С другой стороны, имеется развитое направление исследований, получившее название математической экономики. В работах, относящихся к этому направлению, изучаются свойства математических моделей, построенных на основе формализации некоторых понятий экономической науки, таких как, например, конкурентное равновесие. Используя некоторые предположения о функциональных зависимостях (например, о выпуклости функций и множеств), исследователи анализируют общие свойства моделей — доказывают теоремы о существовании экстремальных значений тех плп иных параметров, изучают свойства точек равновесия, траекторий равновесного роста и т. д. Эти исследования содействовали становлению экономико-математических методов, помогали п помогают отточить математические методы, используемые в прикладных исследованиях. Однако с развитием математической экономики рассматриваемые в ней проблемы все более уходили от экономической реальности и становились чисто математическими, В результате этого в настоящее время математическая экономика представляет собой своеобразный раздел математики, изучающий специальные математические конструкции, которые лишь с большой степенью произвола можно назвать экономическими моделями. [c.6]
Среди нелинейных статических моделей, используемых в экономико-математическом моделировании, наиболее важную роль играют модели, для которых множество допустимых значений X является выпуклым множеством, точнее говоря, вместе с любыми двумя векторами х X и х е X этому множеству принадлежит весь отрезок х =° ах + (1 — а)х , где а изменяется от нуля д. 1 до единицы. Как легко заметить, [c.34]
Рассмотрим вопрос об условиях, достаточных для того, чтобы множество допустимых значений X, описываемое соотношениями (3.8), было выпуклым. Этот вопрос решается на основе введения понятия выпуклой функции. Функция g(x), где х е Еп,- называется выпуклой вниз (или просто выпуклой), если для любых значений х и ж и при любом числе ос, изменяющемся от нуля до единицы, выполнено неравенство [c.34]
Обратим внимание на то, что множество допустимых значений модели с дискретными переменными не является выпуклым, поскольку переменные не могут принимать любые промежуточные значения. Этим определяется сложность исследования линейных целочисленных моделей и тем более нелинейных целочисленных моделей, которые также встречаются в исследованиях. [c.34]
В координатах х, у для прямоугольника допустимых значений искомых неизвестных строятся линии равной выгодности. Для участника А это совокупность параллельных выпуклых функций, для участника В — это совокупность параллельных вогнутых функций. Точки возможных условий контракта — это точки касания функций полезности результата для участников. [c.114]
Аналогичная по математической постановке задача линейного программирования с переменными вектор-столбцами, заданными на выпуклых множествах, приведена в работе [14]. Показана принципиальная возможность применения декомпозиционной процедуры для данного типа задач. В результате решения определяются как основные переменные, так и значения элементов матрицы условий. Применение принципа декомпозиции для решения задачи линейного программирования с переменными параметрами модели (обобщенная задача линейного программирования) рассмотрено в работах [15, 16]. Особенностью алгоритма является то, что в процессе решения осуществляется одновременный поиск вершин выпуклых многогранников, на которых заданы варьируемые векторы, и значений интенсивностей технологических процессов. [c.15]
Другое направление решения задачи линейного программирования с переменными векторами условий, заданными на сепарабельных выпуклых множествах, связано с предварительным определением всех вершин" допустимых значений технологических коэффициентов и последующим формированием и решением задачи линейного программирования, в которой для процессов с переменными технологическими коэффициентами рассматривается несколько вариантов, полученных в результате определения вершин" [17-20]. Одна из первых задач подобного типа [17] включала элементарный случай варьирования технологических коэффициентов, когда область их допустимых значений представляла собой многогранник, образованный пересечением и-мерного параллелепипеда одной гиперплоскостью. [c.15]
В (5.5) А, Ь, с - приближенные значения, соответственно, матрицы А, векторов b и с, а Х° — точка, по отношению к которой строится нормальное решение. Кроме того, необходимо отметить, что вместо регулирующей добавки Х — Х° 2 может быть использована любая другая строго выпуклая функция. Так, в работе [88] показан пример использо- [c.145]
Действительно, в случае выпуклой функции издержек удельные издержки при росте значений Dub увеличиваются. [c.90]
Плоская или выпуклая кривая. На временном промежутке, перед тем, как кривая становится перевернутой, она приобретает плоскую или выпуклую форму, т.е. долгосрочные процентные ставки находятся почти на одном уровне с краткосрочными, а среднесрочные ставки иногда принимают более высокие значения. Не всегда плоская или выпуклая кривая преобразуется в полностью перевернутую. С другой стороны, не следует пренебрегать данным этапом в динамике кривой доходности только потому, что она гарантированно не может предсказать скорое наступление экономического спада - высокая вероятность этого сохраняется. [c.38]
Что говорит набор выпуклых кривых безразличия об оценке инвестором соотношения риска и доходности для различных значений риска [c.186]
При решении задачи распознавания статистическими методами важнейшее значение имеет правильный выбор способа статистического представления объекта. Тем самым, нужно проделать предварительную обработку данных. Для того чтобы выбрать характерные отличительные признаки объектов, требуется, как правило, серьезное изучение исходной проблемы. Например, в моделях банкротства банков важное значение имеют такие показатели, как опыт в управлении фондами и соответствие требованиям адекватности капитала. Различные наборы признаков приводят к разным распределениям. При этом в разных вариантах дисперсия и свойства выпуклости кластеров во входном пространстве могут сильно отличаться, соответственно, при их разделении потребуется проводить границы разной степени сложности — от линейных до сильно нелинейных. Чем лучше была сделана предварительная обработка, тем легче будет решена задача классификации. [c.45]
Сделав еще предположение об умеренности потребителя, то есть о выпуклости любого предпочтительного подмножества, когда любой промежуточный по отношению к двум данным набор явно предпочтительней, чем обе крайности, мы можем увидеть, что в таком случае функция полезности также будет выпуклой (поскольку значение функции полезности от любого промежуточного набора будет больше ее значений от крайних наборов). Если считать, что такая функция полезности является дважды дифференцируемой, то получится, что вторые частные производные данной функции будут отрицательными [c.116]
Этот эксперимент, как и предыдущий, проводился в течение 12 месяцев. К счастью, результаты, полученные при выполнении старых вариантов испытаний, оказались прежними. При построении зависимости для семи полученных точек были получены кривые, подобные изображенным на рис. 10.5, и выявлены два отклонения от наших предположений. Во-первых, кривая имела только два, а не три выпуклых участка. Мы, правда, не придали этому особого значения, так как в правой части графика точки настолько далеко отстоят друг от друга, что вполне мог существовать и третий горб, не обнаруженный из-за построения зависимости методом интерполяции. Труднее обстояло дело с другим фактом оказалось, что в районах, где реклама была полностью прекращена, в течение года не наблюдалось [c.179]
Если допустимая область ограничена и непуста, то она является выпуклым многогранником, и задача ЗЛП в этом случае всегда разрешима, а оптимальное значение целевой функции достигается, по крайней мере, в одной из вершин многогранника. [c.199]
Из формулы для выражения средних издержек fT(y) через количество поставок п(Т) видно, что средние издержки являются выпуклой вниз функцией, т. е. достигают минимума в т. Q0, соответствующей оптимальному количеству поставок п(Т) так как ближайшими значениями к Q0 из допустимых целых являются Q и Q2, то минимум достигается в одной из этих точек, что треб, доказать. [c.14]
В зависимости от вида используемых критериев оптимальности целевых функций или функционалов) и ограничений модели (множества допустимых решений) различают скалярную О., векторную О., многокритериальную О., стохастическую О. (см. Стохастическое программирование), гладкую и негладкую (см. Гладкая функция), дискретную и непрерывную (см. Дискретность, Непрерывность), выпуклую и вогнутую (см. Выпуклость, вогнутость) и др. Численные методы О., т.е. методы построения алгоритмов нахождения оптимальных значений целевых функций и соответствующих точек области допустимых значений,—развитый отдел современной вычислительной математики. См. Оптимальная задача. [c.247]
Таким образом, множество возможных значений объемов выпуска стульев и столов (хь х2), или, в других терминах, множество А, задающее ограничения на параметр управления в общей оптимизационной задаче, представляет собой пересечение двух треугольников, т.е. выпуклый четырехугольник, показанный на рис. 1.20. Три его вершины очевидны (0,0), (45,0) и (0, 20). Четвертая вершина — это пересечение двух прямых — границ треугольников на рис. 1.18 и 1.19, т.е. решение системы уравнений [c.163]
Симплекс-метод. Это один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Он был предложен американцем Г.Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. [c.170]
Если
Значение a ax определяется величиной предельно допустимой температуры рабочего тела. Исследование второй производной зависимости сг(сго) показывает, что эта функция выпукла вниз, значит, базовое [c.74]
Если функция L в (2.167) при всех значениях Л выпукла вниз по W, то базовое значение единственно если, наконец, множество Dw — Du x Dz можно разбить на несколько подмножеств, число которых М° меньше m + 1 и на каждом из которых L выпукла вниз, то число базовых решений не превосходит числа М°. Справедливость этого утверждения следует из (2.167). [c.95]
Число базовых значений равно двум, одно из них соответствует //о = = //+, другое //о = А1-- Для строго выпуклой по // функции L базовые значения // удовлетворяют условиям [c.107]
Оптимальное решение каждой из этих задач либо единственно и равно д , либо имеет переключательный характер и меняется между двумя базовыми значениями. В первом случае выпуклая оболочка функции ДА (неотрицательных значений gi совпадает с графиком этой функции в точке [c.173]
Зависимость q (s) выпукла вниз и имеет минимум при промежуточном значении е. Результаты расчета этой зависимости для колонны разделения бензола и толуола приведены на рис. 5.8. [c.187]
Еюльшое направление в экономико-математической литературе составляют математические исследования некоторых специальных классов экономических моделей. Многие функциональные зависимости, с которыми приходится иметь деле в экономике, обладают теми или иными специальными свойствами, например, свойством выпуклости. Эти обстоятельства позволяют далеко продвинуться в изучении различных качественных особенностей рассматриваемых моделей. В рамках этого направления решаются различные вопросы существования экстремальных значений тех или иных параметров, точек равновесия и т. д. Оперируя с относительно простыми моделями, исследователи получают результаты, которым далеко не всегда можно придать правдоподобную экономическую интерпретацию, поэтому особой роли в работах прикладного характера подобные исследования не сыграли. Однако не следует и недооценивать их значение — они не только содействовали становлению экономико-математических методов, но и помогли развить и отточить математические методы экономического анализа и, следовательно, косвенно содействовали развитию экономических исследований. [c.6]
Методы второй группы направлены на.то, чтобы дать человеку представление об эффективном множестве в целом. Далее, человек может сам выбрать то эффективное решение, которое устраивает его в наибольшей степени. Надо сказать, что в том случае, когда число показателей превышает два, эта задача является весьма сложной. Она усугубляется тем, что даже для линейных задач множество эффективных точек является певыпуклым. Для систем с выпуклыми множествами допустимых решений п линейными показателями эту трудность можно преодолеть, если дать представление о всем множестве достижимых значений показателей. В указанном случае это множество является выпуклым, поэтому его структуру можно понять па основе анализа различных двумерных сечений этого множества. Заметим, что при этом одновременно дается представление о структуре эффективного множества, которое является частью границы множества достижимых показателей. [c.61]
Рассмотрим множество Gy реализуемых векторов у. Это выпуклое многогранное множество. Для случая двух продуктов (k = 2) характерный вид этого множества приведен на рис. 7.5. ЗХесь сделано предположение, что система может производить лишь второй продукт. Множество Gy аналогично множеству G на рис. 7,3. Множество Gv отличается от множества G тем, что УЧ может быть положительным лишь при отрицательных значениях yl (что связано с отрицательностью переменной, отра- [c.347]
Варьируемость векторов R f представляет дополнительные возможности улучшения решения, поскольку может быть поставлена задача целенаправленного поиска в пределах выпуклых множеств GJ таких значений R при которых максимизировались бы / -е относительные оценки с/. [c.31]
Все вышесказанное верно независимо от того, как распределена совокупность данных Центральная предельная теорема позволяет нам обращаться с распределением средних значений выборок, как с нормальным, без необходимости знать распределение совокупности. Это чрезвычайно удобный факт для многих областей исследований. Если совокупность нормально распределена, то распределение средних значений выборок будет точно (а не приблизительно) нормальным. Кроме того, скорость, с которой распределение средних значений выборок приближается к нормальному при повышении N, зависит от того, насколько близко совокупность находится к нормальному распределению. Общее практическое правило следующее если совокупность имеет унимодальное (одновершинное) распределение (любой тип распределения, где есть концентрация частоты вокруг одной моды и уменьшение частот с любой стороны моды, например, выпуклость) или равномерно распределяется, то можно использовать N = 20 (это считается достаточным) и N = 10 (это считается достаточным с большой вероятностью). Однако если совокупность распределена экспоненциально (рисунок 3-6), тогда может потребоваться и N = 100. [c.91]
Если игра v выпукла, то значение Шепли игры v лежит в [c.217]
Таким образом, мы определили формальные основания и сферу действия давно известного эмпирического принципа убывающей предельной полезности — каждая последующая порция данного блага приносит в данной ситуации потребления все меньший прирост общего уровня благосостояния данного потребителя. Это означает, что предельная полезность любго данного вида благ уменьшается по мере роста количества потребляемого блага данного вида (конечно, при этом количества потребляемых благ всех остальных видов остаются неизменными). Функция полезности при этом будет выпуклой (поскольку значение функции полезности от любого промежуточного набора будет больше ее значений от крайних наборов). [c.116]
К > w 2, - w 3) = OD при определенных положительных параметрах w, w, Wj (рис. 3.1). Конкретные значения данных параметров в дальнейшем изложении существенной роли не играют. Неотрицательный ортант (октант) R], — это острый выпуклый конус (без [c.91]
Общая задача В.п. состоит в отыскании такого вектора х (т. е. такойточ-ки выпуклого допустимого множества), который доставляет минимум выпуклой функции J[x) или максимум вогнутой функции у(х) (рис. В.4). Для второго случая (выпуклая область допустимых значений и максимум вогнутой функции) ряд авторов предпочитают термин "вогнутое программирование". Выпуклость (вогнутость) важна тем, что гарантирует нахождение оптимального решения задачи, так как соответственно локальные и глобальный экстремумы здесь обязательно совпадают. Критериями оптимальности в первом случае могут быть, напр., издержки при различных сочетаниях факторов производства, во втором случае — величина прибыли при этих сочетаниях. Как видим, есть сходство между задачами выпуклого (вогнутого) и линейного программирования (последнее можно рассматривать как частный случай первого). Но нелинейность зависимостей делает задачу намного сложнее. [c.57]
Практическая работоспособность при отработке внешних воздействий и начальных условий оценивается такими характеристиками, как устойчивость (практическая работоспособность в установившемся режиме) и качество (практическая работоспособность в переходном режиме), причем воздействия и параметры СУ могут быть как детерминированные, так и неопределенные. Модель неопределенности может быть получена с помощью ряда математических подходов Теория вероятностей Волновое описание возмущений Теория ограниченных воздействий Теория размытых (fuzzy) множеств , каждый из которых более выпукло передает ту или иную сторону проявления неопределенности. Например, подход, ориентированный на класс воздействий, не превышающих некоторого известного значения (в этом случае решением часто является так называемый гаранте [c.243]
Функция Лагранжа для этой задачи с условиями (5.19), как легко показать, выпукла вниз по д , 02 и достигает минимума в единственной точке. Это значит, что оптимальные значения потоков 0 и 02 постоянны и определяются выражениями (5.19). Однако законы перемещения поршней, естественно, отличаются от тех, которые соответствуют соотношениям Онзагера (5.27). [c.174]
В том случае, когда неусредненная задача (8.1), (8.2) выпукла, а функция R — непрерывно дифференцируема, найдется единственное значение вектора цен Р, удовлетворяющее условиям [c.287]
Доказательство теоремы 9.1. При фиксированном х Е Ух значения вектор-функции / в задаче (9.34), (9.35) принадлежат множеству Q> которое представляет собой отображение множества Vu в m-мерное пространство /. Значения же вектора / принадлежат выпуклой оболочке Q. Согласно теореме Каратеодори каждый элемент [c.321]