Пособие удовлетворяет требованиям новых государственных образовательных стандартов к минимуму содержания и уровню подготовки в области математики для социально-экономических направлений и специальностей и написано в соответствии с примерной программой дисциплины Математика , одобренной Научно-методическим советом по математике Министерства образования Российской Федерации. Пособие включает следующие девять разделов программы Введение в математический анализ , Основы математической логики , Дифференциальное исчисление функций одной переменной , Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков , Неопределенный интеграл , Определенный интеграл , Функции нескольких переменных , Обыкновенные дифференциальные уравнения , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Кроме обязательного материала автор счел необходимым включить в пособие главу, посвященную разностным уравнениям, широко используемым в экономической теории. [c.9]
Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами pij называется система вида [c.417]
Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений. [c.417]
Уровни - параметры системы, получаемые интегрированием соответствующих параметров потоков. Чаще всего - это параметры (факторы) системы, которые численно описывают состояние основных процессов в моделируемой системе, динамику которых мы хотим получить в результате. Закон изменения уровня во времени выражается конечно-разностным уравнением [c.334]
Для интегрирования системы дифференциальных уравнений чаще всего прибегают к конечно-разностным схемам. В этом случае решается система [c.199]
Задача (2) является хорошо изученной задачей математического программирования, для ее решения разработаны эффективные методы , многие из которых оформлены в виде стандартных программ современного математического обеспечения ЭВМ. Остается только воспользоваться ими. Именно так и поступают авторы работ [75], [76] и получают решения нескольких задач четыре из них представлены в [77] таблицами, позволяющими оценить результат. Разумеется, эти данные призваны убедить читателя в эффективности такого подхода. Если бы этим дело исчерпывалось, автору не следовало бы писать эту книгу, а утверждение о том, что занятие вычислительной математикой требует фантазии и теоретической подготовки, было бы явным преувеличением. В самом деле, составление уравнений (2) требует самых примитивных знаний, да и тот метод решения задачи (2), который был использован в [75] (мы еще вернемся к его обсуждению), тоже основан на не очень глубоких идеях. В конце концов важно знать, что такой метод есть, есть соответствующая стандартная программа, и нужно уметь ею воспользоваться. Обратимся, однако, к результатам. В [77] (стр. 211 — 214) рассматривается система с разностными уравнениями [c.212]
Дело в том, что экономическая система после внешнего толчка в виде автономных расходов может испытывать колебания, но возможны и монотонные ее изменения. Разнообразные сочетания МРС и v в более продвинутых курсах макроэкономики связаны с решением конечно-разностного уравнения (4) и рассмотрением дискриминанта D D = (МРС + v)2- 4v. Если D > 0, то величина У изменяется монотонно, в случае, когда D < 0, величина У изменяется колебательно. [c.428]
При математической формулировке задачи управления эти ограничения представляются обычно алгебраическими, дифференциальными или разностными уравнениями или неравенствами, связывающими переменные, описывающие состояние системы. Задачу управления можно считать сформулированной математически, если сформулирована цель управления, выраженная через критерий управления определены ограничения первого вида, представляющие собой системы дифференциальных или разностных уравнений, определяющих возможные способы развития системы определены ограничения второго вида, представляющие собой систему алгебраических уравнений или неравенств, выражающих ограниченность ресурсов или иных величин, используемых при управлении. [c.117]
В экономической теории важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Задачи экономической динамики включают как описание процессов выхода к состоянию равновесия, так и процессов трансформации самого этого состояния под воздействием внешних сил. Рассмотрим простую экономическую систему в состоянии равновесия и опишем движение такой системы в непрерывном и дискретном случаях. В первом случае динамика системы описывается с помощью дифференциального уравнения, во втором - разностного уравнения. [c.199]
После ознакомления с современной теорией финансовых спекуляций (см. ниже раздел 7), заинтересованный читатель сможет убедиться в том, что математические модели технических динамических систем (например, летательных аппаратов) и модели финансовых инструментов (ценных бумаг, основных мировых валют) могут быть представлены в совершенно одинаковой математической форме. Именно это последнее обстоятельство позволяет формулировать задачу извлечения потенциально возможной для финансового рынка прибыли как задачу оптимального управления динамическими системами. Если математические модели финансовых и технических систем, в виде дифференциальных и разностных уравнений, одинаковы, то совершенно безразлично - определяется ли оптимальная траектория полёта летательного аппарата или же оптимальный закон управления капиталом. На математическом уровне методы решения подобных задач совершенно одинаковы. [c.29]
Под динамическими системами понимаются такие системы, модель функционирования которых в функции времени может быть представлена в виде дифференциальных (для дискретного времени - разностных) уравнений. [c.148]
Рассмотренные выше постановки задач оптимального управления показывают, что для того чтобы можно было их решать известными методами[6,13,14], математическая модель управляемой системы должна быть представлена в форме дифференциальных (для дискретного времени - разностных) уравнений. [c.161]
Как было отмечено выше, в постановках задач оптимизации для финансового рынка главным пунктом исходных предположений являлось то, что курсы обращающихся на финансовом рынке инструментов (в функции времени) являются реализациями случайных функций (для дискретного времени - случайных последовательностей). Это утверждение, с нашей точки зрения, не может вызвать особых сомнений, так как имеется множество работ [8,9,10,15], подтверждающих указанный факт. С другой стороны, применительно к задаче оптимального управления динамическими системами (например, всевозможными подвижными объектами) в качестве исходных данных для оптимизации должны быть заданы дифференциальные (для дискретного времени - разностные) уравнения для описания динамики объекта (системы). [c.163]
Указанное соответствие открывает путь построения модели функционирования финансового рынка, как стохастической дифференциальной системы. Математической моделью подобной системы могут служить формирующие фильтры в виде дифференциальные и разностных уравнений. [c.166]
С учётом того, что поведение финансового рынка в динамике может быть описано с помощью дифференциальных (для дискретного времени - разностных) уравнений формирующих фильтров, возбуждаемых в правой части случайными процессами липа белого шума, приходим к тому, что модель финансового рынка в точности соответствует понятию стохастической дифференциальной системы[4]. [c.168]
Далее мы будем рассматривать только автономные стохастические дифференциальные системы, т. е. системы, коэффициенты дифференциальных (разностных) уравнений которых не зависят от времени. [c.168]
Хорошо известно[5,6], что оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки оценивания состояния ( текущего , прошлого и будущего ) динамической системы является алгоритм, называемый фильтром Р. Калмана. Все любые другие алгоритмы оценивания по точности могут лишь приближаться к точности оценивания, которую обеспечивает фильтр Калмана. Потенциально возможная точность оценивания, достигаемая указанным фильтром, обеспечивается благодаря тому, что структура и параметры указанного алгоритма предварительно настраиваются на статистический портрет оцениваемой динамической системы. Именно поэтому необходимо проводить предварительные статистические исследования финансового рынка, чтобы получить адекватную рынку математическую модель в виде системы дифференциальных (разностных) уравнений, и уже затем настроить соответствующий фильтр Калмана на полученную математическую модель финансового рынка. [c.196]
Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]
Играя роль самостоятельного агента знаний, подсистема моделирования повышает жизнеспособность и надежность приложений на базе G2. В системе G2 для описания внешнего мира подсистема моделирования использует уравнения трех видов алгебраические, разностные и дифференциальные (первого порядка). [c.289]
Начальные условия для (2.4.10) s =, so при t = 0. Граничные условия на горизонтальных границах области интегрирования —X х X, — Y у Y и на верхней границе при z = Z ставятся следующим образом. В тех точках границ, где вектор скорости направлен внутрь области определения решения, s = 8ф. Там, где вектор скорости направлен вовне этой области, значения концентраций экстраполируются на границу по приграничным значениям со вторым порядком аппроксимации. На нижней границе при z = А ставится граничное условие третьего рода, учитывающее поглощение и отражение примеси. Здесь SQ и вф — заданные значения. Уравнение (2.4.10) решается численным интегрированием в декартовой прямоугольной системе координат с применением метода фиктивных областей. Конечно-разностные аппроксимации производных по пространственным переменным построены на основе интегро-интерполяционного метода [Марчук, 1980]. Аппроксимация задачи по времени построена с помощью двуци-клического полного расщепления. Используемая схема покомпонентного расщепления дает решение для некоммутативных операторов со вторым порядком аппроксимации по времени и координатам. Для численной реализации конечно-разностных уравнений использована немонотонная прогонка. [c.116]
После указанных проверок происходит переход к формированию TRM-файла. TRM-файл содержит описание исходных данных в виде определенной графовой структуры (ациклический граф). Для исходных данных (блок-схема системы в классе ОАДРУ) TRM-файл содержит совокупность правых частей дифференциальных и разностных уравнений 1-го порядка. То есть TRM-файл содержит граф, имеющий параллельные компоненты, число которых соответствует числу уравнений 1-го прядка. [c.170]
Благодаря замкнутости приведенной системы уравнений и динамическому характеру модели для показателя национального дохода можно получить разностное уравнение, описывающее общий закон движения его во времени. Для этого необходимо исключить из системы уравнений, приведенных на рисунке, все переменные, кроме Yt и t (что возможно для всех переменных, кроме запаздывающих), и дважды воспользоваться производственной функцией для подстановки вместо запаздывающих переменных основных фондов Kt- и /С< 2 общественного продукта /7t и f/t 2, которые уже легко заменить на Yt и Yt 2. [c.27]
Численное интегрирование П-системы осуществлялось следующим образом сначала интегрировались уравнения для ф (t) конечноразностным методом с шагом т=0,01 вид разностных уравнений совершенно несуществен. Затем определялась функция и (t) по значениям ф3 (О на сетке t0, tlt.. ., t . [c.229]
Нелинейные динамические системы являются детерминированными системами, которые могут проявлять беспорядочное поведение. При обсуждении хаоса обычно обращаются к хаотическим отобралсениям. Отображения обычно представляют собой системы итерированных разностных уравнений, таких как известное логистическое уравнение [c.100]
Более простая система - уравнение Макки-Гласса (Ma key and Glass, 1977), которое было выведено для моделирования производства красных кровяных телец. Его основная предпосылка заключается в том, что текущее производство основано на прошлом производстве и текущем измерении. Задержка между производством и измерением текущих уровней производит "цикл", связанный с этой задержкой. Поскольку система нелинейна, сверх- и недопроизводство имеют тенденцию к усилению, что приводит к непериодическим циклам. Средняя длина непериодических циклов, однако, очень близка времени задержки. Дополнительная характеристика уравнения Макки-Гласса заключается в том, что оно является дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом оно имеет бесконечное число степеней свободы, подобно рынкам. Эта черта, конечно, делает его хорошим кандидатом для моделирования. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом может быть приведено к разностному уравнению следующим образом [c.100]
Логистическое уравнение представляет собой одномерную нелинейную систему с обратной связью. Оно является также Разностным уравнением, в противоположность непрерывной Системе, такой, как получается из дифференциальных уравне- [c.147]
Данная система имеет две степени свободы х и у. Каждое значение х зависит от предшествующих значений ж и у и каждое значание у соответственно от предшествующего х. Таким образом, значения всех переменных зависят от своих предшествующих значений. Временные ряды этих величин зависят от выбранных начальных условий. Однако не имеет значения, какая именно начальная величина использована (каким образом порождается временной ряд) — фазовый портрет всегда выглядит одинаково. Читатель может легко проверить это самостоятельно. С помощью электронной таблицы разностные уравнения легко исследуются как в одномерном, так и двумерном случае. Это можно проделать следующим образом [c.169]
Система выходит к состоянию х, как это показано на рисунке 12.1а. Ее поведение при k > О показано на рис. 12.16. Поведение динамических систем может также описываться, например, графиками рис. 12.1 в - 12.1г. Поведение в дискретном времени может быть описано с помощью разностного уравнения, связывающего величины х в соседние моменты времени, то естьх, и х. Например, [c.200]
Динамический межотраслевой баланс (ДМОБ) схема, балансовые отношения. ДМОБ как система дифференциальных уравнений. ДМОБ как система конечно-разностных уравнений. [c.48]
Модель (2.22) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева (ДМОБ). Система уравнений (2.22) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы ДО) и 7(0 для t=, 2,. .., Т. Решением модели будут значения векторов ДО, K(f), t = 1, 2,. .., Т. [c.21]
Динамическая система (Dynami system). Система, состояние которой изменяется с течением времени. Простой разновидностью динамической системы является система линейных уравнений. Система нелинейных уравнений определяет нелинейную динамическую систему. В математике система, описываемая дифференциальным или разностным уравнением, — система, изменение состояния которой является функцией времени или параметров системы. В широком смысле слова все является динамической системой Вселенная и все ее составляющие. Начальная точка динамической системы называется начальным состоянием. Конечная точка или точки — это состояние равновесия. В промежутке находятся переходные состояния. Динамическая система может иметь два типа состояний равновесия — периодические и апериодические. Апериодическими состояниями равновесия являются хаотические или странные аттракторы. Если система оказывается в одной из этих областей, она будет двигаться вокруг нее все время или пока нечто не переведет ее новое состояние, причем в этом движении не наблюдается структуры или периодичности. Простейшим примером периодического равновесия является точечный аттрактор. Существуют также аттракторы в виде предельного цикла, когда система повторяет один и тот же путь. См. также Точечный аттрактор, Предельный цикл, Странный аттрактор. [c.306]
Основой системы моделей являются агрегированные модели региона (третий уровень). Природно-производственная модель достаточно подробно изложена в 3.1. Она рассматривается как инструмент анализа эколого-экономического функционирования региона и выработки рациональной стратегии его развития. Конечно-разностная модель непроизводственной сферы [Матросов и др., 1991 Потороченко, 1994] выполнена в технологии эконометрического моделирования и позволяет прогнозировать различные аспекты изменения социальной сферы в зависимости от развития экономики и капиталовложений в социальную сферу, например, в здравоохранение. Аналогичная по форме уравнений динамики демографическая модель выполнена [Матросов и др., 1991 Потороченко, 1994] в традициях описания половозрастной структуры населения и учитывает процессы рождаемости, смертности, миграции. Она предназначена для прогнозирования структуры народонаселения. Модель финансовой системы призвана описывать формирование приходной и расходной частей бюджета, процессы инфляции и давать оценки возможностей инвестирования производства, природоохранной деятельности, развития социальной сферы и др. [c.252]
В основу понятия обобщенного решения могут быть положены самые различные подходы. Это интегральные законы сохранения, метод искусственной вязкости, способ предельного перехода в разностных аппроксимациях, аппарат теории обобщенных функций, понятие потенциала решения, а также другие схемы [Рождественский и др., 1978 Годунов, 1979]. Так, авторы [Васильев и др., 1987] при рассмотрении одномерного варианта (га = 1) задачи (4.4.3)-(4.4.7) для определения обобщенного решения использовали свойство эквивалентности на гладких (классических) решениях дифференциальной системы, построение которой базируется на использовании широко известного аппарата метода характеристик. Суть этого подхода заключается в диагонализации матрицы А системы (4.4.3) с помощью линейного невырожденного преобразования переменных х в инварианты Римана. После такого преобразования в каждом из уравнений системы участвуют частные производные по s и t лишь одной инварианты Римана, что позволяет рассматривать дифференциальный оператор инвариантной системы как п -мерный вектор обыкновенных производных вдоль соответствующих характеристик (аналог производной по направлению). К сожалению, возможности использования данного понятия обобщенного решения по существу [c.335]
В силу выпуклости существует точка и, -+ /, 6 U такая, что /<+i/l = = f[x(tf), Ui+vJ. Обычные оценки, используемые при обосновании методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяют утверждать, что решение разностной системы хм = х(- -ч/(х , ц мл/,) аппроксимирует траекторию x (t), х( — х (t СЧ, причем постоянная С зависит только от длины интервала Т и константы условия Липшица для функции / (х, и) f(x, и) — f(x, uJl x — х (это условие, разумеется, нужно оговорить). Теперь следует ослабить формулировку разностной задачи (7), потребовав выполнения условий х( G, XN — Х1 лишь с точностью до g. (или с точностью до /т), с тем, чтобы построенная выше разностная траектория могла считаться допустимым решением разностной задачи (7), а для решения этой задачи, существование которого следует из элементарных теорем о достижении минимума в конечномерных пространствах, получаем оценку минимизируемого функционала сверху [c.124]