При моделировании реальных экономических процессов мы нередко сталкиваемся с ситуациями, в которых условия классической линейной модели регрессии оказываются нарушенными. В частности, могут не выполняться предпосылки 3 и 4 регрессионного анализа (см. (3.24) и (3.25)) о том, что случайные возмущения (ошибки) модели имеют постоянную дисперсию и не коррелированы между собой. Для линейной множественной модели эти предпосылки означают (см. 4.2), что ковариационная матрица вектора возмущений (ошибок) е имеет вид [c.150]
Где каждое B(ijt) представляет собой фактор, выраженный в терминах корреляционного коэффициента (t, t) и, обычно, называется коэффициентом (i,t) инверсной корреляционной матрицы. Формула (1) выражает тот факт, что каждое прошлое изменение г,- влияет на будущее изменение г, пропорционально величине этого изменения и коэффициенту B(i,t)/B(t,t), который не равен нулю только, если существует ненулевая корреляция между моментами времени int. С помощью формулы (1) мы получаем наилучший линейный прогноз, в том смысле, что мы можем минимизировать ошибку в предсказании (минимизация вариации). Принимая на вооружение эту линейную модель, можно получить мощную торговую стратегию покупать, если mt > 0 (ожидаемый рост будущих цен) и продавая, если /я, < О (ожидаемое падение будущих цен). [c.50]
Предположим, что в течение некоторого промежутка времени коэффициенты прямых затрат Оц остаются постоянными, а конечный спрос изменяется. Это означает, что существует линейная связь между выпуском и затратами и изменение выпуска хотя бы в одном секторе экономики влечет за собой пропорциональное изменение затрат всех производящих секторов. Коэффициентами пропорциональности этой связи являются элементы структурной матрицы. То есть в линейной модели "затраты — выпуск" соотношения баланса описывают связь неизвестного выпуска с заданным спросом. Эти соотношения позволяют определить, каким должен быть совокупный выпуск в каждом секторе, чтобы удовлетворить изменившиеся потребности общества. [c.72]
Если линейное соотношение, действительно, справедливо и эмпирические данные (ti, yO, (t2, у2),. .., (t.,, у ) измерены точно, то полученная система совместна, ранг матрицы системы равен двум (число неизвестных) и значения коэффициентов линейной зависимости можно найти из первых двух уравнений системы. На практике такая ситуация невозможна — эмпирические данные по своей природе всегда содержат ошибку, а линейная модель лишь приближенно описывает реальные связи величин. Следовательно, система несовместна и ее нормальное обобщенное решение позволяет найти наилучшие приближенные значения коэффициентов линейной функции, поскольку в этом случае невязка минимальна. Построенному таким образом решению можно дать геометрическую [c.87]
Сравнивая два способа решения систем (8.60) (непосредственно с матрицей X и с переходом к системе нормальных уравнений), можно сделать вывод, что несогласованные системы (8.60), как правило, лучше решать, используя переход к нормальной системе уравнений. В статистической практике несогласованные системы возникают, когда матрица данных X переопределена, т. е. число объектов (столбцов) в ней больше числа переменных (строк), и при этом линейные уравнения, входящие в систему (8.60), не могут выполняться точно. Но превышение числа объектов над числом переменных — типичная ситуация в регрессионном анализе. Второе условие несогласованности также часто выполняется, так как обычно системы линейных уравнений используются для оценки параметров линейных моделей типа (8.1), являющихся лишь приближением действительных соотношений между переменными (мерой этого приближения как раз и является дисперсия случайной компоненты е). Для обоснования перехода к нормальной системе уравнений существенно и то, что матрица Х Х тесно связана с ковариационной матрицей, которая является исходным объектом для различных видов многомерного анализа (главных компонент, факторного анализа и т. д.). [c.275]
Содержание курса первой части учебника охватывает вопросы линейной алгебры и ее приложений к экономике. В учебнике изложены арифметические векторы и системы линейных уравнений, матрицы и определители, линейные экономические модели, элементы аналитической геометрии, метод наименьших квадратов, выпуклые множества, линейное программирование, двойственность. [c.77]
Рассматривается стандартная линейная модель множественной регрессии у = Х/3 + е, где X — п х k матрица ранга f . [c.97]
Известно, что процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается классической линейной моделью регрессии у = Х(3 + е. Оценка /Зй получается регрессией у на X (МНК-оценка) при ограничении Hf3 = г. Найдите матрицу ковариаций V(/3R) и сравните ее с матрицей ковариаций V(/3) — МНК-оценки в регрессии без ограничений. Как полученный вами результат соотносится с теоремой Гаусса-Маркова [c.99]
Стандартная линейная модель у = Х/3 + е, где у — п х 1 вектор, X — nxk матрица, оценивается обычным методом наименьших квадратов. Имеется дополнительное наблюдение уо, х 0 = (х01,..., XQ k)- [c.211]
Дана линейная модель у = Х(3 + е, где у — п х 1 вектор, /3 — k х 1 вектор, е — п х 1 вектор, X — п х k матрица, е N(0, fi) и [c.262]
Рассмотрим вопрос о регрессии. В ряде случаев именно от его решения — оценки уравнений регрессии — зависят оценки тесноты связи, а они, в свою очередь, дополняют результаты регрессионного анализа. Прежде всего следует определить перечень независимых переменных X, включаемых в уравнение. Это должно делаться на основе теоретических положений. Список X может быть достаточно широк и ограничен только исходной информацией. На практике теоретические положения о сути взаимосвязи подкрепляются парными коэффициентами корреляции между зависимой и независимыми переменными. Отбор наиболее значимых из них можно провести с помощью ЭВМ, выбирая в соответствии с коэффициентами корреляции и другими критериями факторы, наиболее тесно связанные с У. Параллельно решается вопрос о форме уравнения. Современные средства вычислительной техники позволяют за относительно короткое время рассчитать достаточно много вариантов уравнений. В ЭВМ вводятся значения зависимой переменной У и матрица независимых переменных X, принимается форма уравнения, например линейная. Ставится задача включить в уравнение k наиболее значимых X. В результате получим уравнение регрессии с k наиболее значимыми факторами. Аналогично можно выбрать наилучшую форму связи. Этот традиционный прием, называемый пошаговой регрессией, если он не противоречит качественным посылкам, достигает приемлемых результатов. Первоначально обычно берется линейная модель множественной регрессии [c.134]
Формирование матрицы коэффициентов модели линейного программирования. [c.167]
При функциональной форме мультиколлинеарности по крайней мере одна из парных связей между объясняющими переменными является линейной функциональной зависимостью. В этом случае матрица Х Х особенная, так как содержит линейно зависимые векторы-столбцы и ее определитель равен нулю, т. е. нарушается предпосылка 6 регрессионного анализа. Это приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели. [c.108]
Аналогичная по математической постановке задача линейного программирования с переменными вектор-столбцами, заданными на выпуклых множествах, приведена в работе [14]. Показана принципиальная возможность применения декомпозиционной процедуры для данного типа задач. В результате решения определяются как основные переменные, так и значения элементов матрицы условий. Применение принципа декомпозиции для решения задачи линейного программирования с переменными параметрами модели (обобщенная задача линейного программирования) рассмотрено в работах [15, 16]. Особенностью алгоритма является то, что в процессе решения осуществляется одновременный поиск вершин выпуклых многогранников, на которых заданы варьируемые векторы, и значений интенсивностей технологических процессов. [c.15]
Применительно к нефтеперерабатывающей промышленности проблема агрегирования технико-экономической информации при построении производственно-экономических моделей в классе задач линейного программирования впервые была подробно исследована в работе [4]. Основное внимание уделялось сокращению размерности задачи линейного программирования за счет агрегирования учитываемых в модели способов производства (сокращение числа столбцов матрицы условий) и ресурсов или продукции (сокращение числа строк за счет суммирования). Указанная процедура была связана с тщательным анализом [c.17]
Даты начала и окончания работ, возможные технологические разрывы и организационные простои удобнее фиксировать в окончательном варианте матрицы, выдаваемом в проектах организации строительства или производства работ. Исходную информацию при составлении матричной модели удобнее фиксировать в карте определения темпов линейных строительных процессов. -. [c.74]
Математическая постановка сводится к многопродуктовой многоэтапной транспортной задаче линейного программирования с учетом внутригодовой динамики потребления и сезонности работы автомобильного и речного транспорта [2]. Так как модель задачи является одной из модификаций транспортной задачи линейного программирования, то она может быть решена любым из алгоритмов решения транспортной задачи. Матрица такой задачи включает в себя Т блоков, каждый из которых моделирует условия многоэтапной, многопродуктовой транспортной задачи линейного программирования для одного временного отрезка года. [c.77]
В рассмотренном примере качественный фактор имел только два состояния, которым и соответствовали обозначения 1 и 0. Если же число градаций качественного признака-фактора превышает два, то в модель вводится несколько фиктивных переменных, число которых должно быть меньше числа качественных градаций. Только при соблюдении этого положения матрица исходных фиктивных переменных не будет линейно зависима и возможна оценка параметров модели. [c.146]
Формальное содержание этого подхода заключается в гипотезе о полностью специфицированной линейной рекурсивной причинной модели, оценке ее параметров, а затем использовании этих значений для воспроизведения эмпирической корреляционной матрицы. Основная идея процедуры — это положение о том, что модель, которая не воспроизводит эмпирических корреляций, должна быть отвергнута. [c.222]
Каждая из моделей линейного упорядочивания требует для матриц пар- [c.55]
Вектор х называется вектором валового выпуска, вектор у называется вектором конечного потребления, а матрица А — матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева. [c.256]
После построения экономико-математической модели решается задача прикрепления поставщиков к потребителям. Расчеты выполняют в специальной таблице (матрице) линейного программирования методом потенциалов (табл. 4.19). В этой таблице, кроме ресурсов поставщиков, потребностей потребителей и транспортных расходов, имеются столбец и строка для записи потенциалов /, и Uj, которые дают возможность определить оптимальность плана закрепления поставщиков за потребителями. [c.153]
На практике при определении коэффициентов матрицы ограничений лицо, принимающее решение, руководствуется принципом " должно быть в окрестности у", который можно описать нечетким множеством. Следовательно, задачу можно рассматривать с точки зрения применения методов нечеткого математического программирования. Такой подход требует дополнительного детального анализа колебаний химического состава шихтовых материалов. Увеличение размерности задачи в этом случае оправдано гибкостью модели и возможностью применения хорошо разработанных методов линейного программирования. Тем более, что при этом сохраняется возможность применения ШШ "Линейное программирование в АСУ". [c.52]
Пусть (у, Х/3, сг2 V) — линейная регрессионная модель. Рассмотрим для заданной матрицы W следующую функцию W/3. Говорят, что оценка для W/3 является аффинной, если она имеет вид [c.321]
До сих пор предполагалось, что ковариационная матрица ошибок а2У является невырожденной. Ослабим теперь это требование. Будем рассматривать линейную регрессионную модель [c.342]
Отсюда можно сделать вывод, что модель (у, Х/3, r V) с вырожденной матрицей V эквивалентна модели (S y, S Xf3, <т2Л), где f3 удовлетворяет совместным (почему ) линейным ограничениям Т Х/3 = Т у. [c.344]
Доказательство. Преобразуем (у, Х/3, а2 V) в модель вида (S y, SfX(3, <т2Л), где f3 удовлетворяет совместным линейным ограничениям Т1 Xf3 = Т у (матрицы S и Т введены в 11). Тогда Л ф О, и утверждение следует из теоремы 6. П [c.347]
Мы не требуем, чтобы матрица RQ имела полный ранг по строкам таким образом, ограничения могут быть линейно зависимыми. Тем не менее требуется, чтобы модель была совместной. [c.347]
Для линейных моделей матрица плана эксперимента проверяется на обусловленность по числу Тюринга [c.173]
В силу предположений, принятых в линейной модели, матрица Х Х) имеет порядок k x k, она симметрическая и положительно оп->еделенная. Следовательно, у нее k положительных собственных зна- ений Ях,. .., Яй. Пусть V = [Vj v2. .. vft] — -матрица, образованная юбственными векторами, где уг обозначает вектор-столбец, соответ-твующий собственному значению Kt, так что [c.166]
Рассмотрим теперь обобщенную линейную модель у = Х(3 + и (см. (5.3)) с матрицей ковариаций ошибок V(u) = ft, где ft — известная положительно определенная симметричная матрица. Мы ослабим это требование в следующем разделе. Пусть мы хотим проверить гипотезу о том, что выполнена система q (q < k) независимых линейных ограничений R/3 = г. Здесь R — известная q x k матрица ранга q, а г — известный q x 1 вектор. В данном разделе мы расмотрим три различных теста для проверки этой гипотезы, основанные на разных подходах. [c.253]
Одно из основных предположений общей линейной модели относится к матрице исходных данных X, которая, имея порядок я X k, должна обладать рангом k, т. е. среди объясняющих переменных м может быть линейно зависимых. Это предположение потребовалось, чтобы обеспечить обратимость матрицы Х Х, необходимую для вычисления методом наименьших квадратов оценки р = (Х Х)"1 Х у. (Если ранг матрицы X меньше k, то и ранг матрицы Х Х тоже меньше k, т. е. матрица Х Х вырождается.) Крайний случай мультиколлинеар-ности возникает, когда все или некоторые из объясняющих переменных подчиняются точной (функциональной) линейной связи. Менее крайним, но достаточно серьезным оказывается случай, когда гипотеза еще удовлетворяется, но существует вполне ощутимая, хотя и не точная, линейная связь между несколькими или всеми объясняющими переменными. [c.160]
Осуществление указанных этапов является достаточно трудоемкой задачей, причем по мере укрупнения и усложнения производства затраты времени на формирование и подготовку к решению зконсмико-математической модели прогрессивно возрастают. Кроме того, проведение каждого этапа связано с возможностью-возникновения значительного числа логических, арифметических и особенно механических ошибок, а формирование матрицы коэффициентов модели линейного программирования требует от исполнителей наличия определенных методических навыков. К другим-недостаткам4" существующей практики применения экономико-математических моделей в планировании следует отнести относительную разобщенность по месту выполнения отдельных этапов. Так, процесс отбора и формирования исходной информации о режимах и вариантах технологических процессов осуществляется при участии таких функциональных подразделений заводоуправления, как плановый и производственно-технический отделы, а все остальные этапы — в информационно-вычислительном центре. При этом применяемые способы передачи информации и ее качество нельзя признать удовлетворительными. Результатом является несогласованность, еще более усугубляющая указанные недостатки. [c.167]
Опыт, накопленный в области моделирования нефтеперерабатывающего предприятия, показывает, что проведение таких этапов, как формирование матрицы коэффициентов, кодирование ин- формации, перевод информации на машинные носители, связано с трудоемким процессом проверки и исправления ошибок. Поэтому наиболее рациональной представляется такая организация процесса моделирования, при которой без дополнительной ручной обработки первичные носители информации сразу переносились бы на машинные носители, а формирование матрицы козффициен-тоа модели линейного программирования осуществлялось бы с помощью ЭВМ в готовом для решения виде. [c.168]
Наиболее широко в перечне методов маркетингового анализа представлена статистика. Методология маркетингового анализа использует следующие статистические методы абсолютные, средние, относительные величины, динамические ряды и ряды распределения, группировки, индексы, вариационный и дисперсионный анализ, корреляционно-регрессионный и многомерный анализ, графический метод, трендовые модели, методы экспертных оценок. Эконометрика в маркетинге представлена методами линейного и нелинейного моделирования, а также динамического программирования, моделями, базирующимися на теории массового обслуживания (теория очередей) и теории принятия решений (теория риска), имитационными моделями. Самостоятельное значение придается логистическим моделям управления г отоками товаров и денег и оптимизации товарных запасов. В маркетинговом анализе широко используются квалиметрические методы, а также методы социометрии. Стратегические матрицы (решетки), используемые в маркетинговом планировании для целей разработки оптимальной стратегии, могут найти применение и в маркетинговом анализе - для определения рейтинга фирмы и ее позиции на рынке, для прогноза риска и т.п. Немаловажное значение придается также неформальному описательному и качественному анализу, сценариям развития и т.п. [c.100]
Числовая модель может быть представлена в любой удобной для пользования форме — в виде линейных или сетевых графиков выполнения работ по отдельным изделиям. Завершает расчеты построение графика работ по годовой номенклатуре изделий по одному из подразделений предприятия. Построение графика работ по исполнителю осуществляется на основания ЧМКР как выписка из нее по одному из столбцов матрицы. [c.183]
Описанная модель реализована в условиях АСУП конкретного металлургического завода. Основой программного обеспечения задачи является пакет прикладных программ (ППП) "Линейное программирование в АСУ", позволяющий обрабатывать матрицу, имеыцую до 16 -тыс.строк ограничений и практически неограниченное число элементов. [c.49]
Шестая часть посвящена оценкам максимального правдоподобия, которые, конечно, являются идеальным объектом для демонстрации мощи развиваемой техники. В первых трех главах исследуется несколько моделей, среди которых есть многомерное нормальное распределение, модель с ошибками в переменных и нелинейная регрессионная модель. Рассматриваются методы работы с симметрией и положительной определенностью, специальное внимание уделено информационной матрице. Вторая глава этой части содержит обсуждение одновременных уравнений при условии нормальности ошибок. В ней рассматриваются проблемы оценивания и идентифицируемости параметров при различных (не)линейных ограничениях на параметры. В этой части рассматривается также метод максимального правдоподобия с полной информацией (FIML) и метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML), особое внимание уделено выводу асимптотических ковариационных матриц. Последняя глава посвящена различным проблемам и методам психометрики, в том числе методу главных компонент, мультимодальному компо- [c.16]
Рассмотрим линейную регрессионную модель (у, Х/3, r2V), где V 0. Тогда наилучшая аффинная несмещенная оценка W/3 выражения W/3 существует для каждой матрицы W (имеющей k столбцов) тогда и только тогда, когда г(Х) = /и, при этом для нее справедливо следующее представление [c.327]
Рассмотрим линейную регрессионную модель общего вида (г/, Х/3, r2V), где X может не быть матрицей полного ранга по столбцам и V может быть вырожденной. [c.346]