7.3.36), представлена ниже на рис. 7.7 в виде блок-схемы [c.184]
В пособии излагаются основы теории марковских случайных процессов, протекающих в дискретных системах с дискретным и непрерывным временем. Иллюстрируется их применение в качестве вероятностных моделей различных финансово-экономических ситуаций. Пособие содержит достаточное количество детально разобранных примеров и заданий с ответами для самостоятельной работы читателя. [c.2]
В данном параграфе устанавливается связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем. Показывается, как используется интенсивность пуассоновских стационарных потоков в качестве плотностей вероятностей переходов системы из состояния в состояние при анализе моделей конкретных ситуаций. [c.123]
Другой путь рассмотрения изменяющегося риска, вовлеченного в опцион, состоит в том, что с уменьшением времени до истечения, пока для опциона в деньгах , уменьшается риск превысить цену исполнения (для колл ) или оказаться меньше рыночной цены актива (для пут ). Таким образом, уменьшается риск окончания опциона без денег и неосуществления. Ключевой пункт в учете этого риска изменения будущих денежных потоков — надо найти некоторые средства нейтральной стоимостной оценки риска. Подход эквивалента уверенности, упомянутый ранее в контексте основного D F анализа — один из возможных подходов, однако другой и более мощный метод состоит в том, чтобы использовать условный анализ притязаний, основная идея которого используется в анализе моделей стоимостной оценки опциона и с периодом времени дискретного типа, и с непрерывным временем. [c.31]
Или же в каждый момент, если мы имеем дело не с дискретной, а непрерывной но временным параметрам моделью. В случае дискретной модели понятие равновесие удобнее всего использовать для обозначения равновесия потока или запаса на конец периода. [c.557]
Сценарий задается пиктограммой "Человеческая голова и вопрос", на экран рядом с иконкой выводится текущее время моделирования и состояние модели (рис. 5.13). В таблице сценария определяется максимальное моделируемое время (например, один месяц, пол-года, один год и т.д.). В рабочем пространстве стандартного сценария задается режим моделирования дискретных событий, пошаговый или синхронизации с реальным временем (например, за одну секунду час реальной работы), а также активации/деактивации и запуска модели. Один сценарий может быть параллельно запущен для нескольких моделей, а для одной модели может быть задано несколько сценариев. Обычно в сценарии имитационного эксперимента предполагается задание необходимых исходных данных для работы имитационной модели. [c.150]
Опционы наряду с форвардами, фьючерсами и свопами являются производными финансовыми титулами. Общее у них то, что их цена зависит от случайно изменяющейся цены лежащих в их основе финансовых титулов (по-англ. underlying assets). Важно уяснить для себя, что при условиях полных рынков капитала из финансовых титулов и производных ценных бумаг удается сконструировать портфели, которые являются безрисковыми (хеджирование). И наоборот, если безрисковая ценная бумага и финансовые титулы обращаются на полном рынке, то тогда возможно совершенное дублирование денежных потоков по производным финансовым титулам. Это является основой для так называемой свободной от предпочтений оценки производных финансовых титулов. Мы покажем в этой главе, как с помощью этой основной идеи можно найти справедливую цену для разных типов опционов. При этом мы ограничимся исключительно моделями с дискретным временем. Лишь в одной-единственной задаче используется модель с непрерывным временем Блэка—Скоулза. [c.256]
После базовой подготовительной работы , проведенной в. предыдущем разделе, мы теперь обратимся к типу американских опционов, но будем использовать в качестве базисных активов, как и прежде, бездивидендные акции. Будет обсуждаться вопрос о том, выгодно ли преждевременное исполнение опциона или нет. Кроме Того, мы затронем вопрос о том, как можно оценить американские опционы в рамках многопериодной модели с дискретным временем. . [c.272]
Динамические модели. В динамических моделях, описывающих функционирование изучаемых экономических систем во времени, с самого начала выделяются экзогенные переменные (управления) и эндогенные переменные, характеризующие текущее состояние системы. Состояние изучаемой экономической системы в момент времени t описывается с помощью конечномерного вектора x(t) En, а управление в тот же момент времени — с помощью конечномерного вектора u(t) Ez. Динамические модели обычно относятся к одному из двух классов — с непрерывным или с дискретным временем. [c.36]
Матричная модель Нелинейная модель Непрерывная модель Модель равновесия Неравновесная модель Регрессионная модель Сетевая модель Числовая модель Эконометрическая модель — дискретного выбора, —непрерывной длительности выживания), —логит-иодель, —пробит-модель, —тобит-модель., 4. По временному и пространственному признаку Гравитационная модель Динамическая модель (см. Динамические модели экономики) Модели с "бесконечным временем" Статическая модель Точечная модель [c.404]
В биномиальном процессе со многими периодами оценка должна производиться на дискретной основе (т. е. начиная с заключительного временного периода и двигаясь назад во времени к текущем моменту). Портфели, воспроизводящие опцион, создаются для каждого шага и каждый раз оцениваются, это позволет выяснить стоимость опциона в данный период времени. Заключительный результат биномиальной модели оценки опциона — это определение стоимости опциона в единицах имитирующего портфеля, составленного из Д акций (дельты опциона) базового актива и безрискового заимствования или ссуды. [c.123]
До сих пор, обсуждая разные модели динамики цен, мы имели дело либо (в основном) с моделями, в которых цены S = (Sn) фиксируются в дискретные моменты времени п = 0,1,..., либо (как в случае Ба-шелье) с моделями, в которых цены 5 = (St)t o описываются непрерывным случайным процессом (броуновским движением, например) с непрерывным временем t 0. [c.141]
По аналогии с терминологией для случая дискретного времени (см. определение 4 в 1Ь, гл. V) говорят, что семимартингальная модель X = (Х°,Х1,..., Xd) является полной (или Т-полной), если всякое неотрицательное ограниченное г-измеримое платежное поручение /т воспроизводимо (достижимо), т. е. найдется допустимый самофинансируемый портфель тг такой, что Х%, = /т (Р-п.н.). [c.328]